数学哲学（一）

本文主要参考了Stewart Shapiro的'Philosophy of Mathematics and Its Logic: Introduction' in ＜The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic＞ 2005 以及他的＜Thinking about Mathematics—The Philosophy of Mathematics＞ 2000。

1.数学与哲学

再没有什么学科比起数学更加吸引哲学家的了，哲学和数学是人类历史上最早出现的两门系统学科，几乎可以说其他学科都从其中分化出来。从古希腊时期的毕达哥拉斯、柏拉图等人开始，哲学和数学就一直纠缠在一起，直到二十世纪下半页才出现比较系统化的分离。笛卡尔、莱布尼茨、帕斯卡等人既是数学家又是哲学家，即便到了二十世纪，庞加莱、罗素、丘奇(Alonzo Church)、哥德尔、希尔伯特、塔斯基、布劳威尔等等也都在数学和哲学上同时占有一席之地(而他们在数学上的贡献很多集中在数理逻辑之上)。哲学家康德在其著作＜纯粹理性批判＞(哲学史上最重要的著作，至少之一)中的中心议题之一就是讨论数学知识是如何可能的；同时几乎可以说，现代哲学的开端很大程度上源于数学或对数学的关注和思考(和时代有关)，英美的分析哲学最早来自于一群逻辑学者：波尔查诺、弗雷格、罗素等，而欧陆的现象学创始人胡塞尔最开始也是学数学的。

诸如此类的纠缠是十分自然的，因为数学的种种特性深深吸引着哲学家的目光并困惑着他们。例如，数学知识是如何可能的，我们似乎不能通过经验观察得到数学命题(我们相信自己既看不到一个数也看不到一条直线)，那么我们从何得知数学；数学知识例如5+7=12似乎是必然的，以至于不可能是假的，与之相对我们会认为例如万有引力和距离成反平方比就是一个偶然的经验事实(它看上去也可以是例如反比关系，尽管如此我们的宇宙就不会是现在这个样子。当然在广相那里情况些许不同)，它和数学命题之间似乎存在一种本质上的区别，这种区别真的存在吗，如果存在那么它从何而来；数学为什么可以应用于物理等学科之中，如果数学仅仅是一些形式符号，或仅仅是一种特殊的游戏，那么为什么依赖它的现代物理等学科能取得如此辉煌的成功呢？

哲学史上最有名的大概就是实在论和唯名论/反实在论之争了，这场争论从柏拉图和亚里士多德开始，一直贯穿于哲学学科各个问题的讨论和分歧中，而数学对象无疑是其中最多争辩的。如果数学对象存在于理念世界中，对它的认识是如何可能的，如果它不存在，那么它又是如何应用于现实世界的，这个矛盾是数学哲学中最核心的议题，甚至于可以说在整个哲学中都占据重要地位。同时，哲学史上另一个重要的争论即理性主义和经验主义之争，二者的分歧很大集中在数学(以及逻辑等)知识的获得上。除了本体论和认识论，数学还为哲学提出了逻辑学和语义学等方面的问题。

2.数学哲学的问题

2.1 数学对象与数学命题

数学哲学中最经典的问题莫过于数学对象—例如数、直线、集合、函数是否存在。如果存在它是否可以独立于数学家的心灵语言等等。柏拉图主义(Platonism)，或称作本体论实在论(ontological realism)认为数学对象，至少一部分数学对象存在，它们就其显现是抽象的，永恒不可破坏的，非因果的，而且不属于时空之中。对于柏拉图主义，哪些数学对象是存在的仍然是一个问题，例如直觉主义先驱Kronecker的名言“上帝创造了整数，其他都是人的创造”，如果整数存在，无理数呢，虚数以及四元数呢？

除了柏拉图主义者，还有两类关于数学对象的观点，观念论(idealism，不想翻成“唯心主义”)和唯名论(nominalism)。观念论者同意数学对象(在某种意义上)存在，但他们同时认为，数学对象是人(或者哲学一点，先验主体)的心灵构造，或者说数学对象依赖(depend on)于人的心灵,又或者说，如果没有心灵，就没有数学对象。而唯名论则更进一步，否认数学对象存在，认为数学对象不过是数学语言中的词项，或者说没有语言就没有数学对象。

另外有一些哲学家认为例如函数或集合并非是对象(object)，而是性质(property)或者概念(concept)，那么区分仍然是存在的，取决于他对于性质或概念持有哪一种立场：如果她相信性质独立于人类的心灵和语言，那么她仍然是一个关于数学的柏拉图主义者。如果他认为概念依赖人的心灵，那么他就是一个关于数学的观念论者。

这三种理论各有明显的优缺点。对于柏拉图主义，数学真理是(形而上学)必然的，因为它独立于我们的物理世界或心灵中任何的偶然事件，同时它也在某种意义上回应了数学的可用性问题，恰恰因为数学是独立于我们的。但一个重要的问题是，作为现实世界中的人，我们怎么可能去认识这种超自然的存在，我们对某个对象的认识似乎必须依赖于对象对我们有因果作用(必要未必充分)，但柏拉图主义假定数学对象存在的理论王国是独立于我们的心灵而同时没有因果作用的。观念论回答了数学的认识论问题，既然数学对象是我们心灵的构造，我们的心灵自然也就(可能)可以认识它。数学知识之所以是必然的且独立于我们的经验知识，是因为人类心灵的结构是必然的。但它的难题在于解释数学的可用性问题，以及我们可以拥有关于无穷的知识而人类的心灵就其表现上是有穷的矛盾。对于唯名论者，它们可以在某种程度上回应数学的认识可能性问题和可用性问题，但难以回答为什么数学，至少就看上去是(认识论)必然而先天的，以及解释一个有意义的数学命题中的数学词项是如何可以没有指称对象的。

要强调的是，尽管在其他哲学问题上(例如共相)也有柏拉图主义，观念论和唯名论的分歧，而且和数学对象的分歧是相关的，但二者互不构成充要关系。一个支持“红色”的唯名论的哲学家完全可以支持数学对象的柏拉图主义。除此之外，这三种理论还有进一步的内部分歧，如观念论中就有主体(subjective)型和主体间(inter-subjective)型的区分等等。

除了认为数学对象实在的哲学家，还有一些哲学家支持一种关于数学的真值实在论(realism in truth-value)：一个数学命题具有客观的真值，这个真值独立于数学家的心灵、语言、社会约定等等。与之相对的就是真值反实在论，认为数学命题不具有真值或其真值依赖于数学家(或他们的心灵，或我们的语言，我们社会共同体的约定)。当然说其真值依赖于数学家不是说数学家可以主观随意地决定一个数学命题是否为真，而是说如果没有心灵数学陈述就没有真值。

对于一个真值实在论者，他们相信一个数学陈述(当然是指足够清晰没有歧义的那种，以下不再作此说明)是否为真与人无关，故而可能存在一些数学命题是真的，然而却是无法被人认识的，又或者是不可证明的。例如一个哥德尔句，对于一个真值实在论者而言它(可能)有着确定的真值，尽管在给定的公理系统中是不可证的，而一个真值反实在论者则可以认为这个句子(至少在这个公理系统中)是无真值的。

一个再典型不过的例子是：在π的十进制展开中，是否有连续的10个7出现(就我所知目前没有找到，如果有找到，就换做11个这样的……)？真值实在论者相信这个问题的回答是确定的，或者有或者没有，而且这是确定的，正如我们说在“其中有1415连续出现”是真的一样。另一方面，真值反实在论者可以(并不必须)认为这个命题没有确定的真值，也即是说未必一定是真的或假的。

在这里我们始终要注意区分数学上的真和可证，它们未必是相同的。

有一派激进的真值反实在论认为所有的数学命题都完全没有(非平凡的)真值，从而根本没有数学知识。代表就是Field的数学虚构主义(fictionalism)，它和我们的常识以及直观格格不入，故而需要更多的说明来将其嵌入到现实的数学中来。

尽管看上去关系很大，但这两种实在论确实并不相同(当然是相关的)，对这两种实在论的不同态度划分了四个立场，在今天，这四个立场都有支持者。(There are thorough realists (Go ̈del [1944, 1964], Crispin Wright [1983], Penelope Maddy [1990], Michael Resnik [1997], Shapiro [1997]); thorough anti-realists (Michael Dummett [1973, 1977]); realists in truth-value who are anti-realists in ontology (Geoffrey Hellman [1989], Charles Chihara [1990]); and realists in ontology who are anti-realists in truth-value (Neil Tennant [1987, 1997]).

2.2 数学与物理‬

数学最神奇的地方莫过于它能够被应用于物理等学科之中，尽管我们常常想说数学和现实世界无关。为什么经由解一个微分方程可以解释或预测一个现实中的物理现象。在某些时候这似乎是无比自然的，把一个苹果和另一个苹果放在一起我们得到两颗苹果，但在某些时候这又是神奇的，可以说人们借助牛顿力学和数学算出了海王星和冥王星的存在及其轨道(并确实在那里观察到)，而二十世纪物理学的非凡成功更是令人印象深刻的。

Mark Steiner(1995)曾经区分了这里的几个问题。第一个是，在物理学或者在生活中，我们常常使用数学概念，例如“太阳系有8颗行星”。一个数学概念8以一种极其自然的方式被嵌入到我们的陈述中，在此我们说的8和皮亚诺公理中的8是一回事吗(而当我们想到Skolem定理，这种困难还会更加凸显出来)。诸如此类的情况被称作关于数学的语义连续性(semantic continuity on Mathematics)，这是如何可能的，尤其是考虑到如今数学语言已经高度形式化，而我们居然可以如此随意地使用着数学概念，如果它们不是一回事，我甚至不知道要怎么解释我们之前关于把苹果放在一起的例子和数学等式1+1=2之间的联系。第二个问题是我们的核心问题，数学究竟是如何和实际世界相联系的，为什么经由计算人们可以预测在一个特定位置观察可以看到一颗行星，而这样的事还真实发生了。为什么一个(组)微分方程可以以极高的精度预测一个粒子的状态，而且它总是能够成功。第三个问题是，为什么数学和形式化可以被应用在对我们的经验或者物理世界的描述中，非欧几何在刚出现的时候被视作怪物(即便是在数学界)，然而爱因斯坦却表明它是广相中对空间的描述工具。(补一句，Helmholz等人的一些实验也许表明了非欧几何也是对我们知觉空间的描述，而非像康德所设想的那样是欧式几何)，当物理学家们试图探究基本粒子的性质时，他们发现数学家早已发明了李群这样的工具等等。

我们的另一个问题是，在数学和物理或说经验科学之间存在明确的界限吗？比如在上世纪中期出现的纽结理论(knot theory)，它研究各式各样的结(见下图)，被视作拓扑学的一个分支，但它又好像与物理世界有着紧密联系，我们也许可以问是什么使得它成为数学而非物理学的一部分。数学和物理学都可以研究抽象的概念，我们可以说数字8比起质点而言更加抽象吗？同时，热力学和量子力学等物理学分支又确实已经被公理化(希尔伯特的第6问题即将物理学公理化，至于是否能够成功则是另一个问题)，所以公理化和形式化也不是区分数学和物理的标准。在数学中大半领域都得到了物理等学科应用，所以是否被应用于实际也不能是一个区分。必然性也并非是一个足够清晰的标准。而在今天，物理学也变得愈发抽象，和数学的关系愈发紧密，我们似乎更加难以将二者区分开来。那么我们也许可以问，在二者之间真的有区分吗，如果认为有，又很难给出一个区分标准或在一些交界处上给出确切的划界，如果认为没有，我们又很难解释像公理化集合论究竟和物理学能有什么关系(这是Quine举的例子，他确实觉得公理化集合论和物理学就算在以后也不会有什么关系。除此之外，我们还可以问纯数论，尤其是和质数相关的研究和物理学有什么关系，我是说，把大数质因数分解做密码只是一种基于理论的实践罢了，就像把黄金比例运用于绘画中一样。当然相关研究可能促进新的数学工具和数学方法的出现)。

即便我们想说数学是经验知识，像我们归纳物理知识那样，例如通过观察一个苹果和另一个苹果放在一起得到两个苹果归纳出1+1=2这样的知识(经由这样的方式我们解释了为什么数学是可用的)，我们也很难想象我们如何能归纳出关于无穷基数的知识。归纳也许可以适用于一些极其简单朴素的数学知识，但试图将其推广到如今的数学中几乎是不可能的。

2.3 局部问题

怕很多人不了解Skolem定理，就不说了。虽然我个人一直觉得它是最具有哲学意义/后果的数学结果。

大家都知道哥德尔定理：在一个有足够强表达力(包含皮亚诺公理)的公理系统中存在不可证明也不可证否的命题。应该如何理解这个定理，对于哥德尔本人这样的(本体和真值)实在论者而言，这个定理向我们表明在这样的公理系统中存在真而不可证的命题，如果我们假定我们能够(有justification地)知道一个数学命题的真值的唯一方法是在一个给定的(足够强且有限的)公理系统证明它，那么哥德尔定理就向我们表明存在一些尽管确实为真然而我们不能知道的数学命题，换句话说，在数学中真不能等同于可证(条件同上，以下不再复述)。然而对于一个真值反实在论者而言，他恰恰可以认为这样的哥德尔句没有真值。另一方面，考虑图灵和Church的停机问题，它表明不存在一个有限的算法可以一致的判定任何算法在给定输入时会否停机，也就是说我们没有统一的方法判断一个命题在给定公理集上是否是可证的。一些哲学家(比如Roger Penrose)认为这个结果表明人类的心灵不是一台通用图灵机(从而不是计算机)，因为一台图灵机不能判断所有的数学命题而人类似乎可以通过某些数学直观判断。但很多哲学家反对这一点，例如已经被证明与ZFC独立的连续统假设，我们的直观似乎并不能在这个问题上告诉我们更多。与之相反，一些哲学家(例如Judson Webb)认为哥德尔定理和停机定理恰恰说明人类的心灵是一台图灵机。

另一些值得争论的问题是选择公理(Axiom of Choice)，它已被证明和ZF是独立的。如果我们接受选择公理，就会导致 Banach-Tarski paradox：可以把一个有限大的实心球分成有限的若干份，然后重新拼成两个和原来的球一样大的实心球，这般异常违背我们直觉的结果。然而如果我们拒绝选择公理，又会导致数学中的大半定理(已被证明的)无法证明。我们究竟应该如何看待选择公理，是否可能存在一种在其中选择公理不成立的数学等等都是数学哲学的问题。尽管它应该影响到实际的数学实践，大多数数学家并不会在使用选择公理时感到纠结，虽然他们确实认为这个公理并不像ZF中的公理那样地位稳固。(我记得在哪里看到过，如今仍有一批俄国数学家尽可能不使用选择公理)。与选择公理地位类似的是无穷集上的排中律，关于此下一篇中的直觉主义部分会介绍。

除此之外，我们应该如何理解非直谓定义(impredicative definition)，比如“最小上确界”。我们怎么能够通过首先指向一个包含某个对象的集合来定义该对象，它不是关于一个对象的构造(我们从一个包含了该对象的集合中将其挑选出来)，而仅仅是对对象的描述。对于一个本体论实在论者而言，这自然是容易理解的，就像说某个班级中身高最高的人一样，但对于一个反实在论(唯名论或观念论)者而言，非直谓定义就是一个循环定义(至于循环定义是否是合法的则是另一个独立的问题)。

在某种意义上，数学哲学中的诸多问题和实际的数学实践是息息相关的，如果选择公理被哲学家表明是不合法的，也许整个数学的地貌(landscape)都需要进行巨大的改变；又或者数学家应该听从物理学家等应用数学的科学家，如果是这样我们似乎又会觉得数学的公理化和证明在某些时候是无关紧要的，物理学家(以及实际上很多数学家)从来没有等微积分严格化就随意使用相应的数学工具；也许数学家只应该关心他们自己的看法，正如他们自己现在做的那样。在理想的情况下，数学哲学同时应该回答它自己是如何与具体的数学实践(以及科学实践)相联系的。在今天由于方法论自然主义(methodology naturalism)的兴起，这样的问题重新进入了哲学家的视野，数学哲学就是它的一个具体战场。

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