连续统假说（三）

4.3 Ω猜想和通用多重宇宙

普遍的多元宇宙真理概念站得住脚吗？这个问题的答案与Ω逻辑的主题密切相关。通用多元宇宙真理与Ω逻辑之间的基本联系体现在以下定理中：

定理 4.1（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。那么，对于每个 Π2-语句 φ，以下是等价的：

φ 是一个通用的多元宇宙真理。

φ 是 Ω 有效的。

现在，回想一下定理 3.5，在我们的背景假设下，Ω 有效性一般是不变的。由此可见，鉴于我们的背景理论，通用多元宇宙真理的概念对于 Π2 陈述来说是稳健的。特别是，对于 Π2-陈述，根据一般多元宇宙概念，陈述“φ 是不确定的”本身是确定的。从这个意义上说，真理的概念并不是“自我破坏”，人也不会陷入螺旋式下降，不得不承认多重宇宙的多重宇宙。所以它通过了第一个测试。是否通过更具挑战性的测试取决于Ω猜想。

Ω 猜想对一般多元宇宙的真理概念有着深远的影响。让

𝒱Ω = {φ | ∅ ⊧Ω φ}

并且，对于任何可指定的基数 κ，令

𝒱Ω(H(κ+)) = {φ | ZFC ⊧Ω“H(κ+)⊧ φ”},

其中，H(κ+) 是小于 κ+ 的遗传基数集合的集合。因此，假设 ZFC 并且存在伍丁基数的真类，集合 𝒱Ω 是图灵等价于 Π2 通用多元宇宙真理的集合，并且集合 𝒱Ω(H(κ+)) 正是 H 的通用多元宇宙真理的集合(κ+)。

为了描述Ω猜想对泛型多元宇宙真理概念的影响，我们引入了两个超越原理，它们作为集合论中任何成立的真理概念的约束——真值约束和可定义性约束。

定义 4.2（真值约束）。

集合论中任何成立的多元宇宙真理概念必须是这样的，即对于任何可指定的基数，集合宇宙中的 Π2-真理（根据该概念）在关于 H(κ) 的真理（根据该概念）中不是递归的。

这种约束符合集合论原则的精神——最值得注意的是，反射原则——旨在捕捉前理论的想法，即集合的宇宙是如此丰富，以至于它不能“从下面描述”；更准确地说，它断言任何站得住脚的真理概念都必须尊重这样的观点，即集合的宇宙是如此丰富，以至于真理（甚至只是 Π2-真理）无法用某些可指定的片段来描述。 （请注意，根据塔斯基关于真理不可定义性的定理，集合论中真理的标准概念可以轻松满足真理约束，该集合论认为多元宇宙包含单个元素，即 V。）

关于真理的可定义性还存在一个相关的限制。对于可指定的基数 κ，如果 Y 在多元宇宙的每个宇宙的结构 H(κ+) 中可定义，则集合 Y ⊆ ω 可在多元宇宙的 H(κ+) 中定义（可能通过依赖于父宇宙的公式） 。

定义 4.3（可定义性约束）。

集合论中任何成立的多元宇宙真理概念必须是这样的，对于任何可指定的基数 κ，集合宇宙中的 Π2-真理（根据该概念）可以在整个多元宇宙宇宙中的 H(κ) 中定义。

再次注意，根据塔斯基关于真理不可定义性的定理，可定义性约束可以通过退化多元宇宙概念简单地满足，该概念使多元宇宙包含单个元素 V。（另请注意，如果有人通过添加以下要求来修改可定义性约束：定义在多元宇宙中是统一的，那么约束将自动得到满足。）

Ω 猜想对泛型多元宇宙真理概念的成立性的影响包含在以下两个定理中：

定理 4.4（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设Ω猜想成立。那么 𝒱Ω 是递归的 𝒱Ω(H(δ+

0

))，其中 δ0 是最小伍丁基数。

定理 4.5（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设Ω猜想成立。那么 𝒱Ω 可以定义为 H(δ+

0

)，其中 δ0 是最小伍丁基数。

换句话说，如果存在一类伍丁基数，并且 Ω 猜想成立，那么通用多元宇宙真理概念就违反了真理约束（在 δ0 处）和可定义性约束（在 δ0 处）。

实际上，上述结果有更清晰的版本，其中涉及 H(c+) 代替 H(δ+

0

）。

定理 4.6（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设Ω猜想成立。那么 𝒱Ω 在 𝒱Ω(H(c+)) 中是递归的。

定理 4.7（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设 Ω 猜想成立且 AD+ 猜想成立。那么 𝒱Ω 可以在 H(c+) 中定义。

换句话说，如果存在伍丁基数真类，并且 Ω 猜想成立，那么泛型多元宇宙真理概念就违反了三阶算术级别的真理约束，此外，如果 AD+ 猜想成立，那么泛型多元宇宙的真值概念违反了三阶算术级别的可定义性约束。

4.4 有出路吗？

通用多元宇宙的倡导者似乎可以通过四种方式来抵制上述批评。

首先，我们可以认为 Ω 猜想与 CH 一样有问题，因此与 CH 一样，根据泛型多元宇宙真理概念，它被视为不确定的。这种方法的难点如下：

定理 4.8（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。那么，对于任何完备的布尔代数 𝔹，

V ⊧ Ω-猜想当且仅当 V𝔹 ⊧ Ω-猜想。

因此，与 CH 相比，Ω 猜想不能通过集合强迫证明独立于 ZFC +“存在一类合适的伍丁基数”。就泛型多元宇宙真理概念而言，我们可以这样表述：虽然泛型多元宇宙真理概念认为 CH 是不确定的，但它并不认为 Ω 猜想是不确定的。因此，上述回应不适用于泛型多元宇宙真理概念的倡导者。该概念的倡导者已经认为 Ω 猜想是确定的。

其次，人们可以承认 Ω 猜想是确定的，但坚持认为它是错误的。有多种方法可以做到这一点，但这并不能削弱上述论点。原因如下：首先，有一个密切相关的 Σ2 命题，可以替代上述论证中的 Ω 猜想。这是 Ω 猜想（非平凡）Ω 可满足的陈述，即陈述：存在多元宇宙的序数 α 和宇宙 V′，使得

V′α ⊧ ZFC + “存在一类伍丁基数”

和

V′α ⊧ “Ω 猜想”。

这个 Σ2 陈述在设定的强迫下是不变的，因此相信通用多元宇宙真理观的人必须认为是确定的。此外，上面的关键论证是通过 Σ2 陈述而不是 Ω 猜想来进行的。因此，采取第二行回应的人也必须坚持认为该陈述是错误的。但有大量证据证明这一说法是正确的。原因是，没有已知的 Σ2 语句的例子，它在相对于大基数公理的设定强迫下是不变的，并且不能通过大基数公理来解决。 （这样的陈述将成为绝对不可判定的陈述的候选者。）因此，可以合理地期望该陈述由大基本公理解决。然而，内模型理论的最新进展——特别是 Woodin (2010) 的进展——提供的证据表明，没有大的基本公理可以反驳这一说法。将所有内容放在一起：这种说法很可能实际上是正确的；所以这种回应并不乐观。

第三，人们可以拒绝真理约束或可定义性约束。麻烦在于，如果有人拒绝真值约束，那么根据这一观点（假设 Ω 猜想），集合论中的 Π2 真值在图灵可约化意义上可还原为 H(δ0) 中的真值（或者，假设强 Ω 猜想，H (c+))。如果有人拒绝可定义性约束，那么根据这一观点（假设 Ω 猜想），集合论中的 Π2 真值在可定义性意义上可还原为 H(δ0) 中的真值（或者，假设强 Ω 猜想，H(c+)） 。无论哪种观点，这种还原都与背景理论 ZFC +“存在一个适当的伍丁红衣主教类别”有关的非多元主义的接受是紧张的。

第四，人们可以接受批评，拒绝普遍的多元宇宙真理概念，并承认有一些关于 H(δ+

0

）（或 H(c+)，另外还给出了 AD+ 猜想），它们是真实的简化模型，但在泛型多元宇宙的意义上不是真实的，但仍然继续认为 CH 是不确定的。困难在于任何这样的句子 φ 本质上就像 CH 一样，它可以被迫坚持并被迫失败。这种方法的倡导者面临的挑战是修改泛型多元宇宙的真理概念，使其将 φ 视为确定的，而将 CH 视为不确定的。

总结：有证据表明，唯一的出路是第四条出路，这将负担重新推给了多元论者——多元论者必须提出通用多元宇宙的修改版本。

进一步阅读：有关 Ω-logic 和通用多元宇宙之间的联系以及上述对通用多元宇宙的批评的更多信息，请参阅 Woodin (2011a)。关于内模型理论的最新结果对 Ω 猜想的影响，请参见 Woodin (2010)。

5.1 ØCH 的案例

回想一下 3.3 节中介绍的案例有两个基本步骤。第一步涉及 Ω 完备性（给出 ØCH），第二步涉及极大性（给出更强的 2ℵ0 = ℵ2）。为了便于比较，我们将在这里重复这些功能：

第一步基于以下结果：

定理 5.1（伍丁）。

假设存在一类伍丁基数并且强Ω猜想成立。

有一个公理 A 使得

ZFC + A 是 Ω 可满足的，并且

对于结构 H(ω2)，ZFC + A 是 Ω 完全的。

任何这样的公理 A 都具有以下特征：

ZFC + A ⊧ Ω“H(ω2) ⊧ ØCH”。

让我们将其改写如下：对于每个满足 (1) 的 A，让

TA = {φ | ZFC + A ⊧Ω“H(ω2) ⊧ Øφ”}。

该定理表明，如果存在伍丁基数真类并且强 Ω 猜想成立，则存在 H(ω2) 的（非平凡）Ω 完全理论 TA，并且所有此类理论都包含 ØCH。换句话说，在这些假设下，存在一个“好”理论，并且所有“好”理论都意味着 ØCH。

第二步开始于Ω完全理论TA之间是否存在更大一致性的问题。理想情况下，只有一个。然而，事实并非如此。

定理 5.2（Koellner 和 Woodin 1999）。

假设存在一类伍丁红衣主教。假设 A 是一个公理，使得

 我。  ZFC + A 是 Ω 可满足的，并且

二.  对于结构 H(ω2)，ZFC + A 是 Ω 完全的。

那么有一个公理 B 使得

 我'。  ZFC + B 是 Ω 可满足的并且

ii'。  对于结构 H(ω2)，ZFC + B 是 Ω 完备的

且TA≠TB。

这就提出了一个问题：如何从这些理论中进行选择？事实证明，TA 之间存在极大值理论，由公理 (*) 给出。

定理 5.3（伍丁）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。那么以下是等价的：

(*)。

对于结构语言中的每个 Π2-句子 φ

⟨H(ω2), ε, INS, A | A ∈ 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩

如果

ZFC + “⟨H(ω2), ε, INS, A | A ε 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩ ⊧ φ”

是 Ω 一致的，那么

⟨H(ω2), ε, INS, A | A ε 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩ ⊧ φ。

因此，在定理 5.1 涉及的各种理论 TA 中，有一个很突出：由 (*) 给出的理论 T(*)。该理论最大化结构 ⟨H(ω2), ε, INS, A | 的 Π2-理论A ∈ 𝒫 (ℝ) ∩ L(ℝ)⟩。基本结果是，在这个极大理论中

2ℵ0 = ℵ2。

5.2 CH 的平行案例

CH 的并行情况也有两个步骤，第一个涉及 Ω 完备性，第二个涉及最大值。

第一步的第一个结果如下：

定理 5.4（Woodin 1985）。

假设 ZFC 并且存在一类可测量的 Woodin 基数。那么 ZFC + CH 对于 Σ2 是 Ω 完备的

1

。

此外，在 Ω 等效范围内，CH 是唯一的 Σ2

1

-Σ2 的 Ω 完备语句

1

;也就是说，令 TA 为由 ZFC + A 给出的 Ω 完全理论，其中 A 为 Σ2

1

，所有此类 TA 都与 TCH Ω 等价，因此（简单地）所有此类 TA 都包含 CH。换句话说，存在一个“好”理论，所有“好”理论都暗示着CH。

为了完成第一步，我们必须确定这个结果是否稳健。因为可能的情况是，当人们考虑下一个级别时，Σ2

2

（或进一步的级别，如三阶算术）CH 不再是图片的一部分，也就是说，也许大基数意味着存在一个公理 A，使得 ZFC + A 对于 Σ2 是 Ω 完全的

2

（或者，更进一步，所有三阶算术）但并非所有这样的 A 都有一个包含 CH 的关联 TA。如果我们要迈出第一步，就必须排除这种可能性。

最乐观的场景是这样的：场景是存在一个大的基数公理 L 和公理 A→，使得 ZFC + L + A→ 对于所有三阶算术都是 Ω 完备的，并且所有此类理论都是 Ω -等效并暗示CH。更进一步，也许对于集合宇宙的每个可指定片段 Vλ 来说，都存在一个大的基数公理 L 和公理 A→，使得 ZFC + L + A→ 对于整个 Vλ 理论来说是 Ω 完全的，而且，这样的理论是 Ω 等效的并且意味着 CH。如果是这种情况，则意味着对于每个这样的 λ，都存在 Vλ 的唯一 Ω 完全图像，并且我们将对集合宇宙的任意大片段有独特的 Ω 完全理解。这将为完成 ZFC 公理和大基数公理的新公理提供强有力的理由。

不幸的是，这种乐观的情况失败了：假设存在这样一种理论，我们可以构建另一种与 CH 不同的理论：

定理 5.5（Koellner 和 Woodin 2009）。

假设 ZFC 并且存在一个适当的伍丁红雀类。假设 Vλ 是宇宙的一个可指定片段（足够大），并假设存在一个大基数公理 L 和公理 A→ 使得

ZFC + L + A→ 对于 Th(Vλ) 是 Ω 完备的。

那么有公理 B→ 这样

ZFC + L + B→ 对于 Th(Vλ) 是 Ω 完备的

当且仅当第二个理论 Ω- 蕴含 ØCH 时，第一个理论 Ω- 蕴含 CH。

这仍然给我们留下了存在性问题，而这个问题的答案对Ω猜想和AD+猜想很敏感：

定理 5.6（伍丁）。

假设存在伍丁基数真类并且Ω猜想成立。那么不存在递归理论 A→ 使得 ZFC + A→ 对于 Vδ0+1 理论是 Ω 完全的，其中 δ0 是最小伍丁基数。

事实上，在更强有力的假设下，该情景必须在更早的水平上失败。

定理 5.7（伍丁）。

假设存在伍丁基数真类并且Ω猜想成立。假设AD+猜想成立。那么不存在递归理论 A→ 使得 ZFC + A→ 对于 Σ2 的理论是 Ω 完全的

3

。

Σ2 水平上是否存在这样的理论还有待商榷

2

。据推测，对于 Σ2，ZFC + ◇ 是 Ω 完全的（假设大基数公理）

2

。

让我们假设它得到了肯定的回答，然后回到唯一性问题。对于每个这样的公理 A，令 TA 为 Σ2

2

由 Ω-logic 中的 ZFC + A 计算的理论。唯一性问题简单来说就是问TA是否是唯一的。

定理 5.8（Koellner 和 Woodin 2009）。

假设存在一类伍丁红衣主教。假设 A 是一个公理，使得

 我。 ZFC + A 是 Ω 可满足的，并且

二. ZFC + A 对于 Σ2 是 Ω 完备的

2

。

那么有一个公理 B 使得

 我'。 ZFC + B 是 Ω 可满足的并且

ii'。 ZFC + B 对于 Σ2 是 Ω 完备的

2

且TA≠TB。

这与定理 5.2 相似。

为了完成并行，需要 CH 位于所有 TA 之中。这还不得而知。但这是一个合理的猜想。

猜想5.9。

假设大型基本公理。

有一个σ2

2

公理A

ZFC + a是ω-可满足的，并且

ZFC + A为σ2是ω-完整

2

。

任何这样的σ2

2

Axiom A具有

ZFC + A⊧ΩCH。

如果认为这种猜想将提供定理5.1的真正类似物。这将通过第一步完成平行。

第二步也有平行。回想一下，在上一小节的第二步中，我们有，尽管各种ta都不同意，但它们都包含€，此外，从其中，有一个脱颖而出，即（∗）给出的理论，因为该理论最大化结构⟨H（ω2），∈，ins，a |的π2理论a∈P（ℝ）∩l（ℝ）⟩。在CH的当前情况下，我们再次（假设猜想）有，尽管TA不同意，但它们都包含CH。事实证明，从他们中间，有一个脱颖而出，即最大一个。因为已知（1985年伍丁的结果），如果有一类适当的可测量木质枢机主教，那么有一个强迫延伸，满足所有σ2

2

句子φ使得ZFC + CH +φ是可满足的（请参见Ketchersid，Larson和Zapletal（2010））。因此，如果使用σ2对存在问题积极回答

2

那么ta必须是最大σ2

2

理论，因此，当a为σ2时，所有人都同意

2

。因此，假设有一个ta，其中a为σ2

2

，那么，尽管并非全部TA同意（当A是任意的），但有一个脱颖而出的是，即最大值的σ2

2

句子。

因此，如果上述猜想成立，则Ch的情况与¬CH的情况相似，直到现在σ2

2

取代H（ω2）理论。

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