连续统假说（完结）

5.3 评估

假设猜想持有Ch相似之处的情况，仅为σ2

2

取代H（ω2）理论：在背景假设下，我们拥有：

有一个这样的ZFC + A为H（ω2）

对于每个这样的a，相关的ta都包含−ch，

有一个最大的ta，即t（∗），该理论包含2ℵ0=ℵ2。

有σ2

2

-Axioms a使得ZFC + A为σ2是ω-完整

2

对于每个这样的a，相关的ta都包含ch，

有一个最大的ta。

这两种情况与最大性是平行的，但就ω-完整度的水平而言，第一种情况更强。因为在第一种情况下，我们不仅在H（ω2）的π2理论（带有附加谓词）方面获得ω-完整性，还可以获得与所有H（ω2）有关的ω-完整性。可以说，这是一个有利于CH的案件的论点，即使是对猜想也是如此。

但是有一个更强大的观点。内部模型理论（我们将在下一节中讨论）有证据表明猜想实际上是错误的。如果事实证明这种情况将破坏平行，从而加强了€的案例。

但是，可能会反对这一点：€ch的情况较高的ω-完整性确实是虚幻的，因为它是（∗）下H（ω2）的事实的一个事实，实际上是相互解释的。与H（ω1）的（通过伍丁的深层结果）。此外，后一个事实与第4.3节中讨论的超越原则的精神相抵触。这些原则是在争论中提到的，即CH没有答案。因此，当所有尘埃都解决了伍丁在CH上的真正进口时（因此论证的说法）并不是CH是错误的，而是CH很可能有答案。

可以说，在这个阶段，解决CH的本地方法的状态有些不安。因此，在本条目的其余部分中，我们将重点介绍全球解决CH的方法。我们将非常简短地讨论两种这样的方法 - 通过内部模型理论的方法以及通过准大型基本公理的方法。

6。最终的内部模型

内部模型理论旨在产生包含大型基本公理的“ Like”模型。对于通过内部模型理论达到的每个大型基本公理φ，一个公理的形式为v =lφ。该公理具有这样一种优点，即（与最简单的V = l一样），它提供了有关Lφ问题（假设为V）的“有效完成”解决方案。不幸的是，事实证明，公理V =Lφ与更强的大型基本公理φ'不相容。因此，这种形式的公理从未被认为是新公理的合理候选者。

但是内部模型理论（由于伍丁）的最新发展表明，一切都在超级型红衣主教的水平上变化。这些发展表明，如果有一个内部模型n，该模型n“继承”了V（以内在模型理论的轨迹，以人们期望的方式）中的超级紧张的红衣主教，则会有两个显着的后果：首先，n是靠近V（例如，对于足够大的奇异红衣主教λ，n正确计算λ+）。其次，n继承了V中存在的所有已知的大型红衣主教。因此，与迄今为止已经开发的内部模型相反，超级紧张的级别的内部模型将为一个公理提供一个无法被更强的公理。大型基本假设。

当然，问题是在此级别上是否可以拥有一个“ Like”模型（一个可以有效完成的公理）。有理由相信可以。现在有一个候选模型LΩ，其具有以下特征的公理V =LΩ：首先，V =LΩ是“有效完成的”。其次，V =LΩ与所有大型基本公理兼容。因此，在这种情况下，最终理论将是（开放式的）理论ZFC + V =LΩ + LCA，其中LCA是代表“大型基本公理”的模式。大型基本公理将捕获戈德利亚独立的实例，而公理V =LΩ将捕获其余独立实例。该理论将暗示CH并解决其余未定的陈述。独立将不再是一个问题。

但是，事实证明，还有其他候选公理共享这些特征，因此多元化的幽灵再次出现。例如，有公理V =LΩ

S

和v =lΩ

（ *）

。这些公理也将“有效地完成”，并与所有大型基本公理兼容。然而，它们将与公理V =lΩ不同解决各种问题。例如，公理V =LΩ

（ *）

将暗示€。那么，如何在它们之间进行裁决？

进一步阅读：有关内部模型理论简介，请参见Mitchell（2010）和Steel（2010）。有关最新级别及以后的最新发展的更多信息，请参见Woodin（2010）。

7。L（Vλ+1）的结构理论

这使我们进入了第二种全局方法，该方法有望从v =lΩ中选择正确的公理

S

，v =lΩ

（ *）

，及其变体。这种方法基于在ADL（ADL）假设下L（ℝ）的结构理论与L（vλ+1）的结构理论之间的显着类比，假设L（vλ+）嵌入了基本嵌入（vλ+）。 1）临界点低于λ。这种嵌入假设是文献中出现的最强大型基本公理。

L（ℝ）和L（Vλ+1）之间的类比是基于以下观察结果：L（ℝ）只是L（VΩ+1）。因此，λ是ω，λ+的类似物是ω1的类似物，依此类推。作为ADL（ℝ）下L（ℝ）结构理论与嵌入公理下L（Vλ+1）的结构理论之间的平行的一个例子在L（ℝ）中，在第二种情况下，ω1的类似物（即λ+）是L（vλ+1）中的可测量的基数。这个结果是由于伍德的，这只是他作品中包含的许多平行示例中的一个例子。

现在，我们有大量有关ADL（ℝ）下L（ℝ）结构理论的信息。确实，正如我们上面指出的那样，关于L（ℝ）的问题，该公理“有效地完成”。相比之下，嵌入公理本身不足以暗示L（vλ+1）具有一个结构理论，该理论完全与ADL（ℝ）下的L（ℝ）的相似。但是，已经有丰富的平行的存在是平行的延伸的证据，我们可以通过添加一些关键组件来补充嵌入公理。当一个人这样做时，会发生一些引人注目的事情：补充公理会变得脆弱。这意味着它们有可能消除独立性并提供有关Vλ+1的非平凡信息。例如，这些补充公理可能会解决CH等等。

研究L（vλ+1）结构理论的可能性的困难在于，我们没有使用适当的镜片来查看它。麻烦是模型L（vλ+1）包含宇宙的一大块（即L（vλ+1）），并且该结构的理论从根本上不确定。上面讨论的结果为我们提供了适当的镜头。因为一个人可以在最终内部模型（如lΩ）的上下文中检查L（vλ+1）的结构理论

S

，lΩ

（ *）

，及其变体。关键是这些模型可以容纳嵌入的公理，并且在每个公理中都可以计算L（vλ+1）的结构理论。

这提供了一种从V =LΩ中选择正确的公理的手段，V =LΩ

S

，v =lΩ

（ *）

，及其变体。一个人只是查看每个模型的L（vλ+1）（其中嵌入公理所固定），然后检查以在ADL（ADL（ℝ）的假设下，L（ℝ）结构理论具有真正的类似物。众所周知，结构理论的某些部分不能在LΩ中保持。但这是开放的，他们是否可以握住LΩ

S

。

让我们考虑一个这样的（非常乐观的）场景：Lω的L（Vλ+1）下L（ℝ）结构理论的真实类似物

S

但没有任何变体。此外，对于Vλ+1的理论，这种结构理论是“有效完成的”。假设有一个适当的λ，嵌入公理所具有的λ，这给出了V的“有效完整”理论，并且显着地，该理论的一部分是V必须为lΩ

S

。对于解决所有不确定的陈述的公理，这种（公认的非常乐观的）情况将构成一个非常有力的案例。

在这种特定情况下，不应将重量过多。这只是众多。关键是我们现在可以写下具有以下功能的确定问题的列表：首先，此列表中的问题将具有答案 - 独立不是问题。其次，如果答案汇聚在一起，那么人们将有强有力的证据证明新的公理会解决未定的陈述（因此是关于集合宇宙的非同性恋主义）；如果答案振荡，则可以有证据表明这些陈述是“绝对不可决定的”，这将加强多元化的理由。这样，“绝对不可证明”和多元主义的问题得到了数学牵引。

进一步阅读：有关L（Vλ+1）结构理论的更多信息，并与确定性相似，请参见Woodin（2011b）。

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