数学

选择公理（ AC ）对于每一个非空集合的族 (Xᵢ)ᵢ∈ₗ ，存在函数 f，使得对于 ∀i∈l，f(Xᵢ)∈Xᵢ，这称为 {Xᵢ|i∈l} 上的选择函数

佐恩引理（ Zorn' s lemmα）如果一个偏序集 X 的每一条链（全序子集）都有上界，则 X 有极大元

良序原理（ WO ）每一个集合上我们都可以构造出一个良序

再给出它们等价的证明[1]，均围绕选择公理展开，建议先看核心思想，能对具体证明干的事有更好的理解：

选择公理 → 佐恩引理：

核心思想：既然每条链都有上界，那我先给一条链然后不断往后取元素使得它成为一条极大链，自然这条链的上界会成为极大元（否则这条极大链还能继续扩展）。

Proof.我们给出一个选择函数：f 是P(X) – {∅}上的选择函数 ,我们可以给出一个函数： H(α)＝f({x∈X – H[α]|H[α]∪{x} 为 X 的一条链 })，这个函数表示了我们对于第 α 个元素取成前面没取的一个元素并且保证这个元素能镶嵌到前面那个链中间重新成为一条链。那么这样取 H 自然是一个单射（每次都多取了一个元素）我们可以说明 H 的定义域一定是一个序数，否则我们将可以构造出一个从全体序数到 X 的单射，那反过来我们可以构造它的反函数，利用替换公理模式我们可以说明全体序数是一个集合，而这能说明全体序数是一个序数，进而说明全体序数这个集合属于它自己，矛盾。我们设 dom(H)＝δ，则 rαn(H) 是一个极大链，否则如果这条链还可以继续扩展的话说明 δ 本身也在 H 的定义域中，进而引发出 δ∈δ，矛盾。那么这条链的上界正是 X 的极大元，否则如果还有比这个上界更大的元素则可以放进这条链中，与极大链矛盾。 □

佐恩引理 → 选择公理：

核心思想：去给出这个集合子集上的所有选择函数，很容易知道这是一个偏序集，取出极大元即可。

Proof.设 Z＝{g|∃Y⊆X，g 是 Y 上的选择函数 } ，由于有限选择函数存在性是trivial的，则它成为一个非空偏序集（以包含为偏序，注意到函数的定义是二元对族，所以可以说一个函数包含于另一个）。随意取出它的一条链 C，则我们可以知道 C 是一个相容的函数系统（注意到两个不同的选择函数如果有包含关系的话，它们在同一个元素上做出的选择是一模一样的）。而这就告诉我们一个良定义的 ∪C 是这条链的上界。自然由佐恩引理我们可以知道 Z 上有一个极大元 f ，这就可以作为 X 的选择函数，否则设这个极大元是 U 上的选择函数，我们可以在 X – U 上任选一个元素 T 并取出这个元素的元素 t ，则我们知道 f∪{(T，t)} 是一个更大的选择函数，与 f 是极大元矛盾。 □

选择公理 → 良序原理：

核心思想：叫我去构造一个良序，那我就先取一个元素作为第一个元素，再另外取一个元素作为第二个元素，一直这样取下去，就刚好构造出了一个良序。

Proof.设 f 是 P(X) – {∅} 上的选择函数，我们定义函数： H(α)＝f(X – H[α])，它的实际意思就是我们第 α 个元素就是在前面取完的元素以外继续挑一个元素。跟前文（选择公理 → 佐恩引理）一样，我们可以说明这个函数是一个单射并且定义域是一个序数。这是一个满射，否则设 dom(H)＝δ，我们知道 X – H[δ] ≠ ∅，自然 δ 也应该在 H 的定义域中，这引发了 δ∈δ，矛盾。注意到，这个函数实际上将集合 X 的所有元素都对应到了一个序数上，自然构造了一个良序（两个元素之间的大小关系对应到它们序数的包含关系）。 □

良序原理 → 选择公理：

核心思想：既然都帮我构造好了一个良序，那我每个元素都取出它的最小元素就可以了。

Proof.将每个 X 构造出一个良序，取 f(Xᵢ)＝Xᵢ 最小元就满足条件了。 □

参考：

1. 参考《集合论 对无穷概念的探索》

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