连续统假说（二）

3.1 ℙ最大

目标是找到一个模型，其中 CH 是错误的，并且在存在大基数的情况下不能通过集合强迫来改变其理论，因此该模型是规范的。背景动机是这样的：首先，我们知道，在存在大基数公理的情况下，二阶算术理论甚至整个 L(ℝ) 理论在集合强迫下是不变的。其重要性在于，它表明我们的主要独立技术不能用于在存在大基数的情况下建立有关二阶算术（或有关 L(ℝ)）问题的独立性。其次，经验表明，所讨论的大基数公理似乎回答了有关二阶算术和 L(ℝ) 的所有主要已知开放问题，并且集合强制不变性定理为这些公理“有效地”这一主张提供了精确的内容。完成”。[5]

由此可见，如果 ℙ 是 L(ℝ) 中的任何齐次偏序，则泛型扩展 L(ℝ)ℙ 继承 L(ℝ) 的泛型绝对性。 Woodin发现有一个非常特殊的偏序ℙmax具有这个特性。此外，模型L(ℝ)ℙmax满足ZFC + ØCH。该模型的关键特征是，对于具有一定复杂性的句子来说，它是“最大的”（或“饱和的”），并且可以通过模型上的集合强制来证明其是一致的；换句话说，如果这些句子可以成立（通过对模型进行强制设置），那么它们确实在模型中成立。为了更准确地说明这一点，我们将不得不引入一些相当技术性的概念。

有两种对集合域进行分层的方法。第一个是 ⟨Vα | α ∈ On ⟩，第二个是 ⟨H(κ) | κ ∈ Card⟩，其中 H(κ) 是所有基数小于 κ 且其成员的基数小于 κ 的集合以及其成员的成员的基数小于 κ 的集合，依此类推。例如，H(ω)=Vω，并且结构H(ω1)和Vω+1的理论是可以相互解释的。后一种结构是二阶算术的结构，如上所述，大基数公理使我们对这种结构有“有效完整”的理解。对于越来越大的宇宙碎片，我们希望处于相同的位置，问题是我们应该按照第一层还是第二层进行。

第二个分层可能更细粒度。假设 CH 1 具有 H(ω2) 和 Vω+2 的理论是可以相互解释的，并且假设 GCH 的片段越来越大，这种对应关系继续向上。但如果 CH 为假，则结构 H(ω2) 不如结构 Vω2 丰富。在这种情况下，后一个结构捕获完整的三阶算术，而前者仅捕获三阶算术的一小部分，但仍然足够丰富以表达 CH。鉴于此，在尝试通过逐级处理来理解集合的宇宙时，使用潜在的更细粒度的分层是明智的。

因此，我们的下一步是理解 H(ω2)。事实上，我们能够理解得更多一些，这有点技术性。我们将关注结构 ⟨H(ω2), ε, INS, AG⟩ ⊧ φ，其中 INS 是 ω1 上的非平稳理想，AG 是对一组实数 A（的规范表示）的解释L(ℝ)。细节并不重要，读者只需考虑 H(ω2) 以及一些“额外的东西”，而不用担心有关额外东西的细节。 [6]

我们现在可以宣布主要结果：

定理 3.1（Woodin 1999）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设 A ∈ P (ℝ) ∩ L(ℝ) 且 φ 是一个 Π2-句子（在带有两个附加谓词的扩展语言中），并且存在一个强制扩展 V[G] 的集合，使得

⟨H(ω2), ε, INS, AG⟩ ⊧ φ

（其中 AG 是 V [G] 中 A 的解释）。然后

L(ℝ)ℙmax ⊧“⟨H(ω2), ε, INS, A⟩ ⊧ φ”。

有两个关键点：首先，L(ℝ)ℙmax 的理论是“有效完备的”，因为它在设定强迫下是不变的。其次，模型 L(ℝ)ℙmax 是“最大”（或“饱和”），因为它满足所有可能成立的 Π2-句子（关于相关结构）（从某种意义上说，它们可以被证明是通过对模型进行强制设置来保持一致）。

人们希望通过公理化来掌握这种结构的理论。相关公理如下：

定义 3.2（Woodin 1999）。

公理 (*)：ADL(ℝ) 成立且 L(P(ω1)) 是 L(ℝ) 的 ℙmax 通用扩展。

最后，这个公理解决了 CH：

定理 3.3（Woodin 1999）。

假设(*)。那么 2ω = ℵ2。

3.2 Ω-逻辑

我们现在将用强逻辑来重铸上述结果。我们将充分利用大的基本公理，在这种情况下，我们对“行为良好”的逻辑感兴趣，即什么暗示什么的问题不是完全独立的。例如，众所周知，CH 可以用完整的二阶逻辑来表达。由此可见，在存在大基数的情况下，人们总是可以使用集合强迫来翻转完整二阶逻辑的所谓逻辑有效性的真值。然而，有一些强大的逻辑——比如 ω-逻辑和 β-逻辑——不具有这个特征——它们表现良好，因为在存在大基数公理的情况下，什么意味着什么不能被集合改变的问题强迫。我们将介绍一种具有这种特性的非常强大的逻辑——Ω逻辑。事实上，我们将介绍的逻辑可以被描述为具有此特征的最强逻辑（有关强逻辑的进一步讨论以及对此结果的精确陈述，请参见Koellner（2010））。

3.2.1 Ω-逻辑

定义 3.4。

假设 T 是集合论语言中的可数理论，φ 是一个句子。然后

T ⊧Ω φ

如果对于所有完全布尔代数 B 和所有序数 α，

如果VB

α

⊧ T 然后 VB

α

⊧ φ。

如果存在一个序数 α 和一个完全布尔代数 B 使得 VB ，则声明 φ 是 Ω 可满足的

α

⊧ φ，如果 ∅ ⊧Ω φ，我们就说 φ 是 Ω 有效的。因此，上述定理表明（在我们的背景假设下），陈述“φ 是 Ω 可满足的”一般是不变的，并且就 Ω 有效性而言，这简单如下：

定理 3.5（Woodin 1999）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设 T 是集合论语言中的可数理论，φ 是一个句子。那么对于所有完备的布尔代数 B，

T ⊧Ω φ 当且仅当 VB ⊧ “T ⊧Ω φ。”

因此，这个逻辑是稳健的，因为这个问题意味着在设定的强迫下什么是不变的。

3.2.2 Ω猜想

与语义关系⊧Ω相对应，存在准句法证明关系⊢Ω。 “证明”是某些稳健的实数集（通常是贝尔实数集），测试结构是在这些证明下“封闭”的模型。 “封闭”和“证明”的精确概念有些技术性，因此我们将默默地忽略它们。 [7]

与语义关系一样，这种准句法证明关系在大基数假设下是稳健的：

定理 3.6（Woodin 1999）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设T是集合论语言中的可数理论，φ是一个句子，B是一个完全布尔代数。然后

T ⊢Ω φ 当且仅当 VB ⊧ ‘T ⊢Ω φ’。

因此，我们有一个语义结果关系和一个准句法证明关系，这两者在大基数公理的假设下都是鲁棒的。人们很自然地会问健全性和完整性定理是否适用于这些关系。已知稳健性定理成立：

定理 3.7（Woodin 1999）。

假设ZFC。假设 T 是集合论语言中的可数理论，φ 是一个句子。如果 T ⊢Ω φ 则 T ⊧Ω φ。

相应的完备性定理是否成立是开放的。 Ω 猜想只是它的断言：

猜想3.8（Ω猜想）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。然后对于每个句子 φ，

∅ ⊧Ω φ 当且仅当 ∅ ⊢Ω φ。

我们需要这个猜想的强形式，我们称之为强Ω猜想。它有点技术性，所以我们将默默地忽略它。[8]

3.2.3 Ω完全理论

回想一下，大基数公理的一个关键优点是，它们“有效地解决”了二阶算术理论（事实上，L(ℝ) 等理论），因为在存在大基数的情况下，不能使用集合强迫的方法来建立关于 L(ℝ) 的陈述的独立性。集合强迫下的不变性概念在 3.1 节中发挥了关键作用。我们现在可以用 Ω 逻辑来重新表述这个概念。

定义 3.9。

如果对于每个 φ ∈ Г，T ⊧Ω φ 或 T ⊧Ω Øφ，则理论 T 对于句子 Γ 的集合是 Ω 完备的。

L(ℝ) 理论在集合强迫下的不变性现在可以改写如下：

定理 3.10（Woodin 1999）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。那么 ZFC 对于“L(ℝ) ⊧ φ”形式的句子集合来说是 Ω 完备的。

不幸的是，从 Levy 和 Solovay 的工作得出的一系列结果可以看出，传统的大基数公理不能在 Σ2 水平上产生 Ω 完备的理论

1

因为人们总是可以使用“小”（因此大的基数保留）强迫来改变 CH 的真值。

定理3.11。

假设 L 是标准大基数公理。那么 ZFC + L 对于 Σ2 不是 Ω 完全的

1

。

3.3 案例

然而，如果补充大的基本公理，那么 Ω 完备理论就会出现。这是针对 CH 案件的核心内容。

定理 3.12（伍丁）。

假设存在一类伍丁基数并且强Ω猜想成立。

有一个公理 A 使得

ZFC + A 是 Ω 可满足的，并且

对于结构 H(ω2)，ZFC + A 是 Ω 完全的。

任何这样的公理 A 都具有以下特征：

ZFC + A ⊧Ω ‘H(ω2) ⊧ ØCH’。

让我们将其改写如下：对于每个满足 (1) 的 A，让

TA = {φ | ZFC + A ⊧Ω ‘H(ω2) ⊧ Øφ’}。

该定理表明，如果存在伍丁基数真类并且 Ω 猜想成立，则存在 H(ω2) 的（非平凡）Ω 完全理论 TA，并且所有此类理论都包含 ØCH。

人们很自然地会问Ω完全理论TA之间是否存在更大的一致性。理想情况下，只有一个。最近的一项结果（基于定理 5.5）表明，如果有一个这样的理论，那么就有很多这样的理论。

定理 3.13（Koellner 和 Woodin 2009）。

假设存在一类伍丁红衣主教。假设 A 是一个公理，使得

 我。  ZFC + A 是 Ω 可满足的，并且

二.  对于结构 H(ω2)，ZFC + A 是 Ω 完全的。

那么有一个公理 B 使得

 我'。  ZFC + B 是 Ω 可满足的并且

ii'。  对于结构 H(ω2)，ZFC + B 是 Ω 完备的

且TA≠TB。

那么如何在这些理论中进行选择呢？ Woodin 在该领域的工作远远超出了定理 5.1。除了分离出满足定理 5.1 的 (1) 的公理（假设 Ω 可满足性）之外，他还分离出一个非常特殊的公理，即前面提到的公理 (*)（“星”）。

该公理可以用 Ω 逻辑（的可证明性概念）来表述：

定理 3.14（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。那么以下是等价的：

(*)。

对于结构语言中的每个 Π2-句子 φ

⟨H(ω2), ε, INS, A | A ∈ 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩

如果

ZFC + “⟨H(ω2), ε, INS, A | A ε 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩ ⊧ φ”

是 Ω 一致的，那么

⟨H(ω2), ε, INS, A | A ε 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩ ⊧ φ。

由此可见，在定理 5.1 涉及的各种理论 TA 中，有一个很突出：由 (*) 给出的理论 T(*)。该理论最大化结构 ⟨H(ω2), ε, INS, A | 的 Π2-理论A ∈ 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩。

在这个理论中，连续统假设失败了。此外，在由 (*) 给出的极大理论 T(*) 中，连续体的大小为 ℵ2。[9]

总结一下：假设强 Ω 猜想，存在一个“良好”的 H(ω2) 理论，并且所有此类理论都意味着 CH 失败。此外，（再次假设强 Ω 猜想）存在这样的极大理论，并且在该理论中 2ℵ0 = ℵ2。

进一步阅读：有关 ℙmax 的数学请参见 Woodin (1999)。有关 Ω-logic 的介绍，请参阅 Bagaria、Castells & Larson (2006)。有关不兼容 Ω 完全理论的更多信息，请参阅 Koellner & Woodin (2009)。有关 CH 案件的更多信息，请参阅 Woodin (2001a,b, 2005a,b)。

4.多元宇宙

上述 CH 失败的案例是解决 CH 公理的最有力的已知局部案例。在本节和下一节中，我们将转换立场并考虑多元论点，即 CH 没有答案（在本节中），并且 CH 有一个同样好的案例（在下一节中）。在最后两节中，我们将研究乐观的全球情景，为解决问题提供希望。

多元主义者认为，独立结果表明他们没有答案，从而有效地解决了悬而未决的问题。为这种观点提供基础框架的一种方法是多元宇宙。根据这种观点，不存在单一的集合论宇宙，而是存在合法候选者的多元宇宙，其中一些对于某些目的可能比其他宇宙更可取，但没有一个可以说是“真正的”宇宙。多元宇宙的真理观是这样的观点：集合论的陈述只有在多元宇宙的所有宇宙中都成立时才可以说是真正的简单化。为了讨论的目的，我们将说，如果根据多元宇宙概念，一个陈述既不是真也不是假，那么它是不确定的。这种观点有多激进取决于多元宇宙概念的广度。

4.1 广泛的多元宇宙观

对于某些数学领域，多元论者通常是非多元论者。例如，严格的有限主义者可能是关于 PA 的非多元主义者，但关于集合论的多元主义者，而一个人可能是关于 ZFC 的非多元主义者，而关于大基数公理和 CH 等陈述的多元主义者。

有一种形式的激进多元主义主张数学所有领域的多元主义。根据这种观点，任何一致的理论都是合法的候选者，并且这些理论的相应模型都是数学领域的合法候选者。让我们称之为最广泛的多元宇宙观点。阐明这一观点有一个困难，可以如下提出：首先，我们必须选择一个背景理论来讨论各种模型，这会导致困难。例如，根据广义多元宇宙概念，由于 PA 无法证明 Con(PA)（通过第二不完备性定理，假设 PA 是一致的），因此存在 PA + ØCon(PA) 的模型，并且这些模型是合法的候选模型，即也就是说，它们是广阔多元宇宙中的宇宙。现在要得出这个结论，我们必须（在背景理论中）能够证明 Con(PA)（因为在这种特殊情况下应用第二个不完备性定理需要这个假设）。因此，从用于论证上述模型是合法候选者的背景理论的角度来看，所讨论的模型满足错误的 Σ0

1

-句子，即，ØCon(PA)。简而言之，元级别的内容与对象级别的内容之间缺乏协调。

摆脱这一困难的唯一方法似乎是将每种观点（多元宇宙概念的每种表述）视为临时的，并且在受到压力时，拥抱有关背景理论的多元主义。换句话说，人们必须采用多重宇宙的多重宇宙概念，多重宇宙的多重宇宙概念的多重宇宙概念，等等，直到无穷大。由此可见，这样的立场永远不可能被完全阐明——每次人们试图阐明广泛的多元宇宙概念时，都必须采用一种背景理论，但由于一个人对该背景理论持多元论者的态度，因此使用广泛的多元宇宙来阐明这一概念并不容易。没有完全公正地表达这个概念。因此，这一立场很难阐明。人们当然可以采取多元主义立场，并试图通过暂时确定一种特定的背景理论来表明或展示一种观点，但随后在受到压力时又提倡多元主义。因此，该视图是一个“移动目标”。我们将默默地忽略这一观点，并专注于可以在基本框架内阐明的观点。

因此，我们将考虑在给定的数学范围和空间方面拥抱非多元主义的观点，因为这是集合论的一个条目，我们将跳过关于严格有限主义、有限主义、谓词主义的长期辩论，并开始对于 ZFC 持非多元化观点。

设广义多元宇宙（基于ZFC）为ZFC所有模型的集合。那么，广义多元宇宙真理概念（基于 ZFC）就是这样一种观点，即集合论的陈述如果在 ZFC 中可证明，则更简单。在此视图上的陈述 Con(ZFC) 和其他未定的 Π0

1

- 陈述被归类为不确定的。因此，这一观点面临着与上述关于激进多元主义的困难平行的困难。

这促使人们转向通过采用强大的逻辑来缩小多元宇宙中宇宙类别的观点。例如，我们可以将宇宙限制为 ω 模型、β 模型（即有充分根据）等。在采用 ω 模型的视图中，语句 Con(ZFC) 被分类为 true（尽管这是敏感的）到背景理论），但陈述 PM（所有射影集都是勒贝格可测的）被归类为不确定的。

对于那些相信大基数公理和可定义确定性公理的论证（在“大基数和确定性”条目中进行了调查）的人来说，即使这些多元宇宙概念也太弱了。我们将遵循这条路线。在本条目的其余部分中，我们将接受有关大基本公理和可定义确定性公理的非多元主义，并重点关注 CH 问题。

4.2 通用多元宇宙

通用多元宇宙背后的动机是为大的基本公理和可定义的确定性提供理由，但否认诸如 CH 之类的陈述具有确定的真值。为了具体说明背景理论，让我们以 ZFC +“存在一类适当的伍丁基数”为例，并回顾一下这个大基数假设确保了可定义确定性的公理，例如 PD 和 ADL(ℝ)。

令通用多元宇宙 𝕍 为在通用扩展和通用细化下关闭 V 的结果。形式化这一点的一种方法是采取外部有利位置并从可数传递模型 M 开始。基于 M 的通用多元宇宙是最小集合 𝕍M，使得 M ∈ 𝕍M 并且，对于每对可数传递模型 (N, N[G]) 使得 N ⊧ ZFC 且 G ⊆ ℙ 对于 ℙ ∈ N 中的某些偏序是 N 泛型，如果 N 或 N[G] 在 𝕍M 中，则 N 和 N[G] 都在 𝕍M 中。

让通用多元宇宙的真理概念成为这样的观点：一个陈述更简单地为真，当且仅当它在通用多元宇宙的所有宇宙中都为真。我们将这样的陈述称为通用多元宇宙真理。根据通用多元宇宙概念，一个陈述被称为不确定，当且仅当根据通用多元宇宙概念它既不是真也不是假。例如，考虑到我们的大基数假设，这种观点认为 PM（以及 PD 和 ADL(ℝ)）为真，但认为 CH 不确定。

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