逻辑代数传统（二）

必须注意的是，现代方程逻辑处理普遍量化的方程（在 1800 年代被称为定律）。在 19 世纪的逻辑代数中，人们可以将“所有

X

X 是

是

Y”作为方程

X

=

X

是

X=XY。这不应被视为普遍量化的表达

（

∀

X

）

（

∀

是

）

（

X

=

X

是

）

(∀X)(∀Y)(X=XY)。

X

X 和

是

Y 将被视为常数（或示意性字母）。仅具有常数（无变量）的项称为基本项。

通过在谓词代数（或类代数）的特殊环境中进行这种分析，杰文斯在现代方程逻辑的发展中发挥了重要作用。如前所述，布尔为他的系统给出了不充分的等式公理集，最初是从格雷戈里的两条定律加上他的幂等定律开始；这些都伴随着德·摩根的推理规则，即人们可以对等号进行相同的运算（布尔在逻辑代数中的基本运算是加法、减法和乘法）并获得等号。然后布尔转向简单而强大（但无法解释）的 0 和 1 规则。

用总体运算取代布尔的基本运算后，杰文斯花了很多年的时间致力于他的系统的公理和规则。我们现在认为理所当然的等式逻辑的一些要素需要杰文斯花费相当多的时间才能解决：

反身法则（

一个

=

一个

A=A）。 1864 年，杰文斯将此列为公设（1890 年，第 11 页），然后在第 24 节中，他提到

一个

=

一个

A=A 作为“无用的等同命题”。在他 1869 年关于替代的论文中，它成为“同一律”。在《科学原理》（1874）中，它是三大“思想基本定律”之一。

对称定律 (

乙

=

一个

B=A 由

一个

=

乙

A = B）。 1864 年，杰文斯写道“

一个

=

乙

A=B 且

乙

=

一个

B=A 是同一个语句”。这是他将维持的立场。 1874 年他写道

我将考虑两种形式

一个

=

乙

A=B 且

乙

=

一个

B=A 以不同的方式表达完全相同的恒等式。

对于他的逻辑代数的最终形式，我们求助于他在《科学原理》（1874 年）中散布在 40 多页中的定律，将他早期使用的 + 替换为

⋅

∣

⋅

⋅∣⋅，显然是为了进一步远离与数字代数的任何联系：

组合法则

一个

=

一个

一个

=

一个

一个

一个

=

&

c

简单法则（第 33 页）

一个

乙

=

乙

一个

交换律（第 35 页）

一个

⋅

∣

⋅

一个

=

一个

统一定律（第 72 页）

一个

⋅

∣

⋅

乙

=

乙

⋅

∣

⋅

一个

交换律（第 72 页）

一个

（

乙

⋅

∣

⋅

C

）

=

一个

乙

⋅

∣

⋅

一个

C

（未给出姓名）（第 76 页）

A=AA=AAA=&c 简单性定律 (p. 33)AB=BAA 交换律 (p. 35)A⋅∣⋅A=AL 统一律 (p. 72)A⋅∣⋅B=B⋅∣⋅AA 交换律 (第 72 页）A(B⋅∣⋅C)=AB⋅∣⋅AC（未给出名称）（第 76 页）

思想法则

一个

=

一个

身份法则（第 74 页）

一个

一个

=

哦

矛盾律（第 74 页）

一个

=

一个

乙

⋅

∣

⋅

一个

乙

二元法则（第 74 页）

A=AL 恒等律 (p. 74)Aa=o 矛盾律 (p. 74)A=AB⋅∣⋅Ab 对偶律 (p. 74)

对于他的单一推理规则，杰文斯选择了替换原则——用现代术语来说，这本质上是基础替换和传递性的结合。他展示了如何从中导出平等的传递性；他也可以导出对称性，但他没有。结合律缺失了——它隐含在他的表达式中缺少括号。

杰文斯只是在他的《演绎逻辑研究》（1880）中才提到麦科尔使用重音来表示否定。在注意到麦科尔的口音允许人们接受复杂的括号术语的否定后，他接着说，在大多数情况下，他发现德摩根符号（他一直使用的符号）更加优雅。

5. 皮尔士：基于包含的逻辑代数

Peirce 在 1860 年代末开始研究逻辑代数。在他的论文“关于布尔逻辑演算的改进”（Peirce 1867）中，他独立地得出了杰文斯早期得出的相同结论，即需要用并集的全部运算来代替布尔的部分加法运算（参见 CP 3.3.6）。在他 1880 年的重要论文《论逻辑代数》中，皮尔士悄悄地打破了传统的外延语义学，并引入了现代语义学的一个常见假设：一个概念的外延，被理解为一个类，可以是空的（以及宇宙），并陈述了我们今天使用的绝对命题的真值。例如，他提出了“所有

一个

A 是

乙

B”为真，如果

一个

一个和

乙

B 都是空类。通过限制进行转换，即“所有

一个

A 是

乙

B”因此“一些

乙

B 是

一个

A”不再是一个有效的推论。皮尔士没有提及他偏离传统语义存在假设的原因和优点。

皮尔士还打破了布尔和杰文斯使用平等作为基本原语的做法，而是使用可以以不同方式解释的“包含”关系（子类关系、蕴涵等）。他陈述了包含的偏序性质，然后将 + 和 × 的运算定义为最小上界和最大下界——他隐含地假设这样的界限存在——并列出了我们用两个二元运算代数的关键方程性质。现在称为格子。然后他声称遵循分配律，但表示证明太乏味而无法包括在内。这种观点的丰硕成果在他 1885 年的开创性论文中显而易见。皮尔士在论文中引入了一个基于五个蕴涵公理（用符号“表示”）的命题逻辑系统。

-

<

−<’)，包括现在所谓的皮尔士定律。它无疑使逻辑代数变得更加优雅。

6.德摩根和皮尔斯：逻辑代数中的关系和量词

德·摩根在 1846 年至 1863 年期间撰写了一系列六篇论文，名为《论三段论》（德·摩根 1966 年重印）。在努力推广三段论的过程中，德·摩根在 1850 年该系列的第二篇论文中用一般的二元关系取代了系词“is”。通过允许三段论的两个前提中存在不同的二元关系，他被引导引入两个二元关系的组成来表达三段论的结论。在对广义三段论的追求中，他引入了关于二元关系的各种其他运算，包括逆运算，并且他为这些运算开发了微积分的一个片段。他关于这个主题的主要论文是该系列的第四篇，名为“论三段论，第四期，以及关系逻辑”，发表于 1859 年（参见 De Morgan 1966）。

继德·摩根的论文之后，皮尔斯在 1870 年发表的论文《亲戚逻辑符号的描述，源于布尔逻辑演算概念的放大》中，将布尔的工作提升到二元关系的背景——用二元关系除了并集、交集和补集之外，还有合成和逆运算的自然运算。二元关系的特征是一组有序对（参见 3.328）。他在 1870 年至 1883 年间研究了这种新的微积分。与德·摩根一样，皮尔斯也考虑了其他一些关于关系的自然运算。皮尔士关于这个主题的主要论文是“论逻辑代数”（1880）。通过使用无限制的并集（用 Σ 表示）和无限制的交集（用 Π 表示），皮尔士将量词引入了他的逻辑代数中。

在 1882 年的一篇论文《亲属代数的简要描述》（1966 年在 De Morgan 上重印）中，他使用这些量词通过对某种系数的运算来定义关系运算。德·摩根因引入关系概念而受到赞誉，但皮尔士被认为是关系理论的真正创造者（参见，例如，Tarski 1941：73）。然而，皮尔斯并没有发展这个理论。正如卡利克斯托·巴德萨 (Calixto Badesa) 所写，“皮尔士从来不喜欢亲戚的计算”（Badesa 2004：32）。他认为它太复杂了，因为类操作与关系操作相结合。相反，从 1885 年开始，他更倾向于发展一种包括量词但不涉及关系运算的“一般代数”。通过这种方式，他对现在所谓的一阶逻辑进行了基本且非正式的表述（参见 Badesa 2004，前述）。

7. 施罗德对逻辑代数的系统化

德国数学家恩斯特·施罗德在逻辑代数传统中发挥了关键作用。一个很好的例子是他向皮尔斯发起挑战，要求他提供分配律的证明，这是具有两个二元运算的代数的关键方程性质之一。 Peirce (1885) 承认他无法提供证明。多年后，亨廷顿（Huntington，1904：300-301）描述了 1903 年 12 月他从皮尔士那里收到的一封信的部分内容，信中声称提供了缺失的证据——显然，皮尔士在 1902 年施罗德去世后偶然发现了长期丢失的几页。皮尔斯向亨廷顿解释说，他最初认为施罗德的挑战是有充分根据的，并且他的论文的这一明显缺陷“将被添加到错误列表中，因为该论文中充斥着流行病……”。事实上，皮尔士的证明并没有纠正错误，因为分配律在一般的格中并不成立。相反，他的证明引入了补足运算——他使用了公理

如果

一个

a 不包含在补码中

乙

然后

一个

一个和

乙

b 有一个共同的下界。

在他之前的代数著作的基础上，施罗德在 19 世纪末写了一部百科全书式的三卷本著作，名为 Vorlesungen über die Algebra der Logik（1890-1905），建立在包含现代类语义的框架之上，如皮尔斯。这项工作是他代数研究的成果，并揭示了不同的影响。施罗德的目标是建立一种可应用于许多数学领域的通用代数理论，其中逻辑代数是其核心。正如杰拉尔丁·布雷迪（Geraldine Brady）所指出的那样，它提供了抽象晶格理论的第一个论述，这是Dedekind之后的Dedekind链条理论的第一个说明，关系的最全面发展，以及基于数学基础的对待，基于数学基础。关系演算（请参阅Brady 2000：143 f。）

第一卷涉及类的方程逻辑，主要结果是Boole的1854年淘汰定理。在VOL的附录中出现了三个相当复杂的反列表。我，其中一个涉及九百九十个准流群的身份。根据这一卷，Dedekind（1897）构成了一个优雅的现代抽象呈现（他称为Dualgruppen）；在本文中，他介绍了皮尔斯（Peirce）对分配法的主张的五元素反面。

卷II卷增加了卷I中开发的类的逻辑代数，以便可以处理存在语句。首先，使用现代语义，Schröder证明了一个人不能使用方程来表达“某些

X

X 是

是

是的”。但是，他指出，一个人可以轻松地用否定的方程式表达它，即

X

是

≠

0

xy≠0。第二卷是对使用方程式和否定方程式的类的计算的研究，试图涵盖VOL中涵盖的相同主题。我尤其是致力于寻找消除定理的巨大努力。在处理了几种特殊情况之后，Schröder推荐该主题作为一个重要的研究领域 - 对消除定理的追求将被称为消除问题。

Schröder主要受到Peirce的作品的启发，研究了第1卷中二元关系的逻辑代数。他的Vorlesungenüber模具代数Logik的III。正如塔斯基（Tarski）曾经指出的那样，施罗德（Schröder）继续以非常彻底和系统的方式继续进行皮尔斯（Peirce）的作品。对他特别着迷的一件是：给定等式

乙

（

x

,

y

,

z

,

……

）

=

0

e（x，y，z，…）= 0在此代数中，找到一个关系符号之一的一般解决方案，说明

x

x，就其他关系符号而言。他管理了一个特定的解决方案

x

=

x

0

x = x0，找到一个了不起的术语

S

（

t

,

y

,

z

,

……

）

S（T，Y，Z，…）具有以下属性：（1）

x

=

S

（

t

,

y

,

z

,

……

）

x = s（t，y，z，…）产生了解决方案

乙

=

0

E = 0，任何选择的关系

t

T，（2）每个解决方案

x

x 的

乙

=

0

E = 0可以通过选择合适的

t

t。 Schröder对解决方程式问题的关注并没有给Peirce留下深刻的印象，并指出Schröder的参数解决方案有点骗局，这是一个骗局 - 关系代数的表达力是如此强大，以至于通过评估一词来评估

S

（

t

,

y

,

z

,

……

）

s（t，y，z，…）实质上是在检查是否是否

乙

（

t

,

y

,

z

,

……

）

=

0

e（t，y，z，…）= 0;如果答案是肯定的话

S

（

t

,

y

,

z

,

……

）

s（t，y，z，…）返回了值

t

t，否则它将返回值

x

0

x0。

总结，Schröder构建了现代谓词逻辑的代数版本，也建立了一种关系理论。他将其应用于不同的领域（例如Cantor的集合理论），并将其代数符号视为通用或通用语言（Pasigraphy，请参见Peckhaus 2004和Legris 2012）。值得注意的是，洛恩海姆（Löwenheim）在1940年仍然认为这与集合理论一样合理。据他说，施罗德（Schröder）解决关系方程式的想法是Skolem函数的先驱，而Schröder启发了Löwenheim的表述和著名定理的证明，即每个“算术”句子都具有无限模型的每个“算术”句子都有一个可计数的模型。 Schröder的关系计算是哈佛大学（Wiener 1913）诺伯特·维纳（Norbert Wiener）（1894-1964）博士学位论文的基础。根据布雷迪（Brady）的说法，维纳（Wiener）对关系的计算进行了第一次公理处理，在塔斯基（Tarski）的公理化之前，维也纳（Tarski）的公理化疗法超过二十年（见布雷迪（Brady）2000：165）。

8.亨廷顿：对逻辑代数的公理调查

在19世纪初，戴维·希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943年）在他的Grundlagen der Geometrie中介绍了Euclidean几何形状，作为一个不依赖其证明图的公理主题（Hilbert 1899）。这导致了研究数学中的公理系统的兴趣。特别是一个人想知道公理是否是独立的，哪些原始素导致了最优雅的系统。爱德华·弗里米里·亨廷顿（Edward Vermilye Huntington，1874- 1952年）是第一个研究该问题的逻辑代数之一。他给出了逻辑代数的三个公理，显示了每组公理都是独立的，并且它们是等效的（见Huntington 1904）。 1933年，他带着三组新的公理回到了这个话题，其中一个包含以下三个方程式（1933：280）：

一个

+

乙

=

乙

+

一个

（

一个

+

乙

）

+

c

=

一个

+

（

乙

+

c

）

（

一个

′

+

乙

′

）

′

+

（

一个

′

+

乙

）

′

=

一个

。

a+b = b+a（a+b）+c = a+（b+c）（a'+b'）'+（a'+b）'= a。

此后不久，赫伯特·罗宾斯（Herbert Robbins）（1915–2001）猜想第三个方程可以用稍微简单的

[

（

一个

+

乙

）

′

+

（

一个

+

乙

′

）

′

]

′

=

一个

。

[（a+b）'+（a+b'）']'= a。

亨廷顿和罗宾斯都无法证明这一点，后来它经受了许多其他人的努力，包括塔斯基和他在伯克利的才华横溢的学校。在Winker的部分结果基础上，由Argonne National Laboratory的William McCune设计的自动定理宣传EQP在1996年发现了Robbins猜想的证据。这项成就在Kolata 2010中普及了。

根据亨廷顿（1933：278）的说法，亨利·M·谢弗（Henry M.联合排除，现在被称为Sheffer Stroke（见Sheffer 1913）。怀特黑德（Whitehead）和罗素（Russell）在第二版《原理》的序言中声称，Sheffer Stroke是自Principia发布以来逻辑上最大的进步。 （相比之下，希尔伯特和阿克曼（Hilbert and Ackermann，1928年）说，谢弗尔中风只是一种好奇。）既没有意识到几十年前施罗德（Schröder一把双刃剑。

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