几何认识论（二）

在法国哲学家中，1740 年代的主导地位是笛卡尔哲学，正如克莱罗的《几何学原理》（1741 年）所证明的那样，这种哲学在坚持清晰和直接的思想方面可能过于天真。达朗贝尔在《方法百科全书》（1784）中的文章中的立场更为复杂。几何学的对象要通过从物体中抽象出除可分和图形范围之外的所有性质来理解。这些物体中有缺乏宽度的线条和缺乏深度的表面。关于几何对象的真理纯粹是抽象的和假设的，因为不存在完美的圆这样的东西。仅当实际物体接近完美圆的状态时，所展示的属性才能适用于实际圆，

从某种意义上说，它们是一种极限，如果可以这样说的话，它们是物理真理的渐近线，这个术语是指那些按照人们的意愿尽可能接近但从未精确到达的物体。 （参见《方法百科全书 II》，132）

然而，如果数学定理在本质上并不完全成立，那么这些定理在实践中的精度就足够高了。为了得到完全严格的证明，它们必须被视为将身体保持在一种抽象的完美状态，而它们实际上并不具备。

几何学中研究的曲线既不是完全直的，也不是完全弯曲的，表面不是完全平坦的，也不是完全弯曲的，但它们越接近，它们就越接近具有那些可以证明直线或弯曲的性质的状态。 ，以及完全平坦或弯曲的表面。

达朗贝尔继续说道，这些反思足以反驳那些抱怨几何对象并不真正存在的怀疑论者，以及其他对数学一无所知的人，他们认为数学是一个无用的游戏。

因此，哲学家们似乎在欧几里得的《几何原本》中没有发现任何问题，但休谟、达朗贝尔和其他经验主义人士则以几何对象在世界上可能没有对应的对象为由限定了定理的适用性。 。对广泛的某些知识持更开放态度的哲学家（例如康德）可以赋予几何定理先验真理的地位，而这些先验真理不可能是其他的。

2.1 力学意义

物理空间是欧几里得《几何原本》和笛卡尔坐标三维几何空间的朴素三维版本，这就是牛顿在他的《数学原理》（1687）中看待它的方式。它被认为是一个中立的竞技场，不受物质或力量的影响，但在各种力量的作用下调节身体的运动。其中最主要的是引力，笛卡尔传统的数学家在引入引力概念时将其视为一个神秘的、甚至是不可接受的概念，但到了 19 世纪初，拉普拉斯已经证明它能够很好地处理引力问题。太阳系所有已知的运动。结果，引力已经成为一个自然的、原始的概念，不再需要进一步解释，到 1800 年，研究磁和电新理论的人们将它们视为力并在适当的情况下对它们进行建模是合理的。 ，关于牛顿引力。

正如牛顿在他的《原理》中所描述的，物理空间是通过从对彼此相对运动的物体的观察并由任意时钟计时到绝对空间和时间中相应的真实运动来研究的。正如牛顿在他的第一篇学术著作的结尾处所说的那样，他的论文的目的是表明

如何根据原因、结果和明显差异确定真正的运动，以及相反，如何根据运动（无论是真实的还是明显的）确定其原因和结果。

牛顿心中显然对物理空间的欧几里得本质毫无疑问，事实上，17 世纪或 18 世纪的天文学家似乎也毫不怀疑空间可以用欧几里得《几何原本》中使用的术语来描述。也有可能的是，对牛顿物理学的优点的日益认识巩固了一种信念，即空间是三维的、均匀的、各向同性的，并且可以被描述为好像是一个无限的坐标网格，从而例证了这些定理——如果不是精确的定理元素的定义。

物理空间的几何方面与物体的机械行为之间的相互作用在牛顿第一定律的陈述中很清楚（参见惯性系的条目）：

每个物体都坚持其静止状态或均匀直线向前运动的状态，除非它被施加的力迫使其改变其状态。

还存在这样的结果：均匀的球形固体对其他物体施加与集中在物体中心的相同质量相同的引力效应。也就是说，此类物体的行为方式可证明与点质量相同，而不仅仅是近似相同。通过这种方式，点和线在他的动力学理论中获得了物理意义。

拉普拉斯提出了最有力的论据，证明物理空间服从欧几里得几何。在他 1796 年的 Exposition du système du monde（参见第五卷，第五章，第 472 页）中，他添加了一个有趣的注释（引自博诺拉 1912：54）说：

迄今为止，几何学家试图证明欧几里得平行公设的尝试一直是徒劳的。然而，没有人可以怀疑这一公设以及欧几里得由此推导出来的定理。因此，空间的概念包括一个不言而喻的特殊属性，没有它，就无法严格建立平行的属性。有界区域（例如圆）的概念不包含任何取决于其绝对大小的内容。但是，如果我们想象它的半径会减小，我们将不会以相同的圆周和所有刻有刻在的数字的侧面的比例减少。在我看来，这种比例比欧几里得更自然，值得注意的是，它在普遍重力理论的结果中重新发现。

尽管拉普拉斯没有提到沃利斯，但可能不知道他对平行假设的讨论，但这与瓦利斯的观点非常相似。

因此，大约在1800年左右，通常情况下，欧几里得几何学的真相主张的问题已经存在于我们对外部世界的了解的问题之一。对欧几里得几何学有效性的哲学和科学圈子的信心本身很高。

3。投影几何形状

在19世纪许多人认为，欧几里得几何形状将其基本地位失去了被认为更笼统的几何形状：投射几何形状。 （有关19世纪几何介绍，请参见Gray 2011。欧几里得几何形状涉及交叉比例的概念的距离，我们需要遵循这些动作，以创建投射几何作为独立主体，以在这种情况下定义交叉比例，并解决认识论问题提高（与克莱因的Erlangen计划相关的成就）。我们还将看到，投射几何形状的生长为希尔伯特（Hilbert）的几何形状的公理化创造了舞台。

这种几何理论的起源在17世纪，带有desargues和pascal，但是飞机投射的几何形状从让·维克多·潘塞莱特（Jean Victor Poncelet）的1822年1822年的《特质despropriétriétpriventivesdes figures》中获得了特殊的增强，他在其中显示了在挑衅性制定方法下的力量非目的几何形状。新几何形状的基本特征在于可以将其视为捕获直线的最简单属性的方式 - 两个不同的点定义了一条独特的线，两条不同的线最多符合一个点 - 而丢弃了的度量概念距离和角度。

Poncelet对飞机转换的主张，即Chasles（1837）以更严格的方式重写了映射线条为线条，突显了交叉比例的不变性。考虑

一个

乙

AB表示两个点之间的距离。四分的交叉比例

一个

一个，

乙

b，

C

C、

D

d在行上定义为

一个

乙

⋅

C

D

/

一个

D

⋅

C

乙

ABÅCD/ADÅCB，如果这些点映射到

一个

′

一个'，

乙

′

b'，

C

′

c'，

D

′

D'分别通过投影转换，然后

一个

乙

⋅

C

D

一个

D

⋅

C

乙

=

一个

′

乙

′

⋅

C

′

D

′

一个

′

D

′

⋅

C

′

乙

′

。

ab·cDad·icb = a'b'·卡'd'a'd'·毫无疑问。

但是，这使该主题似乎比欧几里得的几何形状更笼统地更笼统，因为欧几里得，度量，转换是投射的变换，但并非相反，同时似乎仍然依赖于其基本不变的定义中的度量概念。

这个问题是在1840年代和1850年代由Georg Karl Christian von Staudt解决的。他的两本书（1847，1856–1860）试图为投射几何形状提供基础，使其成为一个自主主题，独立于欧几里得的几何形状。它们很难阅读，并且以多种方式不完美，但是创建严格理论的任务可以首次看到已经开始的任务。冯·斯塔特（von Staudt）认为，平面投射几何形状的转换可以将任何三重线点映射到其他任何点，以及任何其他点（其中没有三个是共线）到其他任何点，但没有任何共线点的四倍。然后，他详细研究了共线四晶。他还简要介绍了如何从投影几何形状获得欧几里得的几何形状，从这些几何形状中可以看出，他的共线四个四边形理论一旦将欧几里得距离的概念添加到投射性，就缩小到熟悉的交叉比例理论。几何学。菲利克斯·克莱因（Felix Klein）在1870年代初的许多论文中都明确而明确。关于投射几何学的第一本可读的教科书，以及它的名字，是Cremona的Elementi di几何遗传学Projettiva，此后，该主题迅速升起，成为基本的古典几何形状。

它的基本概念是空间的点，线和平面

右

3

R3充满了经常被称为Infinity的飞机，因此任何两条共面条线相遇。在19世纪末的理论的公理化之前，点，线和平面是基本概念，具有直观的解释，可以在投影和欧几里得几何形状之间进行现成的通道。几何图的允许转换点指向点，线到线以及飞机向平面并保留交叉比例。它们在空间上进行交叉起作用，因此没有任何点，线或平面是特殊的，因此在空间的任何有限部分中平行的线可以映射到相交的线，反之亦然。

在其合成形式中，投射几何形状的成功在很大程度上仅限于它带给锥体研究的简化 - 所有非分类圆锥（圆，椭圆，抛物线，抛物线和高波拉）的成功限于预测的等值。在其代数形式中，投射几何形状在任何程度的平面代数曲线的研究中几乎至关重要，并且扩展到更高维的投影空间，以研究代数表面的研究。所有这些都导致了基于直线概念和线和平面的发病率的概念，归因于非目的几何形状的核心重要性。

投影性的几何形状还具有一个惊人的特征，称为二元性，它激发了对其可能来源的认识论反思。在飞机投影几何形状中，可以交换术语“点”和“线”，“偶然”和“并发”，这样就可以从有效的陈述中获得新的术语。结果，投影几何形状中的所有定义，定理和证明都具有双重特征。例如，Desargues定理及其证明的偶尔是定理及其证明的相反。在三个维度中，可以以相同的方式交换术语“点”和“平面”，而“线路”不变。这引发了有趣的认识论问题：双重性被克雷莫纳视为逻辑定律；同样，很容易将平面视为由要点组成的，但不可能直观地将其视为由线条组成的。更糟糕的是，当被认为是由点组成时，空间是三维的，但是在由线条组成时，空间是四维的。

3.1坐标转换；克莱恩的几何形状

克莱因（Klein）的Erlangen程序以及被称为克莱恩（Kleinian）的几何观点，在19世纪的几何形状中描述了。它已经成为观点的主要来源，即可以将几何形状定义为作用于空间的群体，而几何属性是在适当组的所有转换下的任何属性不变的属性。

克莱因（Klein）于1872年成为埃尔兰根大学（University of Erlangen）的教授和1870年代期刊上的其他出版物，以重新统一的几何形状，并在1872年成为埃尔兰根大学（Erlangen）的教授时提倡这种观点。他提出了一种表明度量的几何形状，例如欧几里得和非欧国人的几何形状，以及其他几何形状，例如反式几何学和异性几何形状，可以视为特殊的几何学案例（他没有仿射几何形状，这也不是仿射的几何形状，这也不是仿生的几何形状，这也是如此知道1872年）。

基本的几何形状是真正的投射几何形状，例如二维。在这个几何形状中，空间是真实的投影空间，该组是所有投射转换的组。这样的转换映射指向点，线到线，程度的曲线

n

n到程度的曲线

n

n，重要的是，四个共线点的交叉比例并没有因任何投射转换而改变。在克莱尼人的角度，这确立了指向，线，程度的曲线

n

N，四个共线点的交叉比例是几何学的特性。

射影的几何形状以多种方式结合了其他几何形状。克莱因（Klein）表示，人们可能会寻求添加到配置列表中，在这种情况下，使它们不变的组通常小于主要组，或者可以寻求扩大组，在这种情况下，不变配置等级将通常收缩。克莱因（Klein）成功地表明，非欧几里得几何形状是通过将注意力集中在投射空间中的圆锥体内部以及将该圆锥体内部映射到本身的亚组中的（见Klein 1871，1873）。

当人们看着它如何解析有关射影几何形状中交叉比例的定义的众所周知的怀疑时，克莱因的erlangen程序的认识论特征变得更加清晰。克莱因的回答以类比为欧几里得或非欧几里得几何形状的长度。在这些几何形状中，相应的组保留了直线，并且可以将任何点映射到其他任何点，但是组中没有可以将线段映射到自身的适当子段上的转换。因此，任何任意但固定的线段（由两个点确定）都可以作为长度单位，并用于测量线段，通过构造任意倍数和次数，并将其作为一个统治者作为一个统治者。现在测量段的长度

一个

乙

AB，一个人简单地说明了

一个

a在统治者的一端，看到了点

乙

B落在统治者身上。

克莱因（Klein）的洞察力是冯·斯塔德（Von Staudt）之后，是一个完全相似的参数，涉及近线点的四元组的论点可用于定义投影几何形状中的交叉比例。投影组保留直线，任何有序的三重分线点都可以映射到任何有序的三重分线点，并且将给定有序三重的分三倍的绘制的地图发送给另一个不同点的三重有序三重的三重分三，但是有一个唯一的在组中没有可以将四个共线点的四倍映射到任意的四倍体上的转换。因此统治者会。与其提供细节，不如说明为什么会这样做。让四个共线点的交叉比例

磷

普，

问

问，

右

,

S

通过将点映射到点来测量

一个

一个，

乙

b，

C

C、

D

d在真实的线上，哪里

一个

一个是起源，

C

猫

无穷大

∞，和

D

d在1，所以这是

乙

b决定交叉比例。这是唯一确定的，以及

一个

乙

AB是

x

X，我们发现

一个

乙

。

C

D

/

一个

D

。

C

乙

=

x

ab.cd/ad.cb = x。

在当时的语言中，长度是欧几里得或非欧几里得组的两点不变，交叉比例是投射组的四点不变。

3.2希尔伯特和其他公理投影几何形状

在投射几何形状方面存在一些技术问题的问题，以及19世纪末的严格标准提高，引起了对主题进行公理化的尝试。这项任务是由莫里茨·帕施（Moritz Pasch）承担的，在19世纪下半叶，意大利几何学皮埃利（Pieri），皮诺（Pieri）和其他人都在充满活力中，他们成功地对两个和三个维度进行了严格地描述了真实和复杂的几何形状（参见Marchisotto和Smith 2007）。但是他们同时进行了管理，以减少对几何教师的严格培训的主题，并且不欣赏他们开放的研究途径。它留给了大卫·希尔伯特（David Hilbert）振兴公理的几何方法（参见Hallett and Majer 2004）。

希尔伯特（Hilbert）引入了许多有关基本投影几何形状的争议，这些几何形状涉及什么导致什么暗示其他结果。最引人注目的Desargues定理（请参阅Arana和Mancosu 2012）。在三维投影几何形状中，desargues的定理是仅发生公理的结果，但它是关于射影平面中的点和线的定理（因此在二维几何形状中），但没有人能够得出它从二维投影几何形状的发生率公理。人们怀疑它可能不会仅凭这些公理就可以推论，而朱塞佩·皮诺（Giuseppe Peano）能够证明，如果没有一些额外的假设，确实无法推断出来。希尔伯特（Hilbert）独立地举例说明了几何形状符合二维投影性几何的所有发生率的公理，但desargues的定理是错误的。它被美国数学家和天文学家F.R.发现的更简单的例子所取代。莫尔顿（Moulton）在希尔伯特（Hilbert）的Grundlagen der Geometrie（1899年）的所有后期版本中。

在希尔伯特提出的公理几何形状中，没有定义基本对象（点，线，平面）。相反，希尔伯特（Hilbert）指定了将它们联系起来的关系网络，这决定了它们的使用方式以及可以说什么。他提出了五个公理家族，根据他们编码的概念进行了分类。然后，他创建了各种遵守各种公理系统的几何形状，并通过使它们在合适的戒指和田地上进行坐标来确立它们的一致性 - 通常他的几何形状承认了许多解释或模型。希尔伯特在这里利用了他在数字和戒指的小说理论中的专业知识。这使这些几何形状具有算术的所有一致性，并增加了希尔伯特（Hilbert）对以某种形式的设定理论和逻辑进行算术的兴趣。

希尔伯特（Hilbert）的方法蓬勃发展，因为他已经意识到公理的数学是对不同但相互关联的公理方案及其含义的研究，以及公理及其可能的解释（模型）。他采用了这种新方法来解决有关独立性和一致性的问题，希望也能找到对简单性，数学问题的溶解和可决定性的新见解。 Poincaré在他对希尔伯特（Hilbert）著作的评论（1902年）中接受了新的几何形状有效，但遗憾的是，正如他所说，他们是不完整的，因为他们缺乏心理成分。他的意思是说，他们无法根据经验来解释我们如何发展对物理空间的几何形状的知识（请参见下面的第6.2节）。

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