数学哲学（三）

3.3 直觉主义(Intuitionism)

三大主义中最“恶名昭著”的莫过于直觉主义了，因为直觉主义对排中律和非构造型存在证明的拒斥。不过我猜直觉主义的某些观点也许会为很多人所赞同或至少找不出什么问题。

在传统的直觉主义者看来，数学对象的存在是依赖于我们的心灵的，故而他们是关于数学对象的观念论者(我们刚刚提到的逻辑主义大多是实在论，而形式主义则是唯名论，这个关键的分歧一再出现)。更准确说，数学对象是我们心灵的构造。如果说逻辑主义和形式主义都或多或少受到了康德的影响(迫于篇幅，本篇中并没有提到形式主义和康德是怎么联系的)，那么直觉主义的宗师布劳威尔才算是一个真正的康德主义者，他和康德一样把数学诉诸于我们的直观，由于非欧几何和射影几何的出现使得康德的空间直观受到了很大冲击，布劳威尔选择了我们的(康德式)时间直观。

(直觉主义)把生命的诸时刻分离为质地不同的诸部分思考，只是在仍然被时间分割的情况下才能重新统一起来，它是人类智慧的基础现象，通过抽离它的情感内容得到数学思维的基础现象，即赤裸的two-oneness(一个自造词，不知道怎么翻译)的直觉。这种two-oneness的直觉，即这种数学的基本直觉不仅创造了1和2，甚至创造了所有有穷序数，因为two-one中一个元素可以被考虑为一个新的two-one，这一过程可以无限重复。(Brouwer ＜Intuitionisme en formalisme＞ 1912)

我们无需关注布劳威尔在哲学上的具体观点，简单来说，布劳威尔是一个再典型不过的观念论者、真值反实在论者。他和康德一样认为数学是先天综合的。更准确一点说，数学的本质是理想化的精神构造。这里的理想化是指，对于关于数学的活动而言，纸和笔都只是辅助工具而不是本质性的，只有关于数学的心灵活动，一种-主动的-基于时间直观的-精神-活动才是数学的本质。例如为了证明有无穷多个质数，直觉主义认为我们需要做的是提供一套可行的程序，能够构造出无穷多个质数(当然未必是全部质数)，说一个方程在复数域内有根意味着我们能够提供关于这个根的构造。说一个数学对象存在，即是说对其构造的可能性。在这之后，可以看到布劳威尔是反对排中律的。在布劳威尔看来，排中律必须依赖于数学的本体实在论立场，而这是他不接受的。那些认为数学对象存在于独立的数学王国的数学家当然相信例如或者存在或不存在自然数n满足某个命题Pn，但在布劳威尔看来却并非如此，说不存在n意味着假设n存在推出矛盾，但说存在n却是指提供一个对n的构造方案。这二者不是一回事。布劳威尔也不承认实无穷，准确一点说，我们不能像大多数数学家那样把例如实数视作一个完成了的集合，它是一个在不断构造中的集合(序列)。同样的，布劳威尔坚决反对非直谓定义的使用。

更进一步，在布劳威尔看来，数学的本质存在于心灵和精神之中，而逻辑主义和形式主义关注的逻辑和语言对于数学而言都是非本质性的，它们不过是数学用于交流的附属物，逻辑只是通过语言交流数学规则的一种编码而已，对逻辑和语言的关注对于数学而言是流于表面，没有抓到数学的要点的。逻辑和语言可说仅仅是精神构造的交流不完美的媒介，而数学是关于后者的。

在布劳威尔之后，他的学生Heyting继承了直觉主义的主要思想，并发展了一整套直觉主义的形式化系统，在某种意义上这和布劳威尔是不合的，因为在布劳威尔看来形式化本身就已经丢掉了数学的本质，不过Heyting的这些工作使得我们可以从数学，而不仅仅是哲学角度考察直觉主义(的数学主张)。直觉主义对于经典数学不仅仅是限制，确切说它们是不相容的。在今天，关于直觉主义逻辑的相关研究在数理逻辑方面已经非常丰富了。我们也许可以说，尽管直觉主义并没有多影响到大多数传统的数学领域，但在数理逻辑方面已经受到了很多重视。

在今天的哲学界也有一些直觉主义者，例如Michael Dummett。但要注意，说Dummett是一个直觉主义者是指他对直觉主义逻辑的支持，就哲学上的考虑Dummett和布劳威尔以及Heyting是截然不同的。Dummett从一开始关注的焦点就是布劳威尔认为不完美的语言，他的讨论非常技术化也非常哲学，是从语义学和语用学的一些考虑开始的，因为我个人完全没搞懂，所以就不在这里妄言了。

简单总结一下，直觉主义的核心在于对排中律的拒绝。传统的直觉主义者是观念论和真值反实在论者，他们认为数学是一种精神活动，一种进行中的构造活动，而语言和逻辑都是非本质性的。现代的直觉主义者，或说Dummett未必会接受传统直觉主义的哲学上的考虑，但他也同意对排中律的拒斥，或者说排中律的使用是不合法的。尽管经典数学在物理上可能取得了巨大成功，但对于直觉主义而言这些应用是无关紧要的。

3.4 结构主义(Structuralism)

柏拉图主义者也许会认为，每一个自然数都实在，而且独立于另一个自然数，就如一个苹果的存在独立于另一个苹果。结构主义者拒绝这一点，他们认为数学是关于抽象的数学结构的学科。例如数论的研究对象是一个抽象结构，这个结构具有以下形式的无穷集合共有的模式(pattern)：一个唯一的初始元素(0)，后继关系和归纳公理(Peano公理)。数字2是这个结构的第三个元素(从0开始)，数字5是第六个。它们存在于这个结构中，没有一个自然数独立于另一个自然数，它们都依赖这个结构。当然在本体论上依赖比不意味着在认识论上也依赖，我们可以认识2而不认识5，类似于我们可以了解一个苹果而不了解它的微观结构一样。数学研究的对象不是单独的数学对象，而是某个结构，这些对象则占据了这个结构中的特定位置。

一个重要的概念是系统(system)，它是对象的集合和对象的关系，一个结构是一个系统的抽象，忽略掉无关因素，例如一场篮球比赛场上球员和球场(也许还有教练)构成了一个系统，结构是对这个系统的抽象，比如当我们讨论篮球战术时，我们不必关心这些球员球衣的号码或头发的颜色，这些无关因素就被剔除，比如下图就是我们需要的结构，它包括各球员的站位，还有这些球员在球场上的分工(图中数字即是这样的标记)，但它不包括这些球员的名字，头发的长度等等。在这样的例子中我们也可以看到，控球后卫不是单独存在的，中锋也是，它们共同存在于篮球队这个结构和系统中。

对于数学的可用性，结构主义可以如此回答：现实世界中存在着各式各样的系统，这些系统包括特定的数学结构的例示(exemplification)，例如一个物理空间中(也许是)是一个黎曼几何的例示，物理空间中诸元素的关系也就符合于黎曼几何结构中的关系。但着重强调，不要把物理空间中的点和数学几何中的点对应起来等等，对于结构主义，不是单独的元素相对应，对应的是整个结构和结构中各位置的关系。

那么结构是实在的吗？有两类不同的结构主义：共相先在(ante rem)结构主义和取消(eliminative)结构主义。共相先在结构主义认为，结构的存在独立于它在现实世界中的例示，作为类比，柏拉图认为红性(redness)先于世界上所有红色的对象，即便所有红色的对象(红性的例示)都从世界上消失了，红性也依然存在。所以共相先在结构主义对于数学对象是柏拉图主义式的，一个典型的单称词项(singular term)，比如自然数“2”就是一个真正的单称词项，它指称自然数结构中的某个特定位置。取消结构主义则认为，结构的存在必然总是联系着例示该结构的系统，从这种意义上，结构并不独立存在，它对于数学对象是唯名论式的。单称词项是一些约束变量，例如2+3=5应该被理解为在任何自然数结构中处于第3个位置的任意对象(2)与第四个位置的对象(3)在结构中的加法(+)得到的是第六个对象(5)。我们不能问，在这个结构中的第3个位置的对象是什么，它并不预设这个对象是什么，甚至于说它并不预设这个对象存在。也就是说，它是一种没有结构的结构主义(structuralism without structures)。

如果我们假定物理世界中的物体是有限的，那么我们将很难看到包含无穷基数的数学结构是如何被例示的，一种选择是共相先在结构主义，无穷基数在某种意义上是独立于它的例示而存在的。对于取消结构主义，一种方法是假定有足够多的抽象对象，包含这些抽象对象的抽象系统例示了相应的数学结构，另一种方法则是引入模态逻辑，它被称为模态结构主义(modal structuralism)。所有这些策略的具体含义及遇到的技术上的困难，这里不讨论。

对于数学的认识论方面，共相先在结构主义的问题是，我们是如何认识结构的，而对于假定抽象对象的取消结构主义，问题是我们如何认识例示了无穷结构的抽象系统，对于模态结构主义，问题是我们如何知道哪个系统是可能的以及对这样的系统是如何认识的。对于这样的认识论问题，结构主义的策略并非是单一，而是一系列的。例如，首先在生活中我们会遇到各式现实中的系统，借由模式识别的心理机制我们可以获得关于小的，有穷结构的知识，通过反思这样的序列我们可以获得自然数结构的知识，借由比例知识还可以进一步得到有理数结构等等。

简单总结，结构主义认为数学是关于结构的学科，数学对象的存在必须依赖于包含它的结构，现实世界中的系统是这些结构的例示。所有结构主义者都同意数学的真值实在论，但在本体论问题上则出现了分歧，一些结构主义者是本体论柏拉图主义者，另一些则是唯名论者。

3.5 自然主义(naturalism (in the philosophy of mathematics))

如果只用一个词概括/描述二十世纪下半页到现在的分析哲学界的发展，“自然主义(naturalism)”无疑是最适合的一个，无论哲学家们对自然主义的变化是欢迎、怀疑或恐惧，都不得不承认自然主义深刻地改变了(分析)哲学的地貌(landscape)。自然主义作用于多个不同的哲学领域，而即便是在数学哲学中自然主义也包括三个相关但不相同的维度：本体论、认识论和方法论，限于篇幅在本文中并不会详细区分它们，而是把它们放在一起考虑。

让我们直接从Quine和Putnam的一个著名论证：不可或缺性论证(indispensability arguments)开始，先要着重强调，并非只有数学的自然主义者才支持这个论证，反过来也并非所有数学的自然主义者都支持这个论证。

P1 如果数学公理为真，那么人们必须承诺这些公理中数学词项指代的抽象实体存在。

P2 我们最好的科学理论为真或近乎为真或至少它是最好的。

P3 数学对于我们最好的科学理论是不可或缺的。

C 如果我们承诺我们最好的科学理论，则我们必须同时承诺数学，如此我们也必须承诺数学实体存在。

这个论证的结论是数学的本体论和真值双实在论立场。对于Quine这样的数学自然主义者而言，这个论证的一个关键在于，所有“存在”都只有一个意义，即对象在我们的科学理论中的应用，无论这个对象是数学这样的抽象对象，还是像椅子这样的日常对象，抑或电子这样的科学对象，它们都只可能在一种意义上存在，即科学的意义上。

在这个论证的基础上，Quine还是一个数学的经验主义者，他反对任何的先天知识，数学知识的获得是通过信念之网(web of belief)的整体论(holism)的形式：我们所谓的知识或信念的整体，从地理和历史的最偶然的事件到原子物理学甚至纯数学和逻辑的最深刻的规律，是一个人工的编织物。它只是沿着边缘同经验紧密接触。(Quine 'Two Dogmas of Empiriccism' 1951)

在Quine看来，数学(同逻辑一起)在这个网中处于中心位置，在于1.它远离我们的感官经验；2.它联系着整个网中更多的部分。但是这个中心位置并没有把数学从这张网中与其他部分彻底区分开，在数学和自然科学之间没有明确界线(再说一遍，没有明确界线不等于没有区别)，数学和科学在它们的交界处交织在一起，人们必须接受科学为真，从而也必须接受数学为真，原则上数学陈述的真值是可修改的，尽管这将导致我们整个信念之网的大幅震荡，即我们同时还需要修改网中其他大量其他(数学和科学的)陈述的真值以达到平衡，我们之所以认为5+7必然等于12仅仅是一个心理学事实，而不是关于数学的任何事实。数学和科学构成的整体：我们的信念之网却并非总是不变的，它可以，实际上也确实正在不停发展，但是除了接受我们现有的信念之网是真的以外我们别无选择，对此Quine引用了Neurath的一个著名比喻：我们就像是在广阔大海上航行的水手，必须不停修复我们的船只，但不能在船坞中将整艘船拆卸并用最好的零件重建这条船。

在这里，数学的合法性不是从任何哲学中获得的，而是从它在科学的使用中获得的，数学哲学家不过是数学的女仆，甚至是在试图多管闲事，哲学是处于最后位置的(philosophy-last-if-at-all-principle)，而不是传统哲学家所设想的哲学在先(philosophy-first-principle)。这正是数学的自然主义的一个核心主张，数学哲学仅仅负责描述数学和数学实践，它对数学没有规范性意义。

但在这里自然主义内部有一个重要的分歧：Quine认为“只有在科学/哲学事业需要的范围内才接受数学(也许为了'事情的圆满'，会比这多一点)”，而那些在科学中没有应用，或者说没有协助科学的数学事业并不被接受(从而，不可或缺论证对于数学的实在论不仅是充分的，还是必要的)，这些部分基于奥卡姆剃刀的原则就应该被丢弃；Burgess和Rosen认为既然数学和科学共同构成一个整体，科学就不能以一个优先的位置给予数学合法性，数学和科学是一个共同体，它的合法性是在这个共同体中共同获得的；Maddy则持有另一种观点，她认为我们的信念之网并非是没有缝隙的，数学有其自身的方法论，数学的合法性来自于它自身而不是来自于应用它的科学，正如数学史上很多数学发现都在很久以后才在科学中得到应用。简单来说，这三种观点的分歧在于是什么给予数学的合法性地位，作为自然主义者他们都同意不是哲学，Quine认为是科学，Burgess认为是科学-数学，而Maddy认为是数学自身。[注2]

毫无疑问以上介绍的是一种最典型的数学自然主义，但考虑到自然主义一词的范畴之大，它绝不是唯一的一种，例如有一种自然主义认为“存在”只在于在时空中存在(spatiotemporal)，而不是在于对象在科学中的应用。既然如此，这种自然主义必然是反对不可或缺性论证和柏拉图主义的，它也可以和反实在论式的结构主义或下一节介绍的虚构主义相兼容。故而，它不算是一种单独的关于数学哲学的立场，但确实是自然主义的。

稍微总结一下，数学(哲学)的自然主义者在数学本体论和真值问题上都持有实在论立场，同时数学是经验知识，而不是先天知识。数学的合法性地位一定不是来自任何哲学，而是来自数学或科学或二者之并，数学哲学之于数学仅仅具有描述性作用。同时，数学的自然主义立场不能被视作仅仅在数学哲学中持有自然主义立场，二者不是重合的。

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