几何认识论（三）

4。非欧几里得几何

对平行假设的调查始于希腊时代，在伊斯兰世界继续进行，并在现代西方进行。但是，由于尚不清楚的原因，在1800年左右之后，人们更容易想象欧几里得的元素可能不是唯一可能的度量几何体系。在可以帮助解释不可想象的数学家社区的因素之一是基于平行假设以外的假设的定理积累。看来，这种激进假设的新颖，一致的后果的产生以及未能找到矛盾的后果，倾向于一些人考虑到确实存在与欧几里得不同的整体几何形状。也可能相关的是，这一过程与虚构数字的完全同化（以及复杂功能理论的兴起）一致。确实，Lobachevskii称他的理论为“虚构的几何”。

18世纪后期，人们已经注意到了态度的改变。 1759年，D'Alembert称平行线的问题为“ Le ScandaledesélémentsDeGéométrie”。 1763年，G。S。Klügel的论文研究了大量尝试证明平行假设的尝试，得出的结论是，它们都是错误的：可以根据公理的证明，这些结果不是比Euclid's更清晰或更安全的，”因此，欧几里得确实是在公理“无法以正确形式证明的命题中”中包括的合适的。 Klügel的讨论特别关注Saccheri的作品（1733年）是现代最详细的待遇，并激发了Lambert在该主题上做自己的详细工作（1786年）。后来，在1816年，高斯（Gauss）在印刷中重申，证明假设的尝试不断增加的尝试并不能填补空白，并且应该诚实，公开承认：“本质上，我们没有比2000年前的Euclid更远。 ”

也许这一转变的信号例子是法学教授F. K. Schweikart，他于1818年通过Gerling派出了高斯，他是同事，他在马尔堡大学的前学生，他的几何形状与欧几里得的几何形状截然不同。 Schweikart的几何形状被高斯接受了，后者回答说，一旦给出了Schweikart帐户中出现的常数的值，就可以得出新几何的所有属性。但是，在高斯接受的基础上，不太清楚。随着岁月的流逝，他完全相信有一个与欧几里得飞机几何形状不同的新的，二维的几何形状。这种几何形状可以用公式来描述，即兰伯特之后，他本来可以看到类似于球形几何形状的几何形状。但是他没有描述这种三维几何形状，这使二维几何形状是某种形式，毫无意义的奇怪之处的可能性。另一方面，他与贝塞尔（Bessel）的通讯表示，他不能将欧几里得的几何形状归因于他对算术的确定性，这是先验的。他和贝塞尔都保持了天文区域可能无法成为欧几里得的可能性。

除了欧几里得以外的其他术语中，要对空间的第一个完全数学描述，必须归功于匈牙利的JánosBolyai和俄罗斯的Nicolai Ivanovich Lobachevskii。 Bolyai在他的“附录Scientiam spatii绝对Veram展示”（1832年）和Lobachevskii中，在他的NeueAnfangsgründeDerGeometrie（1835）中，再次在他的几何untersuchungen（1840）中与平行的假设更换了，并不是一位点的假设。在该线上，有许多线路贯穿于L和给定点所定义的平面中，但不符合这些线路的L。 ，这些渐近线将给定平面和给定点的所有其他线的家庭分为两个家庭：与之相遇的家庭，而那些不符合的家庭。随后进行了许多工作，在每种情况下都非常相似，特别是为了表明，在其假设所描述的三维空间中，欧几里得几何形状所处的表面存在，并推断出描述平面中三角形的三角公式的存在。这些公式类似于球体上三角形的相应公式。

所有这些都相信Bolyai和Lobachevskii都认为新的几何形状可能是对物理空间的描述，因此，决定欧几里得几何形状还是非欧盟几何形状是正确的。 Lobachevskii甚至试图通过天文观察来确定此问题，但是有很大的方法论上的困难，他的结果完全没有定论。

当然，事实确实如此，新几何形状中没有一致的扣除可以排除确实存在矛盾的可能性，但是新几何形状与球形几何形状的有趣关系以及三角形的三角形公式的存在很大程度上建议。新的几何形状至少是一致的。那些确实接受过它的人，他们在1860年代之前很少，尽管如此，很可能比Bolyai和Lobachevskii所提供的更好的帐户更受欢迎。即便如此，即使在Riemann和Beltrami的重新审计之后，许多几何图形都会发现新几何学有效性的“证明”公式（例如，在他的主要文章（1907）中介绍了几何学原理）。

不仅有公式，而且还暗示了几何形状的替代表述，其中欧几里得元素中描述的几何形状可能只是一种特殊情况。如果可能还有另一种定义几何形状的方法，那么在各种情况下会导致这些公式，将开放的方式可以重新考虑批判性检查已经打开的所有几何问题。在1830年代和1840年代，最适合这样做的人是高斯：他非常了解Bolyai和Lobachevskii所做的事情，他的差异几何形状给了他继续进行的手段，但是，奇怪的是，他没有这样做。在1840年代初期，他写了一些笔记，表明他可以将新的二维几何形状与恒定负曲率表面的几何形状联系起来，但他对这种观察没有任何作用。

另一方面，仅仅存在公式就不足以使其具有几何特征。 Lobachevskii在最早的出版物中认可了这一需要给他们带来几何基础的基础，但是在俄罗斯人中，他们没有在俄罗斯以外阅读（俄罗斯数学家也不对此表示赞赏）。他在1840年的小册子中放弃了对这种考虑的考虑，他的声誉大部分依赖于今天，但将他们带回了他的最后一个演讲中，pangéométrie（1856），但是，这并不比早期版本更好。

Lobachevskii首先认为几何学是太空中的身体科学，该空间是三维的。最原始的概念是接触的概念，相反的是分隔两个物体的切割概念。分开两个未接触的物体，并且与两者接触的合适的第三尸体都测量了它们之间的距离 - 这是否则未定义的概念。但是，他可以在给定的点上定义一个与给定点的球体定义一个与中心的球体。然后，他展示了如何定义一个捕获直觉的平面，即平面是空间中的集合，与两个给定点相同的距离。用他的话来说，给定两个点，一个平面是两个相等半径的球体共有的点集，一个平面以相等的半径为中心，另一个集中在另一个上。可以使用同一平面上的圆圈类似地定义线。

直觉是距离是原始概念会更加了解运动，或者至少能够在不改变它们的情况下移动对象的结果。可以想象将刚性的身体运送到周围，说一个具有单位长度的立方体，然后使用其一侧之一标记长度。稍后，我们将看到，在这一过程中固有的可能性引起了伯特兰·罗素（Bertrand Russell）和亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在19世纪末之间的鸡肉和蛋es辩论。

新的几何形状对欧几里得的几何形状提出了根本性的挑战，因为它否认了传统的几何形状对确定性的最佳主张，即机智，它是根本讨论几何形状的唯一逻辑系统。它还利用了直截了当和最短的概念之间的专家已知的张力。但是在其他方面，这是常规的。它没有提供熟悉的概念（例如直率或距离）的新定义，它与欧几里得的几何形状一致，它只是基于直线遥远行为的差异提供了平行线的不同行为。它的支持者没有提供怀疑的结论。 Bolyai和Lobachevskii没有说：“看，有两个逻辑但不兼容的几何形状，因此我们永远不知道什么是真实的。”取而代之的是，他们希望实验和观察会决定。如果天文学的观察结果下降，从某种意义上说，人们将不得不支付的认识论价格，从某种意义上说：有必要说，直线毕竟具有出乎意料的财产，但只有一个人只有一个。可以在很长的距离内检测到。可以肯定的是，许多几何定理必须重新设计，并且它们熟悉的欧几里得对应物看起来只能是非常好的近似值。但这与牛顿力学在特殊相对论的出现之后发现自己的情况大致相当。

5。Riemannian几何形状

伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）对高斯差异几何形状的巨大扩展的到来是更加重大的变化。确切地说，他找到了一种定义几何形状的方法，从非常通用的概念开始，并逐渐引导（通过越来越狭窄的假设）到已知的度量几何形状。冒着听起来不合时宜的风险，可以说，里曼的“概念”作品是一种原始结构主义的形式。他的工作是：首先，他介绍了n维歧管的一般结构，以定义歧管中的度量标准（具有差异几何，线元素和高斯曲率的均值）。有了所有这些，欧几里得和非欧几里得几何形状作为三维流形的特定情况，是一般结构的混凝土形式。在黎曼流形的一般框架内，单调这些几何形状的“假设”是物理假设，即刚性身体可以自由移动而不会变形。

高斯的工作（1828）已经提出了一些认识论问题，因此我们首先转向它。在此之前，Euler在（平滑）表面的每个点P上都显示了两个所谓的主曲线，这是穿过P的最大和最小曲率。这些曲率，这些曲率，

κ

1

κ1和

κ

2

κ2发生在垂直于彼此的平面截面中，并让我们能够研究P. Now的整个邻里的形状，Gauss的深层想法（他在从事测量时的工作时都发现了这一点，即测量和制作），这就是某些特性可以研究弯曲表面，而无需考虑环境空间。这些关键特性之一是产品

κ

1

κ

2

κ1κ2，称为表面的高斯曲率（在一个点）。因此，使用差分分析的方法，他阐述了所谓的表面固有几何形状。

高斯与表面本身内的坐标系一起工作，并考虑了完全包含在S的表面S上的点之间的距离。现在，某些表面

S

1

S1,

S

2

可以通过弯曲（而不伸展）彼此获得S2；更正式地表达，有一个等距图

S

1

S1至

S

2

S2，这意味着点上的要点

S

1

S1在

S

2

S2使表面内的距离

S

1

S1与相应点的距离相同

S

2

S2。 （例如，飞机可以弯曲到圆柱体的形式上；您可以使用一张纸来说服自己。）高斯（Gauss 。他对这个结果感到非常高兴，以至于他称其为“杰出的定理”：如果两个表面

S

1

S1,

S

2

S2是等距的，然后相应的点具有相同的高斯曲率。

表面在一个点上表面的高斯曲率的事实是内在意味着它完全取决于表面的测量值，并且不涉及第三维的任何问题或嵌入表面的环境空间。高斯曲率的特性不取决于表面在空间中的位置，而仅取决于其指标的内在特性。也就是说，即使弯曲表面的重要特性仍然不变，即使一个人弯曲表面（无需断裂，拉伸或折叠）。仍然不变的一件事是地表上的大地测量学，即最短距离的线（完全位于表面上）。在圆柱体的情况下，大地测量是垂直线，水平线（圆圈）和周围的螺旋 - 这些线都来自“滚动”的平面上的直线以形成圆柱体。

给定度量标准，相邻点之间的距离ds的差分公式（无处不在），可以找到曲率。例如，如果距离的公式是对于平面上的球体图，则将发现曲率是球体半径正方形的倒数

1

/

右

2

1/R2。平面具有与圆柱体相同的高斯曲率，或者也与圆锥形接近的东西（可以从圆柱体形成，而不会破裂，拉伸或折叠）；它们是局部等距的；尽管弯曲，但圆柱体的曲率在高斯的技术意义上也为零，就像飞机一样，这就是为什么从旋转鼓中打印的原因。当可以将一个表面映射到另一个表面时，高斯研究了距离没有改变，这表明发生这种情况的必要条件是相应点处的曲率相同。这也意味着可以在所有这些表面上构建相同的数字。一个表面上两个表面之间的最小线或最短长度的最小曲线与另一个表面的曲线相对应，因此角度，区域等将相同。高斯找到了一种更深层次的方法来研究表面的几何形状，这产生了现代的微分几何形状。

并非立即理解高斯的方法使数学家能够将表面定义为具有特定度量的平面区域，而这些标准是不可从欧几里得3维空间中的表面获得的。如果一个人将表面定义为一块地图的图像

右

2

R2 至

右

3

R3，然后当然在

右

3

R3。但是，如果一个人将表面定义为

右

2

R2具有特定度量，然后可能没有表面

右

3

与之对应的R3。第一个欣赏这一点的人似乎是Riemann，他也将这个想法扩展到了许多维度。

5.1 Riemann的概括

里曼的想法既深刻又幼稚，因此，他们被证明很难确切地说，但我们最初可以满足于天真的态度。他以为他有一个空间（他称其为“多种多样”），在任何时候，至少在任意初始点附近的所有点上都可以强加坐标系统，如果

n

需要n个数字来指定他说空间的位置

n

n维。

我们可以将这个过程视为提供至少靠近初始点的那部分空间的地图

右

n

RN。黎曼非常清楚局部和全局决定之间的差异，这成为他新思想的关键之一：相同的局部条件与许多不同的全局配置兼容。

然后他认为有一种方法可以通过推广以下公式来表达无限小的距离：

d

s

ds 从 2 到

n

n 个变量。 （他甚至允许使用完全不同的公式，但我们不会描述他的理论的那部分，这部分已经闲置了很多年）。接下来，他将曲率的内在性质推广到更高的维度；本质上，

n

n 维物体有很多二维表面，高斯理论适用于这些表面，因此曲率的概念

n

某点处的 n 维对象可以通过考虑穿过该点的 2 维表面来导出。

空间的一些属性与坐标系无关。如果两个不同的坐标系给出不同的坐标，但以这样的方式保留点之间的距离，那么任一系统都给出相同的几何形状，并且我们发现两者在每个点的曲率、距离上一致，然而黎曼提出的微分几何框架却非常灵活和通用。他发现它不仅允许欧几里得几何的替代，而且甚至允许广义曲率确实随点变化的几何。最初，这个问题几乎没有被讨论，大多数作者都关注恒定曲率的几何形状。正如黎曼所解释的，他的框架允许负曲率几何（这是 Lobachevskii-Bolyai 情况）、正曲率几何（一种新的几何，通常称为椭圆几何，或狭义上的“黎曼几何”）以及零曲率（欧几里得）。

因为公式为

d

s

ds 的记录仅受到一些限制，没有理由相信黎曼几何是相对于先前的欧几里得几何定义的。没有人声称

n

n 维黎曼几何是通过从

n

某些欧几里得的 n 维子集

米

m维空间。这意味着可以在不参考任何欧几里得几何的情况下完成几何。欧几里得几何学在认识论上不再先于任何其他几何学的研究。理论上，欧几里得的统治已经结束。

给定流形上的距离概念，就可以讨论测地线——测地线是两点之间长度最短的曲线。存在性和唯一性问题可以被提出，并且经常得到回答。受爱因斯坦广义相对论的启发，Tullio Levi-Civita 于 1917 年和 Hermann Weyl 于 1918 年独立取得了重大进展，他们展示了如何定义弯曲流形上的并行性（关于 Levi-Civita 的贡献，请参见 Bottazzini 1999 和Weyl 的贡献参见 Scholz 2001）。粗略地说，在 Weyl 的介绍（1918）中，如果不同点的两个向量属于沿一条曲线的向量族，且该向量族不沿曲线变化，则它们是平行的。这被称为在不同点之间建立联系的一种方式，该理论被称为流形上的联系理论。人们可以问曲线的切向量族是否由与起点处的切向量平行的向量组成：如果是这样，则该曲线自然而然地被视为其端点之间的最直曲线，因为切向量永远不会沿着曲线加速。在现代微分几何中，测地线是通过连接定义的。

5.2 黎曼和贝尔特拉米以及严格的非欧几何

黎曼的“Über die Hypothesen …”（1854 年作为讲座发表，1868 年去世后出版）和贝尔特拉米的“Saggio diterpretazione”（1868 年）对二维非欧几里得几何给出了不同但等效的解释。贝尔特拉米运用微分几何来证明 Lobachevskii-Bolyai 的双曲几何。通过研究伪球面以及如何将其映射到平面上（以使其测地线变为直线的方式），贝尔特拉米意识到单位圆盘可以被视为“无限平面”。不可能找到一个表面

右

3

R3 的行为类似于双曲平面（最接近，但部分是伪球面）；现在可以将非欧几里得几何实现为具有新颖度量的圆盘内部几何。圆盘是整个“平面”，其圆周是无穷远的一条线，圆盘中的线段是“线”，可以定义一个距离函数

d

（

磷

,

问

）

d(P，Q) 有意义并验证了 Lobachevskii 的结果。从逻辑的角度来看，这是向前迈出的一大步，因为非欧几里得几何的一致性现已得到证明。

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