几何认识论（五）

七、结束语

本文在理论或抽象知识、对此类知识的可理解性的经验分析和其他分析以及该知识的演绎特征的标题下，考察了直到 20 世纪初几何学发展的主要分支。

在初等欧几里得几何中，直线的状态既是连接其任意两个点的最短曲线，又是始终指向同一方向的曲线，这一点已被解开。一条探究路线导致了强调直线度作为基本属性的几何（通常是射影几何），另一条路线导致了强调最短方面的几何。前一种方法从一开始就被视为非度量方法，并成为对几何进行正式甚至公理化研究作为演绎事业的首选领域。价格对物理空间的影响越来越小（正如庞加莱所观察到的）。几何学的概念从根本上得到了扩展，但其方式并不是为了解释物理空间或体验空间。

格律解释逐渐阐明了欧几里得《几何原本》中一个重要的晦涩之处：平行公设。在 19 世纪的大部分时间里，非欧几里得几何（如罗巴切夫斯基几何）是欧几里得几何的唯一替代品，被提出作为一种可理解的几何，尽管人们普遍认为只有最微妙的实验才有希望解决这个问题。庞加莱的有争议的观点是，没有任何实验可以做出这样的决定，这引发了关于抽象术语的解释方式以及假设在科学理论中的作用的重要问题。

除了已经存在了两千多年的欧几里得体系的物理几何替代方案这一引人注目且发人深省的想法之外，高斯、尤其是黎曼的微分几何工作中还暗示了一系列的度量几何。在这里，最终证明可以在适当的一般环境中解释最直和最短之间的关系。人们还可以将几何学作为一个从长度、角度、形状和大小的天真的想法中产生的思想体系来讨论，并以复杂而严格的方式进行讨论。曾经被视为不可避免的公理真理、必然真理的东西，现在变成了可以通过多种方式修改的假设；旧的公理概念逐渐让位于现代的公理概念。我们也可以将各种理论结构视为“空间”，无论它们是公理化地呈现还是旨在作为可理解经验的升华。通过这种方式，可以在新颖的环境中以新颖的方式应用几何思想。从那时起，几何化在数学和科学中就无处不在。

1900 年后，很明显欧几里得几何已经失去了其卓越的地位。这个古老的系统失去了确定性，出现了更好的形式化、公理化系统，例如希尔伯特和皮亚诺周围学校的一些数学家提出的系统。从使用传统几何图形的较少属性（例如直线（射影几何的许多版本））的意义上来说，有丰富的更基本的系统。还有大量具有更自然起点和更深层次理论的度量几何。

结果，关于任何类型的理论几何如何与我们周围的空间相关的想法变得更加复杂。从纯数学的角度来看，情况是多元的。几何学的真理不再被视为理所当然，众所周知，康德的观点普遍被抛弃。在某种程度上，选择物理几何已经成为一个经验问题——如果我们假设庞加莱是错误的。关于几何可理解性的哲学思想也得到了深化。也许从普通科学的角度来看，人们也应该考虑一种多元化的观点。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。