哲学（二）

可以说，罗素对明确描述的定义是表面语法形式和逻辑形式之间哲学区分的最突出的早期例子，从而标志着语言分析作为哲学方法的开始。语言分析首先要超越表面的语言形式，以看到潜在的哲学分析。 Frank Ramsey 将描述理论描述为“哲学范式”（Ramsey 1929，1）。虽然它本身肯定不是所有哲学的模型，但它至少是罗素在 1924 年回顾其哲学发展时列出的其他逻辑构造例子的范式。描述理论受到了一些语言学家和语言学家的批评。这些哲学家将描述和其他名词短语视为句子的成熟语言成分，并将语法形式和逻辑形式之间的明显区别视为错误。 （请参阅描述条目。）

继吉尔伯特·赖尔（Gilbert Ryle，1931）对迈农的不存在对象理论进行了有影响力的批评之后，描述理论已被视为避免对对象进行本体论承诺的模型，因此一般逻辑构造通常被视为主要用于消除所谓的实体。事实上，这个目标对于许多建筑来说至多是次要的。这些构造的主要目标是允许证明命题，否则这些命题必须被假定为公理或假设。构造的引入也不一定总是导致有问题的实体的消除。然而，其他结构应该更多地被视为将一类实体还原为另一类实体，或者用更精确、更数学的替代品来替代一个概念。

5. 课程

罗素的《数学原理》*20 中的“无类”类理论提供了类似于确定描述理论的上下文定义。罗素对所有不属于自身成员的阶级的阶级悖论的早期诊断之一是，它表明阶级不可能是个体。事实上，罗素似乎通过应用康托著名的对角论证来证明个体的类别比个体更多，从而发现了他的悖论。因此，他得出结论，阶级不可能是个体，阶级的表达方式如“

{

x

:

F

x

}

’不能是它们看起来的单数术语。受到描述理论的启发，罗素提出说

G

的班级的

F

s,

G

{

x

:

F

x

}

，就是说有一些（谓词）属性

H

与（相同的事物相同）同延

F

这样

H

是

G

。对谓词属性的限制，或者那些没有根据其他属性的量化来定义的属性，是类型理论的分支的结果，以避免内涵或“认知”悖论，这激发了除了集合之外的类型理论理论上的“罗素悖论”（参见 Whitehead 和 Russell 1910-13，引言，第二章）。然而，这些谓词属性是内涵性的，因为两个不同的属性可能持有相同的对象。 （参见《数学原理》中有关符号的条目。）如此定义的类具有外延性特征，因此是可以推导的，而不是假设的。如果

F

和

H

是同延的然后任何真实的

{

x

:

F

x

}

将是真实的

{

x

:

H

x

}

。然后，类的特征源自属性逻辑的​​特征。

因为阶级起初似乎是某种个体，但经过分析发现并非如此，罗素将它们称为“逻辑虚构”，这种表达与杰里米·边沁的“法律虚构”概念相呼应。 （Hart 1994, 84）（参见法律和语言条目）。对于边沁来说，公司在法律上是一个“人”只是一个虚构，可以根据法律地位和对真实人的财务责任限制的概念来兑现。因此，任何有关此类“法律虚构”的语言都可以翻译成其他术语，以表达真实的个人及其法律关系。因为将属性归因于特定类的陈述被存在主义句子所取代，该句子表示存在某个具有该属性的命题函数，因此这种构造也可以表征为显示类表达式，例如“

{

x

:

F

x

}

’，是不完整的符号。它们不会被表达术语的较长公式所取代。另一方面，该定义不应被视为完全避免本体论承诺，因为表明某些事物实际上是“虚构的”。相反，它展示了如何将类简化为命题函数。类的属性实际上是命题函数的属性，并且对于每个据说具有属性的类，确实存在一些具有该属性的命题函数。

6.系列、序数和实数

怀特海和罗素在《数学原理》第二卷*204.01 中定义了一个级数，作为所有传递、连通和非自反关系的类 Ser。关系

右

是传递性的，当，如果

x

右

y

和

y

右

z

然后

x

右

z

。它是连接的

x

和

y

为其定义的

x

右

y

或者

y

右

x

。最后，一种反射性关系是一种使所有人的关系

x

，不是

x

右

x

。具有这些属性的任何关系形成了一系列与之相关的事物。现在，这种关系称为“线性顺序”，或简单地称为“订购”。在这里，“逻辑结构”仅包括对某种关系特性的隐式定义。当然，没有想到系列仅仅是“小说”，而对他们来说，符号为“ ser”只是“不完整”，因为它可以明确定义为其他类的交集（一类类），而课程本身就是本身“不完整”。

罗素对序数和实数的定义类似于自然数的定义。序数是关系数字的特殊情况。正如基数可以定义为相似类的类别，在这些类别中，相似性仅仅是equinumersosity，在两个类之间的一对一映射的存在一样，关系号也是一类相似的类，这些类是通过某种关系订购的。序数是有序类的关系数。 “关系算术”是Mathematica卷II卷IIV部分的主题，∗ 150至 * 186。序数算术算术的所有特性均来自关系数的更一般的算术。因此，例如，序数的添加不是交换性的。第一个无限序

ω

是有序类的关系数字类似

1

,

2

,

3

,

……

等等

1

+

ω

将是在订购开始时添加一个元素而产生的有序类的关系数量，说

0

,

1

,

2

,

3

,

……

等等，具有相同的序数

ω

。因此

1

+

ω

=

ω

。另一方面，在这样一个井井有条的类的“结尾”中添加元素将提供一个不同的订购：

1

,

2

,

3

,

……

ETC。

,

0

。最后，

1

+

ω

≠

ω

+

1

。另一方面，序数的添加，甚至一般的关系数字是关联的，也就是说

(

α

+

β

）

+

γ

=

α

+

(

β

+

γ

）

，在 * 174中有一定的限制证明了这一点。因此，将序数完全定义为自然数，如类似类的类别，以证明所有所需定理的方式。将序数描述为“虚构”，“不完整的符号”和“构造”，其方式与自然数量相同。

实数类别θ的类别是在∗ 310.01的princiadia Mathematica卷III中定义的，该类别由“ Dedekindian系列”的理性数字组成，而“ Dedekindian系列”又是自然数的“比率”的关系数。怀特黑德和罗素遵循实际数字作为理性数字的削减，仅通过将理性数字视为某种形式的关系数字而不是有序的整数对（而不是整数成对）（而不是当代集合理论中的数字的更标准发展）（ “分子”和“分母”）。就像建立关系数字作为类似类别的类别一样，实数的“逻辑构造”与确定的描述和一般类别的理论不同，而不是定义“不完整符号”，或者通过证明这些数字确实是“虚构”。它们的最佳特征是允许对这些数字的定理证明这些定义，否则必须将其假定为公理。它们是罗素喜欢的“诚实劳动”的产物。

7。数学功能

罗素在1924年的“逻辑结构”列表中未提及数学功能，尽管数学函数的分析是PM中确定描述理论的主要应用。 PM的基本“函数”是命题函数。希腊字母

φ

,

ψ

,

θ

,

……

是命题函数的变量，并且具有各个变量

x

,

y

,

z

,

……

一起去形成开放句子

φ

(

x

）

,

ψ

(

x

,

y

）

等等。这是现代谓词逻辑的熟悉语法。数学功能（例如正弦函数和添加）表示为术语成型操作员，例如

罪

x

， 或者

x

+

y

。在当代逻辑中

f

(

x

）

,

克

(

x

,

y

）

等等。在 *第30章中，Whitehead和Russell在确定的描述方面对数学函数的这种表达进行了直接解释，他们称之为“描述函数”。考虑一个数字和正弦之间的关系，在

x

和

y

什么时候

y

=

罪

x

。称此关系“

正弦

(

x

,

y

）

“或更简单，”

S

(

x

,

y

）

”，作为两个职位的关系。然后可以用确定的描述来表达数学功能，并解释我们的表达“

x

”不像

罪

(

x

）

”，但实际上是“

x

”，具有确定的描述，或

y

这样

正弦

(

x

,

y

）

”。使用确定描述理论的符号，这是”

(

ι

x

）

S

(

x

,

y

）

’。该分析的效果是，怀特海和罗素可以根据关系确定描述来代替数学功能的所有表达式。该定义涉及扩展中的关系，该关系由大写的罗马字母表示，并在变量之间具有关系符号。 PM中的定义是： * 30.01。

右

'

y

=

(

ι

x

）

x

右

y

，带有符号

右

'

y

被读为“

右

的

y

”。与描述理论一样，该定义的结果是促进定理的证明，这些证明捕获了PM进一步工作中需要的数学函数的逻辑属性。

PM中功能表达式的逻辑分析将它们作为明确描述的特殊情况：

右

的

x

”。在 * 30的摘要中，我们发现：

描述性功能（例如描述通常）在孤立中没有任何含义，而仅作为命题的组成部分。 （Whitehead和Russell 1910–13，232）

因此，数学或描述性函数被明确包括在Mathematica的不完整符号中。

8。命题和命题功能

在Princiadia中，Mathematica Russell的多重关系理论是通过提出本体论愿景来引入的：

宇宙由具有各种素质并站在各种关系中的物体组成。 （Whitehead和Russell 1910–13，43）

罗素继续解释了多元关系的判断理论，该理论发现了在这个存在关系中的物体和品质世界中命题的位置。 （请参阅命题的条目。）

罗素（Russell）从1910年至1919年左右举行的多个关系理论认为，命题的组成部分，例如“ Desdemona Loves Loves Cassio”，以某种方式统一的方式并不能使他们自己构成事实。这些成分仅出现在信念的背景下，例如，“奥赛罗的法官德斯迪蒙（Desdemona）喜欢卡西奥（Cassio）”。真正的事实包括奥赛罗，德斯迪蒙娜和卡西奥的选民之间的信仰关系。

乙

(

哦

,

d

,

L

,

c

）

。因为一个人可能还相信其他结构的主张，例如

乙

(

哦

,

F

,

一个

）

需要有很多这样的关系

乙

，具有不同的“ Arities”或参数数量，因此名称为“多重关系”理论。像数字的构造一样，这种构造从一定的信念发生的许多共同发生，即信徒和各种物体之间的关系。该帐户还使命题成为不完整的符号，因为在分析'

x

相信这一点

p

’对应于”

p

’。结果，罗素得出的结论是：

可以看出，根据上述说明，判决没有一个对象，即一个命题，而是有几个相互关联的对象。也就是说，构成判断的关系不是两个术语的关系，即审判的思想和命题，而是几个术语的关系，即思想和我们所说的命题组成部分…

由于单个判断的多个对象，因此我们称之为“命题”（在其中与表达这句话的短语区分）根本不是一个实体。也就是说，表达命题的短语是我们所说的“不完整”符号。它本身没有意义，但需要一些补充才能获得完整的含义。 （Whitehead和Russell 1910-13，43–44）

尽管在Mathematica中几乎没有发生关于命题的结合变量（在 * 14.3中的显着例外），但整个类型的理论似乎是命题函数的理论。然而，在说命题“根本不是一个实体”的说法之后，罗素也对命题功能说了同样的话。罗素在《数学哲学简介》中说，命题功能确实是“什么都没有”，但“尽管如此，但对此很重要”（Russell 1919，96）。如果我们将命题功能视为通过从其价值中抽象出来的命题功能，那是命题，这是最好的意义。命题函数”

x

是人类的“是从其价值观“苏格拉底是人类”，“柏拉图是人类”的价值观中抽象的。将命题函数视为命题的构造，而多元关系理论则构成构建，有助于理解某些特征的特征主要数学命题功能的类型。我们可以理解命题功能似乎取决于其价值观，即命题，以及命题本身如何成为逻辑构造。根据“前提”的概念，在Mathematica的简介中解释了这种依赖性与类型理论的关系：

然而，似乎功能的基本特征是歧义……我们可以通过说“

φ

x

模棱两可表示

φ

一个

,

φ

乙

,

φ

c

,

等等

φ

一个

,

φ

乙

,

φ

c

,

等等是“

φ

x

”。 …可以看出，根据上述帐户，函数的值是由该函数的前提，反之亦然。在任何特定情况下，函数的值都不会以函数为前提，这是很明显的。例如

x

是人类。”的确，相反，可以逮捕一个函数，而无需其函数，以使其价值观截然不同。如果不是这种情况，则根本无法理解任何函数，因为一个函数的值（真和错误）必定是不确定的，并且一定可能存在我们不熟悉的参数。 （Russell 1910–13，39–40）

在命题功能和命题的情况下，“不完整符号”的概念似乎不如“构造”。将命题甚至命题函数分类为相同逻辑现象的实例，与确定的描述相同，需要对概念进行大量扩展。

罗素逻辑中的命题和命题功能的本体论地位，尤其是在Mathematica中，目前是辩论的主题。 Alonzo Church在他1976年对类型的受损理论的研究中总结了一种我们可能称为“现实主义者”的解释：

因此，我们将命题作为命题变量的价值观，理由是，这是罗素逻辑的背景和目的明确要求的，尽管怀特黑德和PM中的罗素似乎是明确的否认，但PP。 43–44。

实际上，怀特海和罗素提出了主张：“我们所说的'命题'（从表达它的短语中区分的意义上）根本不是一个实体。也就是说，表达命题的短语是我们所说的“不完整符号”……”他们似乎意识到，这种命题的碎片需要类似的命题函数分裂。但是，从未完全提供“不完整符号”表征所承诺的上下文定义或定义，特别是他们如何解释使用有限的命题和功能变量的使用。如果Russell在IV和他对第二版介绍的V所说的某些事情可能被视为意图的指示，那么上下文定义很可能不会受到审查。

[（Russell 1908）]和[（Whitehead and Russell 1910-13）中的许多段落可以理解为言论，或者具有命题功能的价值观是句子。但是，在此基础上很难提供关于罗素正式语言的连贯语义（特别是请注意，由于句子也可以代替命题变量，因此有必要将句子作为句子的名称。），并且由于所涉及的段落似乎涉及使用，提及或亲切的混乱的混乱，可能只是粗心，不确定它们是否应被视为语义的精确陈述。 （教堂1976，n.4）

格雷戈里·兰迪尼（Gregory Landini，1998）提出，PM中确实存在一种命题和命题功能的连贯语义，该语义将功能和命题视为语言实体。兰迪尼（Landini）建议这种“名义主义语义”是对PM的预期解释，也是罗素早期的“替代理论”的遗物。他认为，罗素首先拒绝了阶级的现实，命题功能，最后是命题的现实后，罗素被带到了这种名义主义。根据兰迪尼（Landini）的说法，这种拒绝只给我们留下了一个名义上的形而上学的人，表达了罗素逻辑的解释。另请参见Cocchiarella（1980），他描述了一种“名义主义语义”的类型理论，但拒绝了罗素的预期解释。塞恩斯伯里（Sainsbury，1979）描述了对命题函数的量词的“替代”解释，但将其与真理条件语义相结合，该语义不需要对PM中罗素解释的类型理论的影响。

命题和命题功能与确定的描述和类别不同，因为PM在PM中没有明确的定义。目前尚不清楚说什么含义：命题的符号 - 例如变量

p

或者

q

- “没有孤立的含义”，但是可以“在上下文中”给出含义。在逻辑中，似乎没有任何上下文定义可以作为原始概念。

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