哲学（一）

1. 诚实劳动

2.逻辑分析与逻辑构建

3.自然数

4. 明确的描述

5. 课程

6.系列、序数和实数

7. 数学函数

8.命题和命题函数

9.物质、空间和时间的构建

10.从逻辑构造到测量理论

11. 逻辑构造的后继者

参考书目

主要文学：罗素的作品

主要文献：怀特海的作品

主要文献：N. Wiener 的作品

二级文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 诚实劳动

罗素 1924 年列表中最早的构造是 1901 年著名的“弗雷格/罗素定义”，将数作为等数类的类（Russell 1993, 320）。该定义遵循上个世纪为微积分提出的极限和连续性概念的定义示例。罗素并不满足于采用皮亚诺-戴德金公理作为自然数理论的基础，然后展示如何从这些公理逻辑地推导出数的属性。相反，他定义了“数”、“后继”和“0”的基本概念，并建议通过逻辑概念精心选择的基本概念定义来表明，这些公理可以仅从逻辑原理中推导出来。

罗素将自然数定义为等数类的类。任何对，即具有两个成员的类，都可以与任何其他对进行一一对应，因此所有对都是等数的。然后将数字二与所有对的类别进行识别。当存在这种一对一的映射关系时，等数类之间的关系称为“相似性”。相似性仅根据量词和同一性的逻辑概念来定义。通过如此定义的自然数，皮亚诺公理可以仅通过逻辑手段导出。在自然数之后，罗素将“级数、序数和实数”（1924, 166）添加到他的构造列表中，然后以物质的构造作为结束。

罗素认为 A. N. 怀特海 (A. N. Whitehead) 在 1914 年提出了感知数据与物理学关系问题的解决方案：

我的朋友和合作者怀特黑德博士让我意识到了这个问题的重要性，这里所提倡的观点与《哲学问题》中提出的观点之间的几乎所有差异都归功于他。我感谢他对点的定义，对处理瞬间和“事物”的建议，以及将物理世界作为一种建构而不是一种推论的整个概念。 （罗素 1914b，vi）

直到后来，罗素在一篇反思他的哲学的文章中，也将他早期的逻辑主张描述为“逻辑构造”。这种以建构代替推理的方法作为哲学一般方法的第一个具体表述是在《逻辑原子论》一文中：

怀特海博士和我根据经验发现，一条非常重要的启发式格言适用于数理逻辑，并已应用于其他各个领域，这就是奥卡姆剃刀的一种形式。当某些假定实体集具有整齐的逻辑属性时，事实证明，在很多情况下，假定的实体可以被由不具有如此整齐的属性的实体组成的纯逻辑结构所取代。在这种情况下，在解释迄今为止被认为是关于假定实体的命题体时，我们可以替换逻辑结构，而不改变所讨论命题体的任何细节。这是一种经济，因为具有简洁逻辑属性的实体总是被推断出来，如果它们出现的命题可以在不进行这种推断的情况下被解释，那么推断的基础就失败了，我们的命题主体就不需要可疑的一步。该原则可以用以下形式表述：“只要有可能，用已知实体的构造替代对未知实体的推论”。 （罗素 1924 年，160）

罗素在他的《数学哲学导论》中这段经常被引用的段落中指的是逻辑构造。他反对引入具有隐式定义的实体，即遵循某些公理或“假设”的事物：

“假设”我们想要什么的方法有很多优点；它们与偷窃相对于诚实劳动的优势是一样的。让我们把它们留给其他人，继续我们诚实的辛劳吧。 (罗素 1919, 71)

他指责我们需要证明存在满足这些公理的任何对象。这里的“辛苦”是制定数字定义的工作，以便仅使用逻辑推理就可以证明它们满足公理。

将逻辑结构描述为“不完整符号”源自上下文定义的使用，这些定义为可能出现已定义符号的每个句子提供分析或替代。该定义没有给出明确的定义，例如一侧具有定义表达式的方程，另一侧具有定义，或者给出单独应用该术语的必要和充分条件的通用陈述。虚构与用“不完整符号”表达之间的联系可以从罗素通过类论对有限基数和序数的构造中看出。 “无类”理论通过类术语的语境定义，使所有数字成为“不完整的符号”，因此数字可以被视为“逻辑虚构”。

建构和逻辑虚构的概念一起出现在罗素的“逻辑原子主义哲学”讲座中：

你会发现某个被设定为形而上学实体的事物要么可以被教条地假设为真实的，然后你就没有可能的论据来支持它的现实或反对它的现实;或者，你可以不这样做，而是构建一个具有相同形式属性的逻辑虚构，或者更确切地说，具有与假定的形而上实体及其本身由经验给定的事物组成的形式属性相似的形式属性，并且逻辑虚构可以代替你的逻辑虚构。假定的形而上学实体，并将实现任何人所渴望的所有科学目的。 （罗素 1918 年，144）

不完整的符号、描述、类别和逻辑虚构相互关联，然后与讲座前面的以下段落中的“日常生活中熟悉的物体”关联起来：

除了描述之外，还有许多其他类型的不完整符号。有类……以及扩展中的关系，等等。这种符号的聚合实际上与我所说的“逻辑小说”相同，它们几乎涵盖了日常生活中所有熟悉的物体：桌子、椅子、皮卡迪利、苏格拉底等等。其中大多数是课程、系列或系列课程。无论如何，它们都是不完整的符号，即它们是仅在使用中有意义而本身没有任何意义的聚合。 (罗素 1918, 122)

下面将解开逻辑结构的这些不同特征。结果似乎是一系列相互关联的分析，彼此至少具有家族相似性。共同的特征是，在每种情况下，以前必须在公理中假设的对象的一些形式或“简洁”属性现在可以作为定义的逻辑结果导出。被替换的实体是不同的“虚构”、“不完整的符号”或简单的“结构”，具体取决于定义所采用的形式。

2.逻辑分析与逻辑构建

如果将罗素的逻辑构造视为从逻辑分析开始的方法的逆运算的产物，那就错了。分析确实是罗素现实主义和原子论哲学的独特方法，而建构方法则是后来才出现的。罗素的新哲学自觉地反对十九世纪末剑桥哲学界盛行的黑格尔主义(Russell 1956, 11-13)。罗素首先需要捍卫分析过程，并反对唯心主义者的观点，即复杂实体实际上是“有机统一体”，对这些统一体的任何分析都会失去一些东西，正如口号“分析就是证伪”。 (1903, §439) 我们分析的主题是现实，而不仅仅是我们自己的想法：

所有的复杂性都是概念性的，因为它是由于一个能够进行逻辑分析的整体而产生的，但它是真实的，因为它不依赖于心灵，而只依赖于对象的本质。心能够区分元素的地方，必定有不同的元素需要区分；不过，唉！头脑常常无法区分不同的元素。 （1903，第 439 条）

由于现实的最终组成部分是通过逻辑分析发现的，因此逻辑构造不能是相反的操作，因为通过将事物重新组合在一起来撤销分析只会使我们返回到我们开始时的复杂实体。那么构建已经分析过的内容还有什么意义呢？

这里对分析和建构的区分故意回避了弗雷格和罗素学者之间关于分析本质的重要讨论。弗雷格在他的《算术基础》（1884，§64）中认为，关于数字同一性的命题也可以被分析为关于类相似性的命题。他将其描述为以不同的方式“重新雕刻”同一内容。后来弗雷格断言，相同的思想可以被视为以不同方式将函数应用于论证的结果。由于思想的逻辑形式是将概念应用于论证的结果，这意味着不同的逻辑形式被分配给同一思想。为了解决与弗雷格著名的组合性理论的明显冲突，即思想是由其成分以大体上遵循其句法形式的方式构建起来的，迈克尔·达米特（Michael Dummett，1981，第 15 章）在弗雷格中区分了两种分析概念，一个是一个是“分析”，另一个是“分解”。 Peter Hylton (2005, 43) 认为罗素的分析概念存在问题，很难说包含明确描述的句子具有“论指称”(1905) 中分配给它们的复杂的量化结构作为它们的“真实结构”。迈克尔·比尼 (Michael Beaney) 在他的引言 (2007, 8) 中为讨论这种区别对罗素的重要性的论文的引言中的两种分析给出了“分解”和“转化”的名称。詹姆斯·莱文声称，事实上第一种分析形式，即寻找命题的最终构成的项目，属于罗素早期放弃的“摩尔分析”的早期项目。事实上，在将数字视为等类的类时，罗素已经采用了莱文所说的“罗素后皮亚诺分析”。

这场辩论当然与弗雷格哲学的研究及其与罗素作为分析哲学运动创始人的联系有关，但它可能与罗素自己对“分析”术语的使用不一致。虽然彼得·斯特劳森（Peter Strawson）在他的《论指称》（On Refering，1950）中多次提及罗素对明确描述的“分析”，但实际上这个术语并没有出现在《论指称》中。罗素提到了他的描述“理论”，并承认这不是一个会立即被认为是我们一直以来这样的句子的含义的提议，而是谈到了他对量词和身份符号的有些复杂的使用：

这似乎是一个有点令人难以置信的解释：但我不是在给出理由，我只是在阐述理论。 （罗素 1905, 482）

然后，他继续通过“处理”三个难题来捍卫自己的理论，其中包括“现任法国国王是秃头”是真是假的著名例子。他在任何时候都没有诉诸演讲者在说出这些句子时可能想到的内容。由于这些事实，似乎可以通过与科学理论的逻辑方法进行类比来最好地理解罗素的方法论。在这个模型中，“逻辑分析”的结果将是定义和原始命题或公理，从中可以通过逻辑推理导出形式化科学理论的定律。将一种理论还原为另一种理论包括使用还原理论的语言重写目标理论的公理，然后将它们证明为该还原理论的定理。那么，构造最好被视为选择定义的过程，以便可以将先前的原始陈述推导出为定理。 （参见 Hager 1994 和 Russell 1924。）

这幅图景最适合这种以语言为导向的“理论建构”概念，而不是哲学分析的项目。它还遵循数学传统中构造概念的使用。欧几里得在每次演示前都会给出一个图形的“构造”，该图形在下面的证明中具有特色。戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）在他的《算术基本定律》（1893）中的每一个证明都以“分析”开始，它非正式地解释了定理中使用的概念和推导策略，然后是实际的、无间隙的证明，这被称为“构造” ”。因此，从历史上看，不存在将分析阶段作为两个具有可比性质但走向相反方向的过程之后的综合阶段的构造概念。

即使按照理论构建的阶段来描述，分析和逻辑构建也不是简单的逆运算。罗素强调，在分析中发现和区分的物体是“真实的”，它们之间的差异也是如此。因此，对开始时的定义和原始命题的“选择”是有限制的。演绎系统与现实本体论之间的关系在罗素作为逻辑构造示例列出的各种案例中有所不同。对命题和“复合体”（例如事实）进行分析，以找到构成它们的真实对象和关系。另一方面，逻辑构造产生了一种理论，通过逻辑推论可以得出真理。逻辑建构所产生的演绎系统的真理只是一些待分析的“前理论”真理的“重构”。只有它们的演绎关系，特别是它们从理论公理的演绎能力，才与构造的成功相关。逻辑结构并不能捕捉人们开始时的前理论实体的所有特征。

对逻辑建构的大部分关注都集中在它是否实际上是一种统一的哲学方法论，它将引入“哲学中的科学方法”，正如罗素在（Russell 1914b）的副标题中所说的那样。从弗里茨（Fritz，1952）到塞恩斯伯里（Sainsbury，1979）的评论家都否认罗素的各种构造符合统一的方法论，并质疑“虚构”和“不完整符号”语言对所有例子的适用性。然而，下面将展示结构如何落入几个自然族中，这些术语由各种术语以相当高的准确度进行描述。

3.自然数

罗素将自然数定义为相似或等数类的类，首次发表于（Russell 1901），这是他的第一个逻辑构造，也是随后的逻辑构造的模型。相似类是那些可以通过某种关系一对一映射的类。 “一对一关系”的概念是用逻辑概念定义的：

右

是一对一的，当对于每个

x

有一个独特的

y

这样

x

右

y

，并且对于每一个这样的

y

在范围内

右

有一个独特的这样

x

。这些存在和唯一性的概念来自逻辑，因此数的概念仅根据类和逻辑概念来定义。罗素在《数学原理》中宣布了他的逻辑主义计划的目标：“证明所有纯数学都专门处理用极少数基本逻辑概念定义的概念，并且它的所有命题都可以从极少数逻辑概念中推导出来。基本逻辑原则……”（Russell 1903，xv）。如果类也被证明是一个逻辑概念，那么这个定义将完成自然数数学的逻辑主义程序。

Giuseppe Peano (Peano 1889, 94) 阐述了初等算术的公理，后来由 Russell (1919, 8) 表述为：

0 是一个数字。

任何数字的后继者都是一个数字。

没有两个数字具有相同的后继者。

0 不是任何数字的后继。

如果一个属性属于 0 并且属于 的后继者

x

每当它属于

x

，那么它属于每个数字。

对于皮亚诺来说，这些是数公理，它们与类公理和命题一起描述这些实体的属性，并导出表达这些实体其他重要属性的定理。

理查德·戴德金 (Dedekind 1887) 还使用链的概念列出了具有相似公理的数字的属性，链是一个无限的集合序列，每个集合都是下一个的子集，它是有序的并且具有自然数的结构。然后，戴德金证明了归纳原理（上面的公理 5）对于链来说是成立的。 （参见戴德金的条目）。尽管罗素发现“最值得注意的是戴德金以前的假设足以证明这个定理”（Russell 1903，§236），他比较了皮亚诺和戴德金的两种方法的简单性和处理数学归纳法的不同方式，并且结论是：

但从纯粹逻辑的角度来看，这两种方法似乎同样合理。值得注意的是，有了基数逻辑理论，皮亚诺和戴德金的公理都变得可以证明。 （罗素 1903，§241）

当罗素后来谈到“‘假设’方法”时，他想到的是皮亚诺和戴德金，他将皮亚诺和戴德金的方法相对于构造的“优点”进行了比较，就像盗窃相对于诚实劳动的优点一样。

为了完成他的项目，罗素需要找到定义和一些“极少数的基本逻辑原理”（Russell 1903，xv），然后产生所需的推导。只有通过《数学原理》（Whitehead and Russell 1910-13）才完成了用“无类理论”以及导出数和类属性所需的逻辑原理找到类的充分定义。这种数字的构造是将实体定义为其他实体的类的一个明显例子，以便能够将某些属性证明为逻辑定理，而不必依赖于窃取假设。然后，罗素利用描述理论中的上下文定义手段，也消除了类，将命题函数的逻辑概念作为基本概念，从而表明类的原则是逻辑的一部分。

4. 明确的描述

明确的描述是罗素在将它们描述为“不完整的符号”时所想到的逻辑结构。另一方面，“逻辑虚构”的概念最直接地适用于类。其他结构，例如关系的域和范围的概念，以及对算术发展至关重要的一对一映射的概念，只是在间接意义上是“不完整的”，因为它们被定义为某个特定的类。排序，这又是结构。

罗素的描述理论是在他发表在《Mind》杂志上的论文《On Denoting》（Russell 1905）中介绍的。罗素的理论提供了“The”形式的句子的逻辑形式

F

是

G

” 其中“

F

” 被称为明确的描述，与“An

F

’这是一个不确定的描述。分析提出“

F

是

G

” 相当于“只有一个

F

它是

G

’。考虑到这一点，描述的逻辑属性可以仅使用量词和恒等的逻辑来推断。 《数学原理》*14 中的定理表明，（1）如果只有一个

F

然后‘

F

是

F

” 是真的，如果不存在，那么“

F

是

G

’ 总是假的，然后，(2) 如果

F

=

这

G

，以及

F

是

H

，那么

G

是

H

。这些定理表明，正确的（唯一指称的）描述的行为就像专有名称，即逻辑的“单项术语”。其中一些结果存在争议——斯特劳森（Strawson，1950）声称，“现任法国国王是秃头”的说法应该是毫无价值的，因为没有现任法国国王，而不是像罗素的理论预测的那样“明显”是错误的。罗素在（Russell 1959, 239-45）中对斯特劳森的答复有助于理解罗素的哲学方法论，其中逻辑建构只是其中的一部分。然而，正是通过评估一种建构的逻辑后果来判断它，因此斯特劳森以适当的方式挑战罗素。

描述理论引入了罗素的不完整符号概念。出现这种情况是因为在对出现描述的句子的形式分析中没有出现“The F”的定义等效项。这句话‘该

F

是

H

’ 变为：

∃

x

[

∀

y

(

F

y

↔

y

=

x

）

&

H

x

]

其中没有任何子公式，甚至是连续的片段，可以被识别为“F”的分析。同样，谈论“平均家庭”时，“平均家庭有 2.2 个孩子”变成“家庭中孩子的数量除以家庭数量 = 2.2”。该公式中没有任何部分与“普通家庭”相对应。相反，我们得到了一个从它们出现的上下文中消除这些表达式的过程，因此这是“不完整符号”的另一个例子，而平均值的定义是“上下文定义”的一个例子。

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