几何认识论（一）

1.欧几里得几何中的认识论问题

1.1 图解结构问题

1.2 合成方法与测量

2.应用几何中的认识论问题

2.1 力学意义

3.射影几何

3.1 坐标变换；克莱因几何

3.2 希尔伯特等人关于公理射影几何

4. 非欧几何

5.黎曼几何

5.1 黎曼推广

5.2 黎曼和贝尔特拉米以及严格的非欧几何

6. 新几何的可理解性

6.1 赫尔巴特的哲学和黎曼

6.2 亥姆霍兹和庞加莱

6.3 庞加莱与罗素

七、结束语

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.欧几里得几何中的认识论问题

欧几里得对几何学的详细考察揭示了许多问题。值得详细考虑这些问题，因为直到 19 世纪后几十年，几乎所有人都没有质疑欧几里得《几何原本》在认识论上的令人信服的地位。这些问题中最主要的是直线和平面的定义缺乏清晰度，以及作为基本几何属性的最短和最直之间的混淆。 （请参阅希斯版《欧几里得几何原本》中收集的许多评论。）平行公设的含义将单独处理，请参阅非欧几里得几何部分。

欧几里得几何原理的前四本书是关于直线和圆的，但众所周知，直线的概念只得到了最不令人满意的定义。一条线被称为“无宽度的长度”，一条直线被称为“与自身上的点均匀分布”的线。这可能有助于让读者相信他们对直线有共同的概念，但如果在创建理论时出现意想不到的困难，那么这就没用了——正如我们将看到的。

对于那些决定仔细阅读《几何原本》并了解如何使用关键术语的人来说，很明显，该叙述在某些方面非常谨慎，但在其他方面却存在缺陷。直线几乎总是作为可以无限延伸的有限线段出现，但是，正如许多评论家指出的那样，尽管欧几里得指出存在连接任意两点的线段，但他并没有明确表示该线段是唯一的。这是第一同余定理（I.4）证明中的缺陷，该定理说，如果两个三角形的两对边相等且夹角相等，则三角形的其余边也相等。

定理 I.4 在另一个方面也很有趣。定理 I.2 提供了一个严格的、绝不是显而易见的证明，即平面中的给定线段可以被精确地复制，其端点之一位于平面中的任何指定点。定理 I.4 正确地要求证明角度同样可以在任意点精确复制，但欧几里得在此阶段无法提供（在 I.23 中给出了一个证明，然而，它建立在这些早期结果的基础上）。因此，他提出了一个直言不讳的主张，即可以在任意位置精确地复制一个三角形，这使人想知道为什么在 I.2 上要如此小心。事实上，图形运动的整个概念在阿拉伯/伊斯兰时代成为了一个长期讨论的话题。 （关于欧几里得的演绎，参见 Mueller 1981。）

对《几何原本》第一册的一种合理解读是，直线可以被理解为具有方向，因此在每个点的每个方向上都有一条直线，而在给定方向上的给定点上只有一条直线。平行公设则表示以相等角度与给定直线相交的直线指向相同方向且不相交。但这必须被视为一种解释，并且需要相当多的工作才能精确地解释。

尽管如此，方向比距离更合理。欧几里得并不是从连接两个不同点的直线是连接它们的最短曲线的想法开始的。 《几何原本》中相关的原始概念是线段相等，例如给定圆的所有半径。欧几里得指出，作为共同概念 4，如果两个线段可以重合，那么它们就相等，并且（在麻烦的 I.4 中）他使用了相反的方法，即如果两个线段相等，那么它们就可以重合。线段要么小于另一条，要么相等，欧几里得在 I.20 中表明“在任何三角形中，两条边以任何方式加在一起都大于其余一条”。这个结果被称为三角不等式，它在很大程度上证明了连接任意两个不同点的线段是通过这些点的最短曲线。引入平行公设后，欧几里得证明平行四边形的对边相等，因此一对平行线之间的距离是常数。

但元素还有另一个弱点也值得注意，尽管它引起的关注较少，这就是位面的本质。平面还有另一个不合标准的定义，显然是模仿直线的定义：“平面是与直线均匀分布的表面”（毫不奇怪，“表面是只具有长度和宽度的表面”） ”）。此后，前四本书中不再提及“平面”一词，尽管它们只涉及平面几何。当欧几里得在第九卷中转向立体几何时，他从三个定理开始，依次证明一条直线不能部分位于一个平面内，部分不位于一个平面内，如果两条直线互相相切，它们就会位于一个平面内，并且每个三角形都位于一个平面内。一架飞机，如果两架飞机相遇，那么它们会排成一条线。然而，只能说他声称这些结果并使它们可信，因为他不能用他对平面的定义来证明其中任何一个。然而，它们确实构成了下一个定理的基础：在平面的任何一点都存在垂直于平面的垂线，并且在给定点垂直于给定直线的所有直线都在平面上。

I.4 再次出现问题。为了减少荒谬的目的，考虑一个有两个三角形，

一个

乙

C

ABC 和

一个

′

乙

C

A'BC 位于其共同底座的同一侧

乙

C

BC，这样

乙

一个

=

乙

一个

′

BA=BA′ 且

C

一个

=

C

一个

′

CA=CA′。它的目的是表明，因此顶点

一个

一个和

一个

′

A′ 重合，为此，正如高斯所观察到的那样（在未发表的评论中，请参阅 Gauss Werke 8, 193），必须利用三角形位于同一平面上的事实。需要对平面有一个良好的定义，以便证明这一结果。

1.1 图解结构问题

多年来，欧几里得对几何学的处理一直被誉为科学的完美演绎呈现，当然，欧几里得为获得最仔细的逻辑真理链付出了巨大的努力。第一本书尤其令人印象深刻（参见 Lambert 1786，Mueller 1981）。然而，他的证明方法赋予图表以核心作用，因此欧几里得的工作在十九世纪末受到了严厉的批评。这是因为，从十八世纪初开始，代数方法逐渐占据主导地位，数学出现了去几何化的过程，演变成所谓的数学“算术化”。图表被降级为数学推理中的辅助工具，并且对公理和证明进行了仔细的逻辑表示。这一运动的成果之一就是希尔伯特的工作，如下所述。

尽管如此，在不同的文化中，几何思维的起源似乎总是与视觉空间推理，特别是与图形和图表联系在一起。这是几何学享有盛名的美丽和吸引力的一个关键原因。当康德坚持数学证明基于直觉中的“概念的构造”时，他几乎抓住了欧几里得工作风格的精神。几何学家使用仔细定义的概念，为此欧几里得总是展示如何构造实例（因此，命题 1 展示了如何在给定线段的情况下构造等边三角形，而命题 31 展示了如何构造与给定线段平行的线段） 。但是，正如康德在《批判》的一段著名段落中所强调的那样，对概念的逻辑分析永远无法提供证明的手段——需要诉诸构造（例如，三角形），提供一个具体的实例，或者在经验直觉中（外部表征）或纯粹的直觉。接下来，在这些假设的基础上，将新的元素融入到构建中，从而使概念相互联系并获得新的结果。因此，人们可以用图解的方式证明，例如，三角形的内角之和为 180°（顺便说一句，这需要诉诸平行公设）。

道具证明。众所周知，1 因存在间隙而遭到反对。给定一个段

一个

乙

AB，用两个圆画一个等边三角形

一个

乙

AB为半径，以AB为中心

一个

A 和另一个集中于

乙

B. 反对意见是欧几里得没有连续性原理，因此存在点

C

C（两个圆的交点）没有保证。但这种反对意见忽视了图解推理在欧几里得中的适当作用。 Manders（2008）对如何从《几何原本》第一本书中的文本和图表中获取信息进行了深入的分析，并仔细分配了角色，这使他能够区分精确信息（仅来自文本）和共精确信息（取自图表）。请注意，图表不仅仅是一个图形，而且是一种推理工具，一种具有操作规则的符号元素，并且根据曼德斯的说法，它是用于提取信息的仔细（隐式）规则。有关此主题的更多详细信息，请参阅图表条目，第 4.2 和 4.3 节。

在这方面，值得一提的是克莱因众所周知的一个著名的错误证明，即所有三角形都是等腰三角形。人们可以证明这种伪证明违反了欧几里得的游戏规则，从图表中提取了准确的信息，这是绝对不允许的。另一方面，人们应该注意到，欧几里得的假设与其说是希尔伯特意义上的公理，不如说是应用于图表的阐述和处理的构造规则。欧几里得的大多数公设都确定可以进行某些构造，例如画一条线或一个圆，在某些条件下两条线相交（最后一条是欧几里得自己对“平行线”公设 5 的表述）。至于这种构造规则在古代几何中的核心作用，有趣的是，希腊人说“图表”是指数学命题。

但是，几何知识开始时接近视觉思维（Giaquinto 2007）和符号的实际操作，即作为具体表示的图表，逐渐演变为更加抽象的大厦。欧几里得、阿基米德和阿波罗尼乌斯已经在努力为精心设计的概念赋予形式，使直觉所暗示的东西变得精确、理想和普遍。同样，处理图表的方式也绝不是幼稚的（例如参见第三册中的第 10 条，以及第一册中的第 7、14 或 27 条）。在适当的时候，达到了一个关键阶段，几何知识的假设被明确化并接受审查，寻找更深层次的基础和替代方案。在这个阶段，尤其以十九世纪为代表，图表必须被降级，以支持更明确、抽象、相关的方法来分析理论假设和发展。

1.2 合成方法与测量

让我们说，纯粹的综合几何是一种以类似上述方式处理直线和平面等原始概念的几何。即以直线的直度和平面的平坦度为根本，诉诸刚才描述的入射特性。它抵制将距离作为基本概念的想法，或者抵制用关于数字（例如坐标）的陈述来替换几何中的陈述的想法，尽管它并不反对在其上建立坐标几何。

就目前的目的而言，我们还可以说，在度量几何中，距离是一种原始概念，因此线段可以说具有相同的长度，全等图形具有长度相等的对应边，并且几何变换保留长度。我们还可以允许相似性：这些是产生图形比例副本的转换。 （欧几里得几何原理中没有任何定理取决于图形的实际大小：适用于一个图形的任何定理都适用于其所有比例副本。）

现代西方的初等几何学以一种混乱的方式将距离作为主要的原始概念，同时经常保持欧几里得对直线的强调，因此经常混淆不同概念的含义。一个显着的例子是约翰·沃利斯（John Wallis）为平行公设辩护的论证（1665 年以演讲形式发表，1693 年在沃利斯发表）。正如他意识到的那样，它依赖于制作任意比例的三角形副本的能力，这似乎是第一次认识到这两个系统之间的等价性：

欧几里得几何原理与平行公设

欧几里得的《几何原本》没有这个假设，但添加了任意相似数字存在的假设。

在《方法百科全书》（1784 年：第 2 卷，132）中，达朗贝尔将几何学定义为研究延伸性质的科学，即物体（以及曲面和线）被视为仅仅是延伸和图形化的。在他看来，其原则是建立在显而易见的真理之上的，以至于不可能对其提出质疑。线（在曲线的意义上）是一维的，连接两点的最短线是直线。平行线是无论延伸多远都永远不会相交的线，因为它们到处都是等距的。达朗贝尔并不热衷于以公理化的方式呈现材料，许多其他十八世纪的作家也是如此。

阿德里安-玛丽·勒让德 (Adrien-Marie Legendre) 是一位数学家，他同情《几何原本》的教学目标，但并不认同其最初的公式。他写了《几何原理》（Éléments de géométrie，1794 年）的几个不同版本，旨在恢复几何教学中的“欧几里得严谨性”，在他看来，这种严谨性已被文本腐蚀，例如克莱洛 (Clairaut) 的一篇文本（1741 年），该文本依赖于几何教学。不证自明的概念。正如他不得不承认的那样，他们在推导出平行假设的失败尝试中存在很大差异。

在所有这些版本中，勒让德都采取了坚定的格律观点，以代数和比例理论为基础。他在第一版的开场定义中宣称“几何学是一门以范围测量为对象的科学”。他解释说，范围具有三个维度：长度、宽度和高度；线是没有宽度的长度，其末端称为点，因此点没有范围。直线是从一点到另一点的最短路径；表面有长度和宽度，但没有高度或深度；平面是一个表面，其中如果两个任意点由一条直线连接，则该线完全位于该表面中。然后勒让德甚至开始证明欧几里得更愿意假设的一些真理，例如（勒让德的第一个结果）：任何两个直角都相等。同余的概念是他的方法的核心，每个版本都遵循熟悉的同余定理，直到平行假设不再被忽视。一旦平行线的存在被确定，勒让德就认为它们是等距的。

事实上，勒让德恢复初等几何处理严谨性的尝试并不比欧几里得的好，甚至在某些方面更糟，不仅因为他证明平行公设的尝试不可避免地失败了，而且因为他在自己的账户中偷偷溜进了比他意识到的更多的东西。 。但它对当前目的的主要意义在于，它举例说明了将初等几何建立在距离概念基础上的尝试，或者更准确地说，是建立在直线是其任意点之间距离最短的曲线这一理念上的尝试。距离本身没有定义。

约瑟夫·傅里叶在与蒙日的讨论中，也以距离的概念为基础，并从三维空间开始。然后，他利用等距依次定义了球体、平面（作为与两个给定点等距的点）和直线（作为与三个给定点等距的点）。这至少给了他对这些先前令人不安的概念的定义（见 Bonola 1912, 54）。

总而言之：当时的合理观点是，度量几何需要将其内部秩序井然有序，而它可能无法通过将距离概念移植到以欧几里得几何原理为模型的结构上来做到这一点。对于传统几何学来说，这是一个尴尬的境地，但它可能让人们看到了替代方案的可能性。当然，将生产两架。一是射影几何，放大并改进了几何的综合方面。另一种是非欧几里得几何，是一种新的、具有挑战性的度量几何。但在我们研究它们之前，我们先转向当代几何学的哲学讨论。

2.应用几何中的认识论问题

1800 年左右的观点是存在一个物理空间，并且这个空间是由欧几里得《几何原本》中的几何图形描述的，这是一种有用的过度简化，而欧几里得《几何原本》是完成此类任务的唯一候选者。争议涉及这种几何学的严格表述及其在物理世界中的应用的局限性。几何所提供的知识的性质也是一些讨论的问题。

传统上，几何学被视为真理、确定性和合理性的典范。这可以找到，例如在十七世纪的许多作家中。笛卡尔准备批评欧几里德方法有一定的僵化性，这使得它很难找到新问题的解决方案，他试图通过结合代数和几何来缓解它；然而，即便如此，他始终强调几何及其论证的清晰度和证据。根据帕斯卡的说法，几何学是证明真理和按系统顺序建立命题体系的方法的完美例证。莱布尼茨、斯宾诺莎和其他人继续将数学作为哲学话语的模型。

洛克（参见有关洛克的条目）从亚里士多德传统中继承了欧几里得几何学和理性神学是科学知识典范的观点，但试图将他的哲学建立在直觉、论证和敏感类型的知识之上。直觉知识是立即掌握的知识；论证性知识利用了证明的中间步骤，就像几何学中的那样。这两种形式的知识都是确定的。敏感知识是不确定的：它是我们通过感官学到的东西，它呈现结果而不是原因，它充其量是片面的，并且可能具有欺骗性。空间可以被认为是由物体的所有（实际的和可能的）位置组成；纯粹空间是除去所有固体的空间，而距离是我们用来讨论物体之间分离的原始概念。

洛克提出了反对先天论对我们空间和图形知识的解释的论据，强调经验的主要作用（参见莫利纽克斯问题的条目）。然而，洛克在他的《关于人类理解的文章》（An Essay Concerning Human Understanding，1690）中断言：

……直角三角形的想法必然意味着它的角与两个直角相等。我们也不能认为这种关系，这两种观念的联系，可能是可变的，或者依赖于任何任意的权力，它的选择使得它如此，或者可以使其相反。 （论文 IV.iii.29，第 559–560 页）

然而，对相应物体的敏感知识永远不可能具有这种程度的确定性，而且因为我们的知识源自我们对物体的知识，所以空间的科学知识似乎与我们的几何知识不同。因此，对于洛克来说，欧几里得几何学提供了一种知识，而经验和科学实验则提供了另一种知识。事实上，人们可能会说，迄今为止，哲学中仍然存在认识论差距，其形式是经验知识和先验知识之间的区别，这一点仍然得到广泛认可。

在康德的《纯粹理性批判》（1781/1787）中（参见康德对空间和时间的看法条目），情况更加复杂或复杂。康德引入了先验知识与后验知识的对比，以及综合知识与分析知识对比的概念，以允许知识的存在不依赖于经验（因此是先验的），但在性质上不是同义反复（并且因此是合成的而不是分析的）。有争议的综合先验陈述包括欧几里得几何的真理；因此，他将确定性和必然性归于欧几里得几何学。康德将几何知识与空间的纯粹直觉联系起来。要知道等腰三角形（即两条相等的边）在底边有两个相等的角，数学家必须产生一种特殊的构造，使该主张的真实性得以证明（参见批判，A 716，B 744）。

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