数学哲学（二）

一方面，数学可以被应用于现实世界中，并因此取得了非凡的成功；一方面，如今的数学语言是高度抽象公理化的，看上去与现实没有直接关系；一方面，作为人类，我们对一些简单的数学概念，比如实数/整数，欧式几何等有着一种直观，这种直观可能是错的或不精确的(确切一点说，这里的“错”和“不精确”需要一个“对”和“精确”参考系，但并非所有理论都承认这样的参考系是存在的)。可以把这三个方面简单记忆作数学与“世界、语言和心灵”之间的关系(也与上一篇中的柏拉图主义、唯名论和观念论相对应)。

当然这样的表达很不严谨，有很多细节需要进一步刻画和澄清，在上一篇中已经都涉及到。之所以要在开头重新刻画问题，是因为如下考虑：在上一篇结尾我提到20世纪初的三大主义之争早就不是主流了，重要的是，它们的争论和我们这里关注的问题并不完全一样。

准确一点说，传统的三大主义争论的核心问题是，在规范性意义上数学是什么，或者说数学应该/能是什么。它们争论的重点是，在数学实践中什么是合法的，比如直觉主义拒绝排中律，非构造的存在性证明，形式主义认为数学陈述的意义和数学推理是无关的等等，这样的问题和那个时代是息息相关的，因为非欧几何、集合论、维尔斯特拉斯函数之类出现，人们意识到数学需要更高程度的严格化和形式化，三大主义从而出现。但在今天，对数学基础的追寻早已不是数学家关注的重点(但并非是因为这个问题已经解决了，而更像是数学家认为这个问题没法解决了，不再展开)，传统三大主义的争论点也就不再是如今数学哲学争论的中心问题(也同样的，这并非是因为数学哲学已经就这个问题的回答达成了共识)。我刚刚刻画的问题不是在规范性意义上数学应该是什么，而是单纯的问在描述性意义上数学是什么，或者说数学实际上是什么。一个简单的理解，希尔伯特的形式主义并没有回答数学为什么是可用的，但准确来说，它根本不致力于回答数学为什么是可用的，形式主义在数学是否实在这样的问题上是中立的。但就我们这里的关注而言，我想把考虑的重点放在描述性意义的问题上来。严格来说，在这之后还有在数学哲学中的描述性和规范性之间的关系问题，虽然我个人对此很有兴趣也有一定了解，但它比较复杂，涉及的面很广，所以不会在这个系列中讨论它。

3 数学哲学的主流派别

在介绍之前先说清楚，这远不是全部派别。而且这个介绍是蜻蜓点水式的，不会涉及到其内容的方方面面，在每个具体的派别中可能又会有多个不同的理论分支。

3.1 逻辑主义(logicism)

逻辑主义的开创者包括Frege，Whitehead和Russell等人(他们也恰恰是分析哲学的创始人，但这并不意味着分析哲学，尤其是如今的分析哲学都支持逻辑主义)。

学过哲学的都知道，康德认为数学，至少部分数学知识是先天综合的(不了解这个概念的可以参阅文末的注释1)。为了解释这样的先天综合知识是如何可能的，康德诉诸于认为我们有某种形式的直观。但诸如此类的做法只是把关于数学哲学的困难转移到更为困难的“直观”概念上了。Alberto Coffa( 1991)指出，整个19世纪西方哲学的主要课题就是如何不援引康德的直观来解释数学哲学的困难。逻辑主义的出发点即是从康德的困难这里来的。简单来说，逻辑主义同意康德认为数学是先天知识，但他们认为数学并非是综合的，恰恰相反，数学是分析的(准确来说，这里的分析概念较之康德已经发生了一些变化，不展开)。数学的概念与对象可用逻辑词项定义，且在这些定义下，数学的定理可由逻辑原理推理出来。用一个略带夸张的说法，数学仅仅是逻辑。数学对象，例如直线、函数等等不过是性质、概念、类等逻辑概念的组合。

数学和逻辑学在历史上曾是截然不同的研究领域，但在现代都有了发展：逻辑学越来越数学化而数学越来越逻辑化。其后果是，现在已不能在二者之间划出一条界线；事实上二者是一回事……证明二者是同一的是一个细节问题。(罗素 ＜Introduction to Mathematical Philosophy＞ 1919)

逻辑主义的开端来自Frege，他完成了一系列极其精细而富于技术化的工作，例如在不定义自然数的前提下仅仅依靠逻辑学资源定义一一对应的概念。在这里描绘这些技术性的工作并不合适，但它确实是非常精彩而天才的。Frege本人仅仅讨论了算术(数论)，而没有将其他数学分支也逻辑化。对于几何学，Frege则是一个康德主义者，认为关于空间的几何知识是先天综合的。

尽管Frege的工作极其精彩，然而罗素先生的一封信还是使他遭遇了“一个科学家所能遭遇的最尴尬的情况：当他的工作即将完成之际，其基础却垮掉了(Frege本人对这封信的评价)”，这就是众所周知的罗素悖论。为了解决这个问题，罗素本人(和Whitehead一起)对逻辑主义进行了进一步的发展，这些技术性的工作不具体讨论。一言以蔽之，通过引入两条有争议的公理(预设)，即可归化公理和无穷公理(当然还有选择公理)，他完成了将他那个时代除了集合论之外所有数学的逻辑化(包括Frege没有处理的几何学在内)。

需要着重说明的是，Frege本人在数学上持有本体论和真值双重实在论立场，而罗素则持有本体反实在论立场(我不太确信他在真值问题上的看法。以及罗素出了名的善变，这只是针对他某一时期)，这种立场也促使了他们在非直谓定义上的决定性分歧。回到我们的问题上去，Frege认为数学和逻辑都是实在的，并因此是可用的，同时它还能通过心灵把握逻辑的方式为心灵所把握。数学是通过语言(语义)分析被还原到逻辑上去，而心灵如何把握实在的逻辑则是另一个问题。罗素把数、函数定义为不同类型的类、类上的关系、类上关系上的关系等等，那么我们仍然可以问数到底是什么，和Frege不同，罗素认为类只是逻辑虚构，从而数学对象也只是逻辑虚构，即一种唯名论立场。那么为什么这样的数学是可用的，我个人不太确信罗素本人对这个问题如何回答(罗素的著作太多了，而且他又不停地改变自己的观点和立场)

在罗素以后，逻辑主义为维也纳圈子(Vienna Circle)的逻辑实证主义者继承，其中的代表人物是Carnap。逻辑实证主义者拒绝传统的本体论问题，在Carnap看来，数学和逻辑是一个语言框架，人们可以自由规定这个框架，在这之后才有了框架内的问题，比如一个物理学或生物学问题。这个框架不是先天存在的，而是一个约定(convention)，或者说是一个习俗(tradition)，之所以选择这个框架而不是另一个可能是由于实用性等考虑。诸如数学对象是否实在并非是一个框架以内的问题，而任何问题都必须被限制在某个框架中，故而它是一个无意义的外部问题。而数学命题的真是关于这个框架的知识，它是先天的在于它不依赖于任何框架内的经验。(看上去Carnap好像是说数学是约定，但这样的说法并不准确，准确来说我们应对于数学是什么这样的问题保持沉默(不能问或说无意义的问题))

在今天，逻辑主义已经有了新的发展，也就是新逻辑主义(neo-logicism，有时也作neo-Fregean)，支持者包括Crispin Wright, Bob Hale等等。他们的主张主要是(1)数学是先天可知的，且可由分析的规则推导出；(2)数学存在于关于对象的理想王国中并独立于人类的心灵。这是一种典型的本体论和真值实在论立场，那么数学是如何被认识的呢？通过我们使用数学语言时表达的意思的知识，也就是说是通过语言的方式。显而易见的，新逻辑主义的核心主张是从Frege那里继承的，它相较于传统的逻辑主义的进步总体表现在诸多技术问题上，他们针对传统逻辑主义所遇到的问题对一些概念和技术做出了改进。新逻辑主义计划(neo-logicism program)即是Frege已有工作在今天的重构，和Frege一样目前主要集中在数论上，还需要被扩展到全部数学上。

3.2 形式主义(Formalism)

众所周知，早在1976年人们就通过计算机证明了四色定理。这是如何做到的，因为看上去计算机似乎并不知道它自己在干什么，它仅仅不停对存储器内的数据进行处理，经由这样的方式进行一个数学证明？让我们回忆长除法(多项式除法)，在这个计算过程中没有任何技巧可言，我们仅仅将一个复杂的操作分解为多个机械化的小操作。写一个程序实现这一功能并不复杂，在这里多项式是否实在根本就是无关的，确切的说，它到底表示什么也无关，有的仅仅是一系列操作。

形式主义大致上就是这样一种观点，所谓数学实际上是字符列表和一系列允许的操作规则，数学的本质就是对符号的操作，至于这些符号是什么，则不属于数学。例如我们可以将等式5+7=12变形作5+7-12=0，我们把等式右边的项移到左边末尾，并在前面加上-号，然后在右边写下0，在这个变形过程中符号5、7、12以及+-到底是什么并没有关系，基于同样的规则我们可以把12=12变形作12-12=0这样。

显然的形式主义对于数学对象是一种唯名论立场，在其中有很多内部分歧，例如我们问数学究竟是关于什么的，一种激进的形式主义者可以认为，它不关于任何东西或者仅仅关于这些写在纸上的符号，所谓数学运算或证明就像是用这些符号进行某种游戏，类似于下象棋(后期维特根斯坦也许持有这样一种观点)；而一种温和的形式主义者可以认为，这个问题并非是一个数学问题，数学可以是关于确实实在的数学对象或不关于任何东西，无论任何，这个问题不属于数学，通过这样的方式，数学的本体论问题和数学实践就得到了分离。类似的，在科学中反实在论或说工具论也有类似的观点，电子并非，或未必是实体，它仅仅是一个假设，一套工具。

当然，形式主义者没有必要在所有数学上都持有形式主义立场，例如我们也许会认为实数在某种意义上比起(虚部不为0的)复数更加“实在”一点，形式主义者可以仅仅在那些困难的数学部分选择形式主义立场，停止追问这些符号的意义，而仅仅关注关于这些符号的操作规则。正因如此，数学家们往往倾向于成为一个形式主义者，因为如此他们不会被数学哲学的诸问题所困扰(这里的考虑有一方面类似于哥本哈根解释之于量子力学)。引用Fields奖得主Cohen的说法

实在论可能是数学家最易接纳的立场。而直到他意识到集合论中的一些困难时，他才开始怀疑这个立场。如果这个困难让他沮丧，他就会冲向形式主义的避难所。(Cohen 'Comments on the Foundations of Set Theory' 1971)

显而易见的，形式主义完全不能解释为什么数学是可用的，一种温和的形式主义也许可说不致力于解释这一点，但对于那种激进的形式主义可应用性却是一个无法回避的问题。

希尔伯特是一个著名的形式主义支持者，他采用隐定义(implicit defination)的方式去定义数学概念，所谓数学概念不过是满足相应公理的词项，“终有一天，我们能够用桌子、椅子、啤酒杯代替点、直线和平面”，在这句名言中，希尔伯特表明了他的立场，“点、直线、平面”究竟是什么根本是无关的，我们有的仅仅是例如“两个点确定一条直线”这样的约束条件(公理)，把它理解作“两把椅子确定一张桌子”也没有任何问题，数学词项不关于任何东西或可以关于任何东西，或者更确切说，它关于什么和数学是无关的，数学是无意义的(have no meaning, 不是make no sense)。

在以其为名的希尔伯特纲领中，希尔伯特试图通过形式主义的方法严格化数学的所有分支和逻辑。引用冯诺依曼对该纲领的概括，包括四个步骤：(1)枚举所有数学和逻辑中用到的符号；(2)明确特征化这些符号所有的合法组合方式，称为“公式”；(3)提供一个构造程序，使我们能够成功构造所有可证的公式；(4)证明所有公式可由(3)中方式证明，当且仅当对其所对应陈述的检查显示它是真的。这其中，(1)(2)(3)对数学各个分支的公理化已经完成了，而(4)则代表了希尔伯特的野心(“我们必须知道，我们必将知道”)，很遗憾，这个野心落空了。

击落它的就是哥德尔的两个不完全性定理，几乎可以说，这两个定理摧毁了形式主义，在这之后就很少有数学哲学家支持形式主义了(为希尔伯特默哀)。但在哥德尔定理的影响下为形式主义做改进辩护并非是不可能的，通过一些极富技术化的细节工作，这其中最有名的形式主义支持者Haskell Curry(当然最近有学者认为他实际上是一个结构主义(结构主义的涵义见3.4)者('Curry’s Formalism as Structuralism' Jonathan Seldin 2011))。

让我们简单回顾一下重点，形式主义是一种典型的唯名论立场，它的最大困难，也一直没有得到充分解释的是为什么数学是可用的，这个问题同时还联系着另一方面，一些批评家认为形式主义遗漏了数学的内在意义，而这对于数学是极其重要的，数学不仅仅是符号操作。

3.3 直觉主义(Intuitionism)

三大主义中最“恶名昭著”的莫过于直觉主义了，因为直觉主义对排中律和非构造型存在证明的拒斥。不过我猜直觉主义的某些观点也许会为很多人所赞同或至少找不出什么问题。

在传统的直觉主义者看来，数学对象的存在是依赖于我们的心灵的，故而他们是关于数学对象的观念论者(我们刚刚提到的逻辑主义大多是实在论，而形式主义则是唯名论，这个关键的分歧一再出现)。更准确说，数学对象是我们心灵的构造。如果说逻辑主义和形式主义都或多或少受到了康德的影响(迫于篇幅，本篇中并没有提到形式主义和康德是怎么联系的)，那么直觉主义的宗师布劳威尔才算是一个真正的康德主义者，他和康德一样把数学诉诸于我们的直观，由于非欧几何和射影几何的出现使得康德的空间直观受到了很大冲击，布劳威尔选择了我们的(康德式)时间直观。

(直觉主义)把生命的诸时刻分离为质地不同的诸部分思考，只是在仍然被时间分割的情况下才能重新统一起来，它是人类智慧的基础现象，通过抽离它的情感内容得到数学思维的基础现象，即赤裸的two-oneness(一个自造词，不知道怎么翻译)的直觉。这种two-oneness的直觉，即这种数学的基本直觉不仅创造了1和2，甚至创造了所有有穷序数，因为two-one中一个元素可以被考虑为一个新的two-one，这一过程可以无限重复。(Brouwer ＜Intuitionisme en formalisme＞ 1912)

我们无需关注布劳威尔在哲学上的具体观点，简单来说，布劳威尔是一个再典型不过的观念论者、真值反实在论者。他和康德一样认为数学是先天综合的。更准确一点说，数学的本质是理想化的精神构造。这里的理想化是指，对于关于数学的活动而言，纸和笔都只是辅助工具而不是本质性的，只有关于数学的心灵活动，一种-主动的-基于时间直观的-精神-活动才是数学的本质。例如为了证明有无穷多个质数，直觉主义认为我们需要做的是提供一套可行的程序，能够构造出无穷多个质数(当然未必是全部质数)，说一个方程在复数域内有根意味着我们能够提供关于这个根的构造。说一个数学对象存在，即是说对其构造的可能性。在这之后，可以看到布劳威尔是反对排中律的。在布劳威尔看来，排中律必须依赖于数学的本体实在论立场，而这是他不接受的。那些认为数学对象存在于独立的数学王国的数学家当然相信例如或者存在或不存在自然数n满足某个命题Pn，但在布劳威尔看来却并非如此，说不存在n意味着假设n存在推出矛盾，但说存在n却是指提供一个对n的构造方案。这二者不是一回事。布劳威尔也不承认实无穷，准确一点说，我们不能像大多数数学家那样把例如实数视作一个完成了的集合，它是一个在不断构造中的集合(序列)。同样的，布劳威尔坚决反对非直谓定义的使用。

更进一步，在布劳威尔看来，数学的本质存在于心灵和精神之中，而逻辑主义和形式主义关注的逻辑和语言对于数学而言都是非本质性的，它们不过是数学用于交流的附属物，逻辑只是通过语言交流数学规则的一种编码而已，对逻辑和语言的关注对于数学而言是流于表面，没有抓到数学的要点的。逻辑和语言可说仅仅是精神构造的交流不完美的媒介，而数学是关于后者的。

在布劳威尔之后，他的学生Heyting继承了直觉主义的主要思想，并发展了一整套直觉主义的形式化系统，在某种意义上这和布劳威尔是不合的，因为在布劳威尔看来形式化本身就已经丢掉了数学的本质，不过Heyting的这些工作使得我们可以从数学，而不仅仅是哲学角度考察直觉主义(的数学主张)。直觉主义对于经典数学不仅仅是限制，确切说它们是不相容的。在今天，关于直觉主义逻辑的相关研究在数理逻辑方面已经非常丰富了。我们也许可以说，尽管直觉主义并没有多影响到大多数传统的数学领域，但在数理逻辑方面已经受到了很多重视。

在今天的哲学界也有一些直觉主义者，例如Michael Dummett。但要注意，说Dummett是一个直觉主义者是指他对直觉主义逻辑的支持，就哲学上的考虑Dummett和布劳威尔以及Heyting是截然不同的。Dummett从一开始关注的焦点就是布劳威尔认为

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