数学哲学（完结）

3.6 虚构主义(fictionalism)

柏拉图主义认为数学对象客观存在，因此说“3是质数”在某种意义上和“地球是太阳系的第三颗行星(按照和太阳的距离从小到大)”一样，前者是对数字“3”的描述，后者是对“地球”的描述。根据我们上一节中介绍的不可或缺性论证，物理学需要数学，而数学包括对抽象实体的指称和量化，既然如此，如果接受物理学，我们就不得不接受数学对象的本体论地位。对这个论证的一种反对意见是反对上文的前提P1，通过提供一种语义学理论使得数学命题的真不包含对数学对象的承诺。而虚构主义者则不采取这种方法，他们采取一种更加激进的方法，否认P3，认为数学对于物理学是不可或缺的。

虚构主义者的代表人物Field认为数学对象类似于小说中的地位，我们可以同意“哈利波特头上有一个闪电状的伤疤”而不需要承诺哈利波特存在，同样的Field接受P1，数学命题的真的确需要存在抽象实体，但这样的抽象实体不存在，所以数学命题仅仅具有空洞的真值，因而“所有自然数都是质数”可以为真，因为根本就不存在自然数，尽管我们有数学定理“并非所有自然数都是质数”，也就是说数学陈述的真值并不与数学定理符合。也就是说，虚构主义者是数学的本体论唯名论者和真值反实在论者。现在虚构主义要应对的第一个主要问题是，如果数学命题没有非平凡的真值，那么它是如何被应用于物理等自然科学之中。当然数学对于物理学是有用的，但虚构主义者认为它不是必要的，为此Field发展了关于牛顿的引力理论的一套唯名论版本(Putnam的不可或缺性论证也是以引力理论为例的)，作为解释数学的虚构主义如何应用于科学的一个范例。Field论证道，时空中的点是具体而非抽象的，它们不是数学对象，它们在物理学中的地位相当于电子，是作为物理实体存在的。在这之后我们引入一些特定的关系，例如点xyz，定义"y bet(ween) xz"表示xyz共线且y在xz之间，这里的bet关系不是数学关系，而是物理关系，这里并不涉及到作为数学对象的点和直线等等。在这之后，Field又通过唯名论语言提供了微分和积分的替代，并证明这些替代物具有数学中微分和积分所具有的性质。这里的要点在于这种替代理论反对数学对象的抽象存在。

在这之后，Field要表明的是，数学对所有综合理论都是保守(conservative)的，用通俗而不太严谨的说法，如果某个科学理论N加上数学可以推出某个唯名论命题T，那么单单N就可以推出T，例如从数学中我们推不出引力和物理之间的距离成反平方比，数学不能推出非数学命题，从而数学对于这些科学理论就是可有可无的了。Field进一步认为，即便是柏拉图主义者也应该接受数学对于科学是保守的：如果发现标准数学蕴含宇宙存在10个非数学对象或者巴黎公社失败了，会是十分令人惊奇的。……(如此)所有人会认为标准数学需要修正了。(Field ＜Science Without Numbers＞ 1980)

这里的一个困难就在于数学和物理学之间是否有明确的界线。为此Field提供了两个基于模型论的论证，通过引入一些看上去合理的假设，他证明了数学在必要的意义上是保守的。

很显然，虚构主义的优点在于它回应了数学的认识论问题，柏拉图主义最大的问题就是抽象对象是如何被认识的，而虚构主义者则可以回应这个问题，代价是所有数学都不过是虚构，从而它是一种特别激进的数学哲学观点，所受到的批评也很多。我们简单看下其中几种：一种批评是，Field仅仅提供了牛顿引力理论的唯名论描述，而能否将其扩展到所有物理学(更何况还有其他应用到数学的科学)，例如量子力学，弦理论等等仍然是一个值得详细考虑的问题，因为在这些理论中数学的地位更加重要，当然这方面虚构主义者也有一些理论尝试，但具体我个人不了解。另一个问题是如何在唯名论的条件下定义保守性，因为后者是基于模型论定义的，而这似乎就必须预设集合论对象的存在，这里又涉及到一系列技术细节。当然虚构主义者最主要的问题是认为数学命题没有非平凡的真值，而看上去“‘4是质数’是真的”无论如何都无法被接受。

让我们回顾一下，虚构主义者认为数学对象类似于小说中的人物，是不存在的，而且数学命题也没有非平凡的真值，它在本体论和真值上都是反实在论立场。虚构主义最大的任务是说明科学是如何在没有数学的条件下成立的，为此他们的任务是提供了一套唯名论的科学理论，说明数学对象和数学命题真值的实在论立场对于科学是不必要的。虚构主义的最大难题在于它的反直观性，以及它们整个计划完成的可能性。

注意1：简单来说，先天(a priori)的意思是独立于经验，或者说不基于“关于现实世界中事件的特殊过程的经验”。我们可能认为把一个苹果和另一个苹果放在一起得到两个苹果是1+1=2的一个示例，但并非是这样的经验使得1+1=2是真的，类似的，把1体积水和1体积酒精混合得到的混合液小于2体积，但我们不会认为这样的事实经验使得1+1不等于2。先天对应的概念是后天(posteriori)。综合(synthetic)的对应概念是分析(analytic)，分析是这样的概念，一个全称命题“所有S是P”的谓词P包含于主词S的概念中，例如“绿色是一种颜色”，“所有狗都是动物”这样的，而综合即是非分析的。不难看到，所有分析命题都是先天命题，所有后天命题都是综合命题。

虽然人们最初大概会想：7+5=12这个命题是一个单纯的分析命题，它是从7加5之和的概念中根据矛盾律推出来的。然而如果人们更确切考察就会发现，7加5之和的概念并未包含任何进一步的东西，而只包含将这两个数合为一个数的意思，这种结合根本没有使人想到这个把二者合起来的唯一的数是哪个数。12这个概念绝不是由于我单是思考那个5和7的结合就被想到的，并且，无论我把我关于这样一个可能的总和分析多久，我终究不会在里面找到12.我们必须超过这些概念之外……

在这里我要强调两个方面，一是，这个介绍仅限于康德，很多细节在康德之后都被批评及改进，在这里没有涉及；二是，这个介绍非常非常简单，它只是传达个意思，不适合严肃对待。

注意2：在本段以及本文的其他一些地方，我一直是在一种既狭义又广义的意义上使用“科学”一词，其狭义在于，我把数学和逻辑等学科从“科学”一词中排除了出去，尽管这未必是合法的；其广义在于，这里的科学不仅仅包括像物理学、化学这样的硬核(hard)科学，各种较软的，甚至偶然的事实(知识/信念)都可以被归到这个“科学”当中。

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