连续统假说（一）

1 基数算术的独立性

1.1 常规红衣主教

1.2 奇异基数

2 连续统假说的可定义版本及其否定

2.1 三个版本

2.2 工头-马吉多计划

3 ØCH 案例

3.1 ℙ最大

3.2 Ω-逻辑

3.3 案例

4 多元宇宙

4.1 广泛的多元宇宙观

4.2 通用多元宇宙

4.3 Ω猜想和通用多重宇宙

4.4 有出路吗？

5 本地案例回顾

5.1 ØCH 的案例

5.2 CH 的平行案例

5.3 评估

6 终极内部模型

7 L(Vλ+1)的结构理论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.基数算术的独立性

在本节中，我们将讨论基数算术中的独立性结果。首先，我们将讨论常规基数的情况，其中 CH 位于何处，并且在 ZFC 的背景下很少确定。其次，为了全面起见，我们将讨论奇异基数的情况，在 ZFC 的背景下可以建立更多的情况。

1.1 常规红衣主教

无限基数的加法和乘法是微不足道的：对于无限基数 κ 和 λ，

κ + λ = κ ⋅ λ = max{κ,λ}。

当人们转向求幂并尝试计算无限基数的 κλ 时，情况就会变得有趣。

在集合论的萌芽阶段，康托尔证明对于每个基数 κ，

2κ ＞ κ。

对于有限的 n，2n 的大小并不神秘。那么第一个自然问题是 2ℵ0 位于 aleph 层次结构中的位置：它是 ℵ1、ℵ2、…、ℵ17 还是更大的东西？

基数 2ℵ0 很重要，因为它是连续统（实数集）的大小。康托尔著名的连续统假设 (CH) 是 2ℵ0 = ℵ1 的陈述。这是广义连续统假设 (GCH) 的一个特例，它断言对于所有 α，2ℵα = ℵα+1。 GCH 的优点之一是它为计算无限基数的 κλ 问题提供了完整的解决方案：假设 GCH，如果 κ ≤ λ 则 κλ = λ+；如果 cf(κ) ≤ λ ≤ κ 则 κλ = κ+；如果 λ ＜ cf(κ)，则 κλ = κ。

CH 和 GCH 方面进展甚微。事实上，在集合论的早期时代，除了康托尔结果 2κ ＞ κ（以及如果 κ ≤ λ 那么 2κ ≤ 2λ 的简单结果）之外，唯一的其他进展是 König 的结果 cf(2κ) ＞ κ。集合论中的独立结果提供了缺乏进展的解释：

定理 1.1（哥德尔 1938a，1938b）。

假设ZFC是一致的。那么ZFC+CH和ZFC+GCH是一致的。

为了证明这一点，哥德尔发明了内模型方法——他证明了 CH 和 GCH 在 ZFC 的最小内模型 L 中成立。科恩随后对这一结果进行了补充：

定理 1.2（Cohen 1963）。

假设ZFC是一致的。那么ZFC + ØCH 和ZFC + ØGCH 是一致的。

他通过发明外部模型的方法并证明 CH 在 V 的泛型扩展 VB 中失败来做到这一点。哥德尔和科恩的综合结果表明，假设 ZFC 的一致性，原则上不可能解决 CH 或 GCH在ZFC。

1963 年秋天，伊斯顿完成了这幅图画，他展示了对于无限正则基数 κ，ZFC 中可证明的函数 κ ↦ 2κ 的唯一约束是平凡约束以及 Cantor 和 König 的结果：

定理 1.3（伊斯顿 1963）。

假设ZFC是一致的。假设 F 是在无限正则基数上定义的（可定义类）函数，使得

如果 κ ≤ λ 则 F(κ) ≤ F(λ)，

F(κ) ＞ κ，且

cf(F(κ)) ＞ κ。

那么 ZFC + “对于所有无限正则基数 κ, 2κ = F(κ)” 是一致的。

因此，集合论学家将正则基数的基数算术推向了 ZFC 范围内的极限。

1.2 奇异基数

奇异基数上的基数算术的情况要微妙得多。为了完整起见，在继续连续统假设之前，我们先暂停一下，简要讨论一下这一点。

人们普遍认为，与常规基数的情况一样，函数 κ ↦ 2κ 的行为在 ZFC 的设置内相对不受约束。但随后西尔弗证明了以下显着的结果：[3]

定理 1.4（Silver 1974）。

如果 ℵδ 是不可数共尾性的奇异基数，那么，如果 GCH 保持低于 ℵδ，则 GCH 保持在 ℵδ。

事实证明（根据 1977 年发表的 Magidor 的深入结果）GCH 首先会在 ℵω 处失败（假设超紧基数的一致性）。 Silver 定理表明它不可能首先在 ℵω1 处失败，这在 ZFC 中得到了证明。

这就提出了一个问题：我们是否可以用比 ℵδ 是不可数共尾性的奇异基数这样更弱的假设来“控制”2ℵδ 的大小，使得 GCH 保持在 ℵδ 以下。要考虑的自然假设是 ℵδ 是不可数共尾性的奇异基数，这是一个强极限基数，也就是说，对于所有 α＜ℵδ，2α＜ℵδ。 1975 年，Galvin 和 Hajnal 证明（除其他外）在这个较弱的假设下确实存在一个界限：

定理 1.5（Galvin 和 Hajnal 1975）。

如果 ℵδ 是不可数共尾的奇异强极限基数，那么

2ℵδ ＜ ℵ(|δ|cf(δ))+。

有可能存在跳跃——事实上，伍丁表明（再次假设大基数）对于所有 κ，2κ = κ++ 是可能的。上述定理表明，在 ZFC 中，跳跃的大小存在一个可证明的界限。

下一个问题是类似的情况是否普遍存在于可数共尾的单一基数上。 1978 年谢拉证明情况确实如此。为了确定想法，让我们专注于 ℵω。

定理 1.6（Shelah 1978）。

如果 ℵω 是强极限基数，那么

2ℵω ＜ ℵ(2ℵ0)+。

这一结果的一个缺点是界限对 2ℵ0 的实际大小敏感，它可以是低于 ℵω 的任何值。值得注意的是，谢拉后来通过发展他的 PCF（可能共尾性）理论来解决这个问题。这一理论的一个非常值得引用的结果如下：

定理 1.7（Shelah 1982）。

如果 ℵω 是强极限基数，那么（无论 2ℵ0 的大小如何）

2ℵω ＜ ℵω4。

总之，虽然常规基数的连续统函数在 ZFC 中相对不受约束，但奇异基数的连续统函数（在 ZFC 中可证明）受到较小基数上的连续统函数的行为的显着约束。

进一步阅读：有关更多基本算术，请参阅 Jech (2003)。有关奇异基数和 PCF 理论的更多信息，请参阅 Abraham & Magidor (2010) 和 Holz, Steffens & Weitz (1999)。

2. 连续统假说的可定义版本及其否定

让我们回到正则基数上的连续统函数，并关注最简单的情况，即 2ℵ0 的大小。 Cantor 最初研究 CH 的方法之一是研究“简单”实数集（参见 Hallett (1984)，第 3-5 页和 §2.3(b)）。这个方向的第一个结果是康托-本迪克森定理，即每个无限闭集要么是可数的，要么包含完美子集，在这种情况下，它与实数集具有相同的基数。换句话说，当人们将注意力限制在封闭的实数集上时，CH（在此公式中）成立。一般来说，关于“可定义”实数集的问题比关于任意实数集的问题更容易处理，这建议考虑连续统假设的可定义版本。

2.1 三个版本

连续统假设有三种不同的表述：插值版本、良序版本和满射版本。这些版本在 ZFC 中都是等效的，但我们将施加可定义性约束，在这种情况下可能会存在有趣的差异（我们的讨论遵循 Martin (1976)）。确实存在一个可定义性概念的层次结构——从 Borel 层次结构、射影层次结构、L(ℝ) 中的层次结构，以及更一般地说，普遍贝尔集的层次结构——所以这三个通用版本中的每一个都是实际上是版本的层次结构，每个版本对应于可定义性层次结构的给定级别（有关可定义性层次结构的讨论，请参阅“大基数和确定性”条目的§2.2.1和§4.6）。

2.1.1 插值版本

CH的第一个表述是不存在插值，即不存在无限实数集合A使得A的基数严格介于自然数和实数之间。为了获得可定义的版本，人们只需断言不存在“可定义的”插值，这就会导致可定义插值版本的层次结构，具体取决于人们采用的可定义性概念。更准确地说，对于可定义实数集层次结构中的给定点类 Γ，CH 的相应可定义插值版本断言 Γ 中不存在插值。

Cantor-Bendixson 定理表明，当 Γ 是闭集的点类时，Γ 中没有插值，从而验证了这个版本的 CH。 Suslin 对此进行了改进，他证明了这个版本的 CH 适用于 Г，其中 Г 是 Σ̰1 的类

1

套。在 ZFC 中我们无法走得更远——为了证明更强的版本，我们必须引入更强的假设。事实证明，可定义确定性公理和大基数公理可以实现这一点。例如，Kechris 和 Martin 的结果表明，如果 Δ̰1

n

-确定性成立，则此版本的 CH 对于 Σ̰1 的点类成立

n+1

套。更进一步，如果假设 ADL(ℝ)，那么这个版本的 CH 适用于 L(ℝ) 中出现的所有实数集。由于这些假设遵循大基数公理，因此越来越强的大基数假设确保了有效连续统假设的这种版本的越来越强的版本。事实上，大的基本公理意味着这个版本的 CH 对于我们正在考虑的可定义性层次结构中的所有实数集都成立；更准确地说，如果存在伍丁基数的真类，那么这个版本的 CH 适用于所有普遍贝尔实数集。

2.1.2 有序版本

CH 的第二个公式断言实数的每个良序都具有小于 ℵ2 的序类型。对于层次结构中给定的点类 Г，相应的 CH 的可定义良序版本断言 Г 中的每个良序（由集合编码）的序类型小于 ℵ2。

同样，可定义的确定性公理和大基数公理意味着这个版本的 CH 具有更丰富的可定义性概念。例如，如果 ADL(ℝ) 成立，则该版本的 CH 对于 L(ℝ) 中的所有实数集都成立。如果存在伍丁基数的真类，那么这个版本的 CH 适用于所有普遍贝尔实数集。

2.1.3 喷射版本

CH 的第三个版本公式断言不存在满射 ρ : ℝ → ℵ2，或者等效地，不存在长度为 ℵ2 的 ℝ 的预排序。对于可定义性层次中给定的点类 Γ，CH 的相应满射版本断言不存在满射 ρ : ℝ → ℵ2 使得 ρ （的代码）在 Γ 中。

这里的情况更有趣。可定义的确定性公理和大基数公理与此版本有关，因为它们对可定义的预先良好排序的长度设置了界限。令 δ̰1

n

是 Σ̰1 的长度的最大值

n

-实数的预排序，并令 θL(ℝ) 为实数的预排序长度的上界，其中预排序可以在 L(ℝ) 中定义。 δ̰1 是一个经典结果

1

= ℵ1。马丁证明 δ̰1

2

≤ ℵ2 并且如果存在可测基数则 δ̰1

3

≤ ℵ3。 Kunen和Martin也在PD下展示，δ̰1

4

≤ ℵ4 和 Jackson 表明，在 PD 下，对于每个 n＜ω，δ̰1

n＜ℵω。因此，假设有无限多个伍丁基数，这些界限成立。此外，无论 2ℵ0 的大小如何，界限都保持不变。当然，问题是是否可以改进这些界限以表明预排序比 ℵ2 短。 1986 年，福尔曼和马吉多发起了一项计划来建立这一点。在最一般的形式中，他们旨在表明大基数公理意味着这个版本的 CH 对于所有普遍贝尔实数集都成立。

2.1.4 CH 的潜在影响

请注意，在 ZFC 的上下文中，CH 版本的这三个层次结构都是 CH 的逐次逼近，并且在极限情况下（其中 Γ 是所有实数集的点类），它们等效于 CH。问题是这些近似值是否可以提供对 CH 本身的任何洞察。

马丁指出了一种不对称性，即CH的可定义反例是真正的反例，而无论在任何阶段验证CH的可定义版本进行到什么程度，都没有触及CH本身。换句话说，可定义性方法可以反驳CH，但无法证明它。

尽管如此，有人可能会争辩说，尽管可定义性方法无法证明 CH，但它可能会为其提供一些证据。对于前两个版本，我们现在知道 CH 适用于所有可定义的集合。这是否提供了CH的证据？马丁（在得知完整结果之前）指出，这是非常值得怀疑的，因为在每种情况下，我们都在处理非典型的集合。例如，在第一个版本中，在每个阶段，我们通过证明可定义类中的所有集合都具有完美集合属性来确保 CH 的可定义版本；然而，这样的集合是非典型的，因为假设 AC 很容易证明存在没有此属性的集合。在第二个版本中，在每个阶段实际上不仅表明可定义类中实数的每个良序的 ordertype 小于 ℵ2，而且还表明它的 ordertype 小于 ℵ1。所以这两个版本都没有真正阐明CH。

第三个版本实际上在这方面具有优势，因为并非它处理的所有集合都是非典型的。例如，虽然所有 Σ̰1

1

-集合的长度小于ℵ1，有Π̰1

1

-长度为ℵ1的集合。当然，即使福尔曼-马吉多计划取得成功，这些场景也可能在另一种意义上变得非典型，在这种情况下，它对 CH 的影响微乎其微。然而，更有趣的是，与前两个版本相比，它实际上可能为 CH 提供一个实际的反例。当然，这需要福尔曼-马吉多计划的失败。

2.2 工头-马吉多计划

Foreman-Magidor 计划的目标是证明大基数公理也意味着 CH 的第三个版本适用于 L(ℝ) 中的所有集合，更一般地说，适用于所有普遍贝尔集合。换句话说，目标是证明大基数公理意味着 θL(ℝ) ≤ ℵ2，更一般地说，对于每个通用贝尔集 A，θL(A,ℝ) ≤ ℵ2。

其动机来自 Foreman、Magidor 和 Shelah 在马丁极大值 (MM) 上的著名结果，该结果表明，假设大的基本公理，人们总是可以强制在 ℵ2 上获得陡峭的理想，而不会导致 ℵ2 崩溃（参见 Foreman、Magidor 和 Shelah (1988) ））。该计划涉及两部分策略：

强化这一结果以表明，假设大的基本公理，人们总是可以强制在 ℵ2 上获得饱和理想，而不会导致 ℵ2 崩溃。

证明这种饱和理想的存在意味着 θL(ℝ) ≤ ℵ2，更一般地，对于每个通用贝尔集 A，θL(A,ℝ) ≤ ℵ2。

这表明对于每个通用 Baire 集 A，θL(ℝ) ≤ ℵ2，更一般地，θL(A,ℝ) ≤ ℵ2。[4]

1991年12月，以下结果让这个计划的希望破灭了。

定理 2.1（伍丁）。

假设 ℵ1 上的非平稳理想已经饱和并且存在可测基数。那么 δ̰1

2

=ℵ2。

关键是这个定理的假设总是可以被迫假设大基数。因此，有可能 θL(ℝ) ＞ ℵ2 （事实上，δ̰1

3＞ℵ2)。

程序哪里出了问题？福尔曼和马吉多对 (B) 进行了近似，最终证明 (B) 是正确的。

定理 2.2（伍丁）。

假设存在一类伍丁基数，并且 ℵ2 上存在饱和理想。那么对于每个 A ∈ Γ∞， θL(A,ℝ) ≤ ℵ2。

所以问题出在(A)。

这说明了我们的有效连续统假设的三个版本之间的有趣对比，即它们可以分开。因为虽然大基数排除了前两种可定义的反例，但它们不能排除第三种可定义的反例。但我们必须再次强调，他们无法证明存在这样的反例。

但有一点很重要：假设大基数公理（ADL(ℝ) 就足够了），尽管可以产生其中 δ̰1 的外部模型

3＞ℵ2 目前尚不知道如何生成其中 δ̰1 的外部模型

3

＞ℵ3 甚至 θL(ℝ) ＞ ℵ3。因此，从 ZFC +ADL(ℝ) 可以证明 θL(ℝ) ≤ ℵ3 是一种开放的可能性。如果是这种情况，那么虽然大基数不能排除 CH 的可定义失败，但它们可以排除 2ℵ0 = ℵ2 的可定义失败。这可以提供对连续体大小的一些见解，强调 ℵ2 的中心地位。

进一步阅读：有关 CH 的三个有效版本的更多信息，请参阅 Martin (1976)；有关 Foreman-Magidor 计划的更多信息，请参阅 Foreman & Magidor (1995) 和 Woodin 简介 (1999)。

3. ØCH 的案例

上述结果使伍丁识别出 CH 失败的“规范”模型，这构成了他认为 CH 是错误的论点的基础。在第 3.1 节中，我们将描述该模型，在本节的其余部分中，我们将介绍 CH 失败的案例。在第 3.2 节中，我们将介绍 Ω 逻辑以及说明此情况所需的其他概念。在第 3.3 节中，我们将介绍该案例。

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