几何认识论（四）

黎曼的帐户，在

n

n 维度，与庞加莱在 1880 年和 1881 年的许多简短出版物中使用的维度一致，但仅在他的主要论文中明确描述（Poincaré 1882）。在这个所谓的共形模型中，平面又是一个圆盘，测地线是垂直于圆盘边界的圆弧，并且角度是真实的（欧几里得）。黎曼圆盘和贝尔特拉米圆盘迅速让数学家相信，博雅伊和罗巴切夫斯基的非欧几何毕竟具有严格的数学意义。十年后，庞加莱的贡献是使非欧几里得几何成为数学其他领域某些主题的自然几何，主要是黎曼曲面的发展和重要主题。

对数学任何部分进行严格说明的重要性都不应被忽视，但对非欧几里得几何和黎曼几何的接受超出了一致形式主义的呈现。它标志着对抽象观点的接受，即几何是黎曼形式主义中可以描述的任何事物：它有一个非常通用的框架，允许令人眼花缭乱的具体规范。因此，打开了这样一种观点：存在许多几何形状，每个几何形状都必须是一致的，并且没有一个需要引用欧几里得空间，无论这可能多么直观。 （与克莱因的工作在射影几何的背景下发生了类似结果的并行发展。）所讨论的“空间”的维数以及精确的度量可以随意修改（在适当的时候，该空间的拓扑特征） “空间”将被类似地对待）。存在这样那样的二维几何，因为可以找到合适的度量；因为可以说有一张它的地图，而不是因为在其中发现了一个表面

右

3

R3 具有正确的特性。事实上，后来证明（Hilbert 1901），在

右

3

R3精确对应于非欧几里得二维空间。

黎曼很清楚，这种几何学方法的认识论意义是巨大的。他的演讲是数学、哲学和物理学的完美结合（Ferreirós 2006）。数学家不再需要从他们对物理空间的信念中抽象出一些基本直觉，例如直线或圆的本质和属性，并寻求在这些直觉的某些公理表达的基础上建立真正的几何学。相反，思想的方向应该朝相反的方向发展：数学家可以自由地考虑无限多种几何形状。黎曼推测“无限小”几何假设的有效性可能与物理力有关。科学家现在可以自由地研究哪种几何最适合对经验事实进行数学解释。他设想放弃牛顿的现象概念，“通过在这个概念中做出它无法解释的事实所需的连续变化”。他的纯粹概念（数学）研究将有助于“防止这项工作受到过于狭隘的观点的阻碍，并防止事物相互依赖的知识进步受到传统偏见的阻碍”。在这方面，很快就表明在非欧几里得几何的背景下研究理论力学是可能的。

6. 新几何的可理解性

射影几何的认识论意义在于它对经典几何的本质和严谨性的影响。非欧几里得几何的认识论意义更多地取决于它可能以欧几里得几何可能为真的方式为真的可能性。因此，我们转向 19 世纪对几何可理解性的检验。

但首先要警告一下。非欧几里得几何被证明是一致的（相对于欧几里得几何或实分析）这一逻辑事实本身并不能证明康德观点的无效性。康德的观点与欧几里得几何学的逻辑替代方案的存在是兼容的。毕竟，他认为空间是一种直觉，而不仅仅是概念上的可能性；他不是莱布尼茨主义者，并且否认几何是解析的。如果说有什么不同的话，康德主义者会认为替代几何只是一种智力上的可能性，我们无法直观地想象它们。弗雷格在他与希尔伯特的著名通信中对这一观点进行了复杂的阐述（参见弗雷格-希尔伯特争议的条目）。但确实，大多数相关作者选择了不同的思路并放弃了康德的立场。

6.1 赫尔巴特的哲学和黎曼

约翰·弗里德里希·赫尔巴特 (Johann Friedrich Herbart) 于 1808 年在柯尼斯堡成为康德的继任者，他一直留在那里直到 1833 年前往哥廷根，但他并不是正统的康德主义者。他的主要著作是两卷本《Psychology als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik of 1824–1825》，试图将心理学建立在经验和形而上学的基础上。他利用一些相当奇特的数学，努力展示记忆是如何运作的，以及某些类型的重复刺激如何使大脑学会感知，例如直线、平行线、相交线和曲面。赫尔巴特认为，没有天生的想法；只有与生俱来的想法。视觉空间是根据经验构建的，最重要的是通过推断空间过程连续性的概念行为。概念是由记忆簇生成的，然后逻辑就可以独立于其起源而运作。这是赫尔巴特避免将逻辑扎根于心理学的方法。

赫尔巴特的思想影响了黎曼（参见 Scholz 1982）。黎曼认为自然科学是通过使用精确概念来理解自然的尝试，这些概念将根据新的经验进行修改。他预计最成功的概念是相当抽象的，并同意赫尔巴特的观点，即它们不是康德风格的先验。正是它们源于观察或实验，赋予了这些概念对科学的意义，但黎曼允许不断的证实和修正过程。在他为自己写的笔记中（见Riemann Werke 1990：539），黎曼说他在心理学和认识论方面同意赫尔巴特的观点，但不同意本体论或他关于空间、时间和运动概念构建的观点。这种分歧掩盖了更深层次的同情。赫尔巴特主张建立一个由因果联系但离散的“单子”组成的三维现实世界（用莱布尼茨的话来说，有窗口），心灵通过它所提供的连续体的概念来对待它，从而将其离散的经验转化为光谱黎曼认为没有理由将注意力限制在三个维度上，并将连续的可能性谱转移到他正在创建的非常普遍的几何概念中。

这削弱了赫尔巴特所强调的经验的作用。黎曼正在意识到赫尔巴特所说的自然发生的事情：如果智力反思产生了我们用来构建世界的概念，作为对我们经验的反应，那么黎曼说，让数学产生更精确和灵活的概念来进行科学。在演讲结束时，他探讨了新几何学应用的可能性，特别是在原子水平上，他认为他的任务是扩大理论选择的范围，消除偏见。

6.2 亥姆霍兹和庞加莱

黎曼的思想反过来影响了赫尔曼·冯·亥姆霍兹，他发表了几篇有影响力的文章，讨论我们的几何知识如何成为可能。在他的《论几何学的事实基础》（1866）中，他致力于展示如何构建有限数量的黎曼几何，其中存在刚体运动的概念。他认为，正是我们对刚体的体验告诉我们空间是什么样子，特别是距离是什么。他进一步声称，允许刚体运动的二维空间要么是欧几里得平面，要么是球体。贝尔特拉米写信给他指出他忽视了非欧几里得几何的可能性，亥姆霍兹不仅同意这一点，而且还写了一篇进一步的文章（1868），其中他解释了我们如何可能了解这种几何学在直觉层面上（从而给康德的追随者提供了谎言）。许多康德主义者拒绝相信，但这些思想（以及黎曼的）很可能影响的一个人是亨利·庞加莱（参见 Gray 2012）。

庞加莱一开始撰写有关几何学的流行哲学论文，他就明确表示，他主要关心的是我们如何能够依赖任何几何学。数学进步是他反思的基础，但关键问题是几何学所依据的假设的认识论地位。在这一点上，他无法同意康德、亥姆霍兹或黎曼的观点。他很清楚黎曼几何的大范围，以及亥姆霍兹推测的结论，当时在索弗斯·李的工作中得到了严格的证明，即非常有限的几何形状承认刚体运动。他在《几何基础》（1898）中关注的是认识论。

庞加莱认为，大脑很快意识到它可以补偿它看到的某些类型的运动。如果有一个玻璃杯朝您而来，您可以向后走，以使玻璃杯看起来没有变化。如果它倾斜或旋转，您也可以执行相同的操作。我们逐渐掌握了这些补偿运动的存储，并且我们意识到我们可以跟随一个与另一个，结果将是第三个补偿运动。在此基础上，我们将位移（我们的身体位移和物体的位移）与其他类型的变化区分开来，即我们无法产生补偿运动的改变，例如酒在玻璃杯中旋转时的运动，或其颜色的变化。最重要的是，位移形成了一个称为群的数学结构。这样，头脑就形成了刚体运动的概念，并在这组运动的基础上阐述了对空间的清晰的概念性理解。

庞加莱随后考虑了补偿运动群可能是什么群，并发现，正如李在黎曼-亥姆霍兹空间问题的研究中所证明的那样，此类群的集合是严格有限的。其中最主要的是来自欧几里得几何和非欧几里得几何的群，作为抽象群，它们是不同的。但哪一个是正确的呢？

庞加莱颇具争议的观点是，人们永远不可能知道，或者更好的是，没有一个是简单的“真实”。人类通过进化和婴儿时期的经验，选择了欧几里得群，所以我们说空间是欧几里得群。我们的身体是相当僵硬的，我们的动作也是僵硬的动作，这是决定性的。另一个物种利用不同的经验，可以选择非欧几里德群，因此说空间是非欧几里德的。如果我们遇到这样的物种，就没有实验可以解决这个问题。

当然，正如罗巴切夫斯基、黎曼等人所建议的那样，可以使用大三角形并测量角度进行实验。为了最大化尺寸，假设三角形的边由光线构成。现在，假设在实验误差范围内，实验结果是三角形的角和小于

π

π，与非欧几何一致但与欧几里德几何不一致的结果。庞加莱说，我们可以得出的唯一结论是，要么光线沿着直线传播，空间是非欧几里德的，要么空间是欧几里德的，光线沿着曲线传播。

我们可以这样总结他的论点。我们对外部世界的几何知识建立在我们基本的身体经验的基础上，这导致我们处理一组刚体运动的心理能力。这些组的存储量非常有限，但没有实验可以在它们之间做出决定。我们能做的就是做出选择，而且我们会选择最简单的。碰巧，这就是欧几里得群，因为，庞加莱说，我们发现它与非欧几里得群不共享的属性之一（对应于平行假设）特别简单。但人类事实上已经做出了选择，而这种选择现在是人类头脑中与生俱来的。由于获取知识的方式以及存在不止一个适当群的事实，人们永远无法知道空间是欧几里德空间还是非欧几里德空间，只能知道我们将其构造为欧几里德空间。

这种对康德主义“Ding an sich”（事物本身）的不可知性以及我们对表象世界的限制的学说的扭曲，与作为一名物理学家的庞加莱很相投。尽管他在很大程度上同意黎曼的观点，但黎曼希望经验问题能够指导几何学的选择，而庞加莱则不能同意。刚才解释的观点就是庞加莱的几何约定主义哲学。但有一个重要的区别需要做出。请注意，这不像词语的约定俗成，而是像社会或法律约定（其中必须考虑一些基本事实，请参阅 De Paz 2018）。这种情况远非完全任意，因为身体经验起着决定性作用并限制着选择；但也没有绝对的决定，最终还是要做出选择，简单才是硬道理。

他在其他科学领域也提倡传统主义，认为我们所说的自然定律（牛顿定律，例如惯性原理）既不是可以修改的经验问题，也不是绝对真理，而是已被提升到公认的结果。公理在当前科学理论中的作用。它们可以受到挑战，但前提是整个科学理论受到挑战，而不是在做出一些尴尬的观察时无所事事。庞加莱说，面对一颗似乎不遵守牛顿定律的卫星，我们应该考虑一些尚未被注意到的力量在起作用，而不是试图重写牛顿。但是可以根据重写自然法则的不同假设提出一种新理论，因为这些法则不是永恒的真理——我们永远无法知道这些事情。如果要提出一项新法律，当人们在新法和旧法之间进行选择时，将考虑简单性，而不仅仅是经验契合度。

这里的关键区别是科学约定主义在高水平上运作。这些选择是有意识和理智地做出的，辩论只对受过相当多专业教育的人开放。另一方面，欧几里得几何学的选择在它能够进行任何形式的正式指导之前就在头脑中运作。如果没有某种几何框架，不幸的主体将无法了解外部世界。

6.3 庞加莱与罗素

庞加莱的观点使他在 1890 年代与伯特兰·罗素发生了冲突，当时他正从短暂的黑格尔阶段进入康德阶段。罗素试图通过论证存在一种基本几何学（即射影几何）来建立康德先验，而我们已经综合了它的先验知识（参见 Griffin 1991 关于 Russell 和 Nabonnand 2000 关于争议）。

毫无疑问，庞加莱凭借他对数学的更深入的掌握，赢得了大部分辩论，正如罗素以其特有的愿意承认错误的态度所愿意承认的那样。但他们之间的方法上的重大差异从未得到解决。庞加莱的分析从刚体及其运动开始，由此创建了距离的概念。相反，罗素认为，无论我们发现距离的概念是什么，我们在开始之前就知道从伦敦到巴黎的距离超过一米。庞加莱在他的《Des fontements de la géométrie: à propos d’un livre de M. Russell》（1899）中否认了这一点。

在庞加莱看来，我们只能根据刚体经验知道一点到另一点的距离，而这种知识已经成为我们与生俱来的。在罗素看来，距离被视为一种基本直觉，如果有人认为伦敦到巴黎的距离可能不到一米，我们就会知道我们不能谈论距离。但庞加莱坚持认为，谈论我们所知道的东西应该始终取决于我们如何知道它。如果没有这一点，这些主张就根本不是知识主张。

一个数学例子可以阐明这种分歧。对于庞加莱来说，谈论我们所谓的普通几何学，在高级教学之前我们所拥有的空间感，实际上是我们测量事物的能力。我们可以随身携带刚体，并将其用作尺子。正是因为我们能做到这一点，我们才能谈论地方之间的距离。如果你想让设置更抽象，就必须有一个空间和一个作用于空间并移动空间中的点的组。如果该群具有这样的属性：无论该空间的某个区域如何移动，它都永远不会映射到其自身的真子集上，那么人们就可以构造刚体并谈论距离。

对于罗素来说，人们可以自由地占据一个空间并为每一对点分配一个“距离”（受到我们省略的一些简单条件的限制）。相对于这种距离感，我们可以说，当一个区域四处移动时，其中的点是否保持相同的距离。我们这样做是为了我们在地球表面的距离感，无论我们是否也有一些刚体运动，我们都可以这样做。用数学术语来说，罗素会对所谓的度量空间感到满意。问题不在于人们可以在地球表面强加一个度量标准，其中一对特定的点，比如在剑桥，相距一米，而伦敦和巴黎相距只有半米——可以——但人们可以在不预设群体行动的情况下谈论距离。一些度量空间承认保持距离的群的作用，而另一些则不然，但可以在不讨论群的情况下定义距离。庞加莱从未遇到过这样的论点——度量空间是 20 世纪的发明——但我们知道他会说什么。他会说这是有效的数学，但完全是形式化的，不能被视为真正的知识，因为它缺乏心理物理学的维度。我们知道这一点是因为这是他对希尔伯特构建的公理几何的批评（见下文）。

庞加莱的论点也遭到了意大利数学家费德里戈·恩里克斯的反对。庞加莱认为，要了解几何约定论论证的有效性，一种方法是考虑一个圆盘，其中所有的东西都是由相同的材料制成的，它在加热时会膨胀，并且其中的温度是圆盘距离的特定函数。光盘的中心。庞加莱指定的这个函数确保了圆盘中的公制（通过与圆盘相同材料制成的杆测量）是非欧几里得几何的。生活在圆盘中的生物会报告说他们的空间是非欧几里得的；我们会回答说，它们的空间是欧几里得空间，但会受到温度场扭曲的影响。显然，双方都能保持自己的立场，不会自相矛盾。

恩里克斯在他的《科学问题》（Problemi della Scienza，1906）一书中指出，这是不合理的。这些生物将几何学归因于它们的空间（实际上是非欧几里得几何学）是正确的，因为扭曲力超出了它们的控制范围。他们的测地线是内置于空间中的，他们将测地线的路径归因于“力”的运作是不合理的，因为“力”甚至在原则上都不是他们可以操纵的东西。热量、大质量物体的引力效应，所有这些扭曲的影响都是可以允许的，因为它们是可以改变的。在上面的实验中，如果声称空间是欧几里德空间，但我们的候选直线发生了变形，那么应该可以改变变形的程度。人们可以在距离任何大质量物体更远的地方、在更空旷的太空区域进行实验。如果不同的实验给出哪怕是稍有不同的结果，人们就会根据庞加莱自己改变科学惯例的标准，在环境中寻找导致光线偏离直线的原因。但如果没有实验显示出任何差异，恩里克斯认为，得出光线在测地线上传播且空间几何形状是非欧几里得几何的结论是合理的。

值得注意的是，到 1900 年，关于理论几何如何与实践经验相联系，以及关于几何所提供的知识的本质的思想日益复杂化，属于整个数学的一系列变化。一门独立的数学学科出现了，越来越强调主题的形式方面，并与经验世界建立复杂且往往遥远的关系。数学中的这种现代主义转向在很多地方都有讨论（参见 Gray 2008 和那里引用的文献）。

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