逻辑代数传统（三）

在1930年代，加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff，1911–1996）建立了方程逻辑的基本结果，即（1）代数的方程类别是同质性，亚代词和直接产物下的类别，是基于五个规则的类别的类别。 ：反射性，对称性，传递性，替代和替代。在1940年代，塔斯基（Tarski）加入了这一方程逻辑的发展。从1950年代到现在，该受试者迅速发展。

9.石：逻辑代数的模型

传统逻辑研究了班级之间的某些简单关系，即是与与非空的相交的子类。但是，一旦人们采用了公理方法，明显模型的主题就浮出水面。贝尔特拉米（Beltrami）在1860年代后期引入了非欧几里得几何形状的模型。在1890年代，Schröder和Dedekind构建了晶格理论公理的模型，以表明分配定律没有遵循。但是，当涉及类的代数时，Schröder仅考虑了标准模型，即每个模型都是给定类的所有子类的集合。

直到1920年代后期，对布尔代数公理的一般模型的研究才开始进行。马歇尔·哈维·斯通（Marshall Harvey Stone，1903 - 1989年）的作品很快就达到了很高的水平（请参阅他的论文1936，1937）。他对线性操作员的环结构感兴趣，并意识到中心的构造者，即操作员

乙

e在乘法下与环中的所有其他操作员通勤（即，

乙

L

=

L

乙

El = le for l

L

l在环中），在乘法下是dip的（

乙

乙

=

乙

EE = E）发挥了重要作用。自然而然的方式，中央愿意形成了布尔代数。

追求这一研究方向导致斯通询问任意布尔代数的结构，他回答了这个问题，证明了每个布尔代数都对布尔格拉的布尔代数同构。他在布尔代数的工作中注意到了同构的内核与戒指理论研究的理想之间的某种类比，这使他给了这样的内核称呼为“理想”。此后不久，他发现了布尔代数和布尔戒指之间的翻译。在这种翻译下，布尔代数的理想完全对应于相关的布尔环的理想。他的下一个主要贡献是建立布尔代数与现在称为布尔空间（或石材空间）的某些拓扑空间之间的对应关系。后来，这种信件将被证明是构建异国布尔代数的有价值工具。石头的这些结果仍然是逻辑代数发展的范式。

灵感来自对有关卷中关系的一阶说明的简短处理。代数Logik的III，Löwenheim（1915）表明，如果可以在无限域中满足这种陈述，则可以在不可降低的域中满足。 1920年，Thoralf Skolem（1887–1963）通过引入Skolem正常形式来简化Löwenheim的证明，并在1928年Skolem用更简单的想法代替了对正常形式的使用，即使用现在称为Skolem函数的内容。他使用这些功能将一阶句子转换为通用句子，也就是说，以prenex形式的句子，所有量词均为通用（

∀

∀）。

10。Skolem：消除量子和可决定性

Skolem受到Schröder的代数Logik的强烈影响，从他的博士学位论文开始。后来，他对在班级演算中寻求淘汰定理特别感兴趣。在他的1919年论文中，他特别是为格子建立了一些结果，他表明一个人可以决定普遍的号角句子的有效性（即带有矩阵的普遍句子，这是对被否定和未命名的原子的分离，最多有一个积极的原子）通过我们现在认识到的多项式时间算法的过程。该算法是基于从普遍号角句中得出的生产规则下找到有限部分晶格的至少固定点。尽管这种结果与晶格的统一单词问题相当，但与Skolem对Löwenheim定理的著名贡献相同，但直到1990年代初重新发现的机会。 （惠特曼（Whitman，1941）为晶格的更有限的方程式决策问题提供了不同的解决方案；它被广泛称为晶格中的问题的解决方案。）

Skolem（1920）为Schröder对班级演算提出的消除问题提供了优雅的解决方案，表明如果添加了至少具有“至少具有”的谓词

n

n元素”，每个元素

n

=

1

,

2

,

……

n = 1,2，…，然后有一个简单（但通常很长的）程序，可以将有关类的一阶公式转换为无量词公式。特别是这表明，阶级计算的一阶理论是可以决定的。 Mostowski（1952）使用了这种量词 - 淘汰结果来分析直接功率的一阶性能和单个结构的直接总和，然后由Feferman和Vaught（1959）（1959年）进行一般直接和直接的总和和直接的结构产物。 。

消除量词成为数学逻辑上证明可决定性的主要方法，并且证明可决定性被视为希尔伯特和阿克曼（Hilbert and Ackermann）（1928年）的数学逻辑的主要问题，这在随后的版本中被删除，因为教会的著名不确定性结果是和图灵。

11。Tarski和代数逻辑的复兴

模型理论可以被视为希尔伯特（Hilbert）的metaphematics方法论和逻辑传统代数的产物，该方法是由löwenheim和skolem引起的结果所代表的。但是正是塔斯基（Tarski）给了该学科的古典基础。模型理论是对正式语言之间的关系及其在“实现”中的解释之间的研究（即该语言变量的领域，以及对其原始标志的解释）。如果解释恰好是语言状态的句子，那么解释是句子的模型（请参阅模型理论的条目）。模型基本上由代数结构组成，模型理论成为一种自主数学学科，其根源不仅在逻辑代数中，而且在抽象代数中（参见Sinaceur 1999）。

除模型理论外，塔斯基（Tarski）在1941年的论文“关于关系的微积分”中恢复了关系的代数。首先，他根据允许对元素和关系进行量化的形式逻辑概述了正式的逻辑，然后他转向了对仅涉及关系变量的无量词公式的更详细的研究。在列出了明显在施罗德（Schröder）第三卷中的关系代数中的公理列表后，他证明了这些公理允许一个人将无量词的关系公式减少到方程式。因此，他的关系演算成为对某种方程理论的研究，他指出的与所有二元关系有关的研究与布尔代数的方程理论的研究与所有集合的所有子集的研究一样。例如，这导致了与已经为布尔代数提出和解决的问题并行的问题，例如，他的公理模型是否是关系代数同构与一套关系代数同构的同构？ Arwin Korselt（1864-1947）回答了一个问题，即二进制关系理论中有一阶句子不等于关系的计算中的方程式 - 因此，关系的计算肯定具有较弱的表达性。力量比一阶关系理论。实际上，关系代数的表达能力完全等于只有三个变量的一阶逻辑。但是，如果在关系代数（关系的计算）中，一个人希望形式化一个具有诸如公理之类的东西的集合理论，那么一个人可以将许多变量降低到三个变量，因此可以表达任何一阶语句通过方程式这样的理论。和尚证明，与阶级的计算不同，二进制关系的计算没有有限的方程基础（参见Monk 1964）。 Tarski and Givant（1987）表明，关系代数的方程逻辑是如此表现力，以至于可以在其中进行一阶集理论。

此外，圆柱代数，基本上是配备了单圆柱操作的布尔代数

C

x

旨在捕获存在量词的CX（

∃

x

tarski在1948 - 1952年间引入了∃X），与他的学生Louise Chin和Frederick Thompson合作（见Henkin＆Tarski 1961），创造了一个逻辑代数，占据了逻辑的代数，该代数占据了一阶理论的表达力量。二进制关系。多核代数是对一阶逻辑代数代数的另一种方法 - 它是由Halmos（1956c）创建的。这些系统中的工作重点再次是在多大程度上可以与1930年代的布尔代数的著名石头结果相似。

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