逻辑代数传统（一）

一、简介

2. 1847年——现代逻辑代数的开端

3. 1854年——布尔对逻辑代数的最后一次演讲

4. Jevons：基于总运算的逻辑代数

5. 皮尔士：基于包含的逻辑代数

6.德摩根和皮尔斯：逻辑代数中的关系和量词

7. 施罗德对逻辑代数的系统化

8.亨廷顿：逻辑代数的公理化研究

9. Stone：逻辑代数模型

10.Skolem：量词消除和可判定性

11.塔斯基和代数逻辑的复兴

参考书目

主要来源

二手资料

学术工具

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相关条目

一、简介

布尔的《逻辑的数学分析》提出了许多有趣的逻辑新颖性：它是十九世纪逻辑数学化的开始，并为传统逻辑中使用的目录方法提供了一种算法替代方案（通过对普通代数的轻微修改）（即使还原过程是在后者中开发的）。论证的有效性不是根据一系列有效论证形式来确定的，而是根据一般原则和规则来确定的。此外，它还提供了一种在假设系统的基础上证明逻辑定律的有效方法。正如布尔后来所写，它是一门真正的“推理科学”，而不是像传统三段论那样的“记忆艺术”（Boole 1997：136）。本书读到四分之三时，在完成对三段论逻辑的讨论后，布尔开始开发将在他的《思维定律》（1854 年）中使用的通用工具，通过允许论证具有多个前提来极大地扩展传统逻辑。并涉及许多课程。为了处理这种扩展逻辑的无限多种可能的逻辑论证，他提出了为算法分析提供关键工具的定理（目录不再可行）。

布尔的想法是独立于早期的预期而构思的，就像 G.W.莱布尼茨。它们产生于英国数学的特定背景（参见 Peckhaus 2009）。根据维克多·桑切斯·瓦伦西亚 (Víctor Sánchez Valencia) 的说法，自从 1879 年亚历山大·麦克法兰 (Alexander MacFarlane) 出版《逻辑代数原理》以来，起源于布尔的传统被称为逻辑代数（参见 Sánchez Valencia 2004: 389）。麦克法兰将“布尔提出的质量推理分析方法”视为一种代数（参见 MacFarlane 1879：3）。

这种方法不同于通常所说的代数逻辑。尽管存在一些重叠，但两个地区的历史发展却有所不同。代数逻辑可以理解为：

一种[逻辑]风格，其中概念和关系用数学符号来表达[

……

…]以便可以应用数学技术。这里的数学主要指代数，即与某些集合上的有限运算有关的数学部分。 （海尔珀林 2004：323）

代数逻辑已经可以在莱布尼茨、雅各布·伯努利和其他现代思想家的著作中找到，它无疑构成了布尔方法的重要前身。从更广泛的角度来看，两者都是形式科学中符号知识传统的一部分，正如莱布尼茨首先构想的那样（参见 Esquisabel 2012）。这种代数逻辑的思想在某种程度上在康迪拉克和孔多塞的法国启蒙运动中得到了延续（参见 Grattan-Guinness 2000：14 ff.）

布尔处理逻辑问题的方法可以描述如下：

将逻辑数据转换成合适的方程；

应用代数技术来求解这些方程；

如果可能的话，将此解决方案翻译回原始语言。

换句话说，逻辑问题的符号表述和逻辑方程的解构成了布尔方法（参见Sánchez Valencia 2004：389）。

后来，在 1864 年的《纯逻辑》中，杰文斯将布尔的不相交集合并集的部分运算改为现代的无限制并集，并消除了布尔对不可解释术语的可疑使用（参见杰文斯 1890）。 Peirce（1880）通过赋予“所有

一个

A 是

乙

B”。此外，他还将类逻辑代数扩展到二元关系逻辑代数，并引入了一般和和乘积来处理量化。恩斯特·施罗德 (Ernst Schröder) 从赫尔曼 (1809-1877) 和罗伯特·格拉斯曼 (1815-1901) 的先前著作中汲取灵感，并使用皮尔斯开发的框架，在他的三卷本著作《Vorlesungen》中发展并系统化了 19 世纪逻辑代数的成就超过逻辑代数（1890-1910）。

戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）在 1879-1903 年期间对逻辑的贡献基于逻辑的公理化方法，在当时几乎没有影响（对于 C.S. Peirce 在世纪之交）。怀特海和罗素拒绝了逻辑方法的代数，其主要是等式公式和代数符号，而赞成一种受弗雷格公理系统强烈启发的方法，并使用朱塞佩·皮亚诺开发的符号，即使用逻辑连接词、关系符号和量词。

在二十世纪的前二十年，逻辑代数在 Platon Sergeevich Poretzsky (1846-1907)、Louis Couturat (1868-1914)、Leopold Löwenheim (1878-1957) 和 Heinrich Behmann (1878-1957) 的著作中得到了进一步发展。 1891-1970）（参见Styazhkin 1969）。特别是，逻辑代数中的消除定理影响了一阶和二阶逻辑片段的决策过程（参见 Mancosu、Zach、Badesa 2009）。

第一次世界大战后，戴维·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）首先采用了代数方法，后来又采用了《原理》的方法，逻辑代数失宠了。然而，在 1941 年，塔斯基将关系代数视为一个等式定义的类。这样的类除了 1800 年代考虑的给定宇宙上所有二元关系的集合之外还有许多模型，就像 1800 年代研究的幂集布尔代数之外还有许多布尔代数一样。 1948-1952 年，Tarski 与他的学生 Chin 和 Thompson 一起创建了圆柱代数作为一阶逻辑的代数逻辑伴侣，1956 年 Paul Halmos（1916-2006）出于同样的目的引入了多元代数。正如 Halmos（1956 b、c 和 d）所指出的，这些新的代数逻辑倾向于关注研究它们捕获一阶逻辑的程度以及它们的普遍代数方面，例如公理化和结构定理，但对激发他们创作灵感的一阶逻辑的本质。

2. 1847年——现代逻辑代数的开端

1847 年末，布尔和奥古斯塔斯·德·摩根（1806-1871）各自出版了一本关于逻辑的书——布尔的《逻辑数学分析》（1847 年）和德·摩根的《形式逻辑》（1847 年）。德摩根的方法是将传统演绎逻辑（通常称为“亚里士多德逻辑”）的各个方面剖析成最微小的组成部分，考虑概括这些组成部分的方法，然后在某些情况下，着手使用这些组成部分构建一个逻辑系统。不幸的是，他从未能够将他最好的想法融入到一个重要的系统中。他省略了平等的符号，使得逻辑方程代数的发展变得不可能。看来综合并不是德摩根的强项。

德摩根 1847 年的书是逻辑研究复兴的一部分，这一复兴始于 19 世纪初，由法国的约瑟夫·迪茨·杰贡 (Joseph Diez Gergonne，1771-1859) 和波希米亚的伯恩哈德·博尔扎诺 (Bernhard Bolzano，1781-1848) 等人发起。英国的乔治·边沁（George Bentham）和威廉·汉密尔顿（William Hamilton）也是这场复兴的一部分，他们的研究重点是传统三段论中分类句子的变化性质，包括所谓的“谓词的量化”；例如，“所有

一个

A 是一些

乙

B”或“一些

一个

A 都是

乙

B”。人们认为这个问题需要亚里士多德三段论逻辑的扩展，并且需要某种形式的符号方法来处理此类陈述并提供其不同类型的分类（参见 Heinemann 2015 第 2 章和第 3 章）。

布尔从完全不同的角度研究逻辑，即如何将亚里士多德逻辑披上符号代数的外衣。使用符号代数是他在微分方程方面的工作以及他的年轻朋友兼导师邓肯·法夸森·格雷戈里（Duncan Farquharson Gregory，1813-1844 年）的各种论文中熟悉的一个主题，格雷戈里曾尝试将几何等其他学科引入其他学科。进入符号代数的语言。由于符号代数在微分方程中的应用是通过微分算子的引入而进行的，因此布尔寻找应用于亚里士多德逻辑领域的算子一定是很自然的。他很快就想到了使用“选择”运算符的想法，例如，红色的选择运算符将从类中选择红色成员。在他 1854 年的书中，布尔意识到省略选择运算符并直接使用类会更简单。 （然而，他保留了选择算子来证明他的主张是正确的，即他的逻辑定律最终并不是基于对语言使用的观察，而是实际上深深植根于人类思维的过程中。）从现在开始，在这篇文章中，当在讨论 Boole 1847 年的书时，选择运算符已被使用类的更简单的直接公式所取代。

由于符号代数只是普通代数的句法方面，布尔需要方法来解释代数的常用运算和常数，以创建类逻辑代数。乘法被解释为交集，从而产生了他的一项新定律：幂等定律

X

X

=

X

XX=X 乘法，重新发现莱布尼茨已经制定的逻辑定律。加法被定义为并集，前提是处理不相交的类；减法作为类差异，前提是从类中减去子类。在其他情况下，加法和减法运算根本就是未定义的，或者正如布尔所写的那样，无法解释。通常的算术定律告诉布尔，1 一定是宇宙，并且

1

-

X

1−X 必须是补集

X

X.

布尔系统的下一步是将四种分类命题转化为方程，例如“所有

X

X 是

是

Y”变为

X

=

X

是

X=XY，并且“一些

X

X 是

是

Y”变为

V

=

X

是

V=XY，其中

V

V是一个新符号。为了消除三段论中的中间项，布尔借用了普通代数的消除定理，但这对于他的逻辑代数来说太弱了。他在 1854 年出版的书中对此进行了纠正。布尔发现，他不能总是通过上述特定命题（即具有存在意义的命题）的翻译得出所需的结论，因此他添加了变体

X

=

V

是

X=VY,

是

=

V

X

Y=VX，并且

V

X

=

V

是

VX=VY（参见布尔条目）。

1800 年代的符号代数不仅仅包括多项式代数，布尔进行了实验，看看哪些结果和工具可以应用于逻辑代数。例如，他通过使用无限级数展开来证明了他的结果之一。他对普通代数的可能性的迷恋促使他考虑以下问题：如果用幂等律代替幂等律，逻辑会是什么样子？

X

3

=

X

X3=X?他的继任者，尤其是杰文斯，很快将类运算缩小到我们今天使用的运算，即并集、交集和补集。

正如前面提到的，布尔在 1847 年出版的这本书中完成了传统亚里士多德三段论的推导后，宣布他的逻辑代数能够得到更广泛的应用。然后，他继续添加关于展开（扩展）项的一般定理，提供方程的解释，并使用长除法根据其他类（添加了附加条件）来表达方程中的一个类。

布尔定理于 1854 年完成并完善，给出了分析无限多种论证形式的算法。这开辟了一个新的、富有成效的视角，偏离了传统的逻辑方法，几个世纪以来，学者们一直在努力想出巧妙的助记符来记住有效转换和三段论及其各种相互关系的非常小的目录。

德摩根的形式逻辑没有获得显着的认可，主要是因为它是大量小事实的集合，没有进行重要的综合。布尔的《逻辑的数学分析》具有强大的方法，引起了德·摩根和阿瑟·凯利（1821-1895）等少数学者的注意；但很快，人们对布尔逻辑代数的运作产生了严重的疑问：它与普通代数的联系到底有多紧密？布尔如何证明他的逻辑代数程序的合理性？回想起来，似乎可以肯定布尔不知道他的系统为何有效。他遵循格雷戈里的主张，为了证明使用普通代数的合理性，检查交换律就足够了

X

是

=

是

X

XY=YX 用于乘法和分配律

X

（

是

+

Z

）

=

X

是

+

X

Z

X(Y+Z)=XY+XZ，显然是错误的。尽管如此，他也可能在足够多的案例中检查了他的结果，以证实他的系统是正确的。

3. 1854年——布尔对逻辑代数的最后一次演讲

在他的第二本书《思维法则》中，布尔不仅将代数方法应用于传统逻辑，而且还尝试对逻辑进行一些改革。他首先扩充了 1847 年逻辑代数的定律（没有明确指出他之前列出的三个公理是不够的），并对推理规则（在方程两边执行相同的运算）做出了一些评论。但随后他漫不经心地表示，他的系统的基础实际上建立在一个（新）原则上，即当类符号仅取值 0 和 1 时，通过查看参数是否正确就足以检查参数，并且操作是通常的算术运算。让我们称之为布尔的 0 和 1 规则。布尔采用这个新基础并没有给出任何有意义的理由，也没有给它一个特殊的名称，而且本书的其余部分很少提及它，而且通常都相当笨拙地陈述。有关 0 和 1 规则的现代分析，请参阅 Burris & Sankappanavar 2013。

《思想法则》中逻辑代数的发展与他 1847 年的著作非常相似，只是对翻译方案进行了微小的修改，并且选择运算符被类所取代。有一个新的、非常重要的定理（纠正了他在 1847 年使用的定理），即消除定理，它的内容如下：给定一个方程

F

（

x

,

y

,

z

,

……

）

=

0

类符号中的 F(x,y,z,…)=0

x

,

y

,

z

x,y,z 等，消除某些类符号所得出的最普遍的结论是通过 (1) 将 0 和 1 代入

F

（

x

,

y

,

z

,

……

）

F(x,y,z,…) 表示要以所有可能的方式消除的符号，然后 (2) 将这些不同的替换实例相乘并将乘积设置为等于 0。从而消除

y

y 和

z

z 来自

F

（

x

,

y

,

z

）

=

0

F(x,y,z)=0 给出

F

（

x

,

0

,

0

）

F

（

x

,

0

,

1

）

F

（

x

,

1

,

0

）

F

（

x

,

1

,

1

）

=

0

F(x,0,0)F(x,0,1)F(x,1,0)F(x,1,1)=0。这个定理在布尔对亚里士多德三段论的解释中也发挥了重要作用。

从逻辑代数的角度来看，1854 年的处理有时似乎不如 1847 年书中的处理优雅，但它为布尔如何思考逻辑代数的基础提供了更丰富的见解。关于逻辑的最后一章，第十五章，试图给出亚里士多德转换和三段论的统一证明。 （奇怪的是，在第十五章之前，布尔没有提供任何涉及特定命题的论证的例子。）第十五章的细节相当复杂，主要是因为应用消除定理和发展定理时表达式的大小增加了。布尔只是将大部分工作留给了读者。后来的评论家会掩盖这一章，似乎没有人研究过它的细节。

除了 0 和 1 规则以及消去定理之外，1854 年的演讲主要有趣的是布尔试图证明他的逻辑代数的合理性。他认为，在符号代数中，只要前提和结论中的项是可解释的，用部分运算进行等式演绎是完全可以接受的，就像全运算时一样。他说这就是普通代数处理不可解释的问题的方式

√

-

1

−1，-1 的平方根。 （韦塞尔、阿尔甘和高斯很早就认识到了复数的几何解释，但直到 1830 年代高斯和汉密尔顿的出版物才克服了对复数在更大的数学界中可接受性的怀疑。令人好奇的是，布尔在 1854 年认为

√

-

1

−1 为不可解释。）

对于布尔的逻辑代数方法，存在许多担忧：

他的逻辑代数和数字代数之间是否存在有意义的联系，或者它们如此相似只是一个偶然？

人们可以用专注于方程的代数逻辑来处理特定的命题吗？

在方程推导中使用不可解释的项真的可以接受吗？

布尔是否使用了“亚里士多德”语义（传统逻辑中预设的语义，其中术语的外延是非空的）？

4. Jevons：基于总运算的逻辑代数

杰文斯曾师从德摩根，他是第一个提出布尔系统替代方案的人。 1863年，他写信给布尔，肯定布尔的加法运算应该被更自然的“包容或”（或“并集”）所取代，从而得出了这条定律

X

+

X

=

X

X+X=X。布尔完全拒绝了这个建议（这会破坏他基于普通代数的系统）并中断了通信。杰文斯 (Jevons) 在他 1864 年出版的书《纯逻辑》(Pure Logic)（杰文斯 1890 年重印）中发表了他的系统。他所说的“纯粹”意味着他摆脱了对数字代数的任何依赖——他将使用与质量相关的谓词，而不是与数量相关的类，并且他的定律将直接从（总计）包含析取和合取的基本运算。但他保留了布尔对方程的使用作为逻辑代数中陈述的基本形式。

通过采用德摩根使用大写/小写字母作为补码的惯例，杰文斯的系统不适合为现代布尔代数提供方程公理。然而，他完善了他的公理和推理规则系统，直到结果本质上是基本术语的现代布尔代数系统，即类符号被视为常数而不是变量的术语。

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