阿拉伯和伊斯兰数学哲学（三）

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彼此相对应，从某种意义上说，其中一个没有任何一部分被另一个人发现。因此，基于欧几里得元素的第一本书的第四个共同概念 - 彼此相对应的事物相对应（[1908：第1卷1，155]） - 我们可以得出结论

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在上一段中描述

图3

早期的映射论点版本可以在Al-Kindī的作品的不同地方找到（Rescher＆Khatchadourian 1965; Shamsi 1975; Shamsi 1975; Adamson 2007：第4章； Zarepour 2020b：n。52）。 Avicenna提出了这一论点的更精确版本（Marmura 1960； McGinnis 2010：Sec。4; Zarepour 2020b）。这些思想家提供的论点版本的强度和准确性至少部分取决于他们对几何幅度平等概念的约束。已经表明，一些穆斯林思想家对此概念有相当详细的说法（R. Rashed 2019）。

像其他两个论点一样，映射论点的主要目标是证明实际上没有无限的连续幅度。穆斯林思想家阅读了欧几里得的元素（BKS 7-9）之后，知道数字很容易以大幅度代表。因此，任何关于无限幅度不可能的论点都可以作为反对数字无穷大的论点。但是，无限收藏呢？这三个论点都不适用于无限的离散实体集合。然而，有人认为，Avicenna可能意识到可以修改映射论点，以便适用于无限的离散编号事物集合（Zarepour 2020b：Sec。4）。可以通过采用我们先前在连续大小的情况下使用的“映射”概念来比较两个离散实体的大小。但是，在离散实体的集合的情况下，必须根据相关两个集合的要素之间的一对一信件来兑现此概念。如果一个集合的每个成员可以与一个（和另一个）的一个成员配对，则两个离散实体的集合相互对应，以使这些收集中的任何一个成员均不属于未配对。 Avicenna似乎已经意识到，无限的离散实体集合可以与其某些适当的子汇编一对一地置于一对一的往来。他发现这与无限幅度及其适当下限的无限幅度的对应关系一样荒谬。他明确地提到，映射论点可以排除无限幅度和无限集合的离散实体（例如数字和编号事物）的可能性。但是，在离散事物的情况下，他本人并没有明确说明这一论点实际上是如何工作的。他没有提供任何具体的示例，即将映射参数应用于无限的对象集合的情况。这样的例子可以在诸如fakhr al-dīnal-rāzī（Sharḥʿuyun al-ḥikma，al-ṭabīʿīyāt [1994：53]）等后艾维利亚哲学家的作品中找到。 Al-Ghazālī（卒于1111年）在他的Maqāṣid中提到了映射论点（[2000：97-98]），这一论点最早传播到拉丁传统的传统可能是通过Maqāṣid的拉丁语翻译在第三季度的拉丁语翻译十二世纪。

这些论点通常在物理背景下进行讨论。这是因为它们首先是设计出来的，以表明实际上没有任何无限的物质存在。但是，如果我们认可文字主义，我们将数学对象视为物理对象的属性，那么在物理世界中存在实际无限的不可能意味着不可能无限扩展的几何线和无限的数字集。但是，那些拒绝数学本体论的文字主义的人对此类论点对数学对象的适用性有不同的看法。例如，fakhr al-dīnal-rāzī认为，映射论点不能拒绝自然数的无限级，因为他将数学对象作为思想依赖和完全非物质的实体（sharḥ问了Al-ail-ail-ail-ashbīdimistion） ：53–57]）。尽管我们可以呼吁映射论点拒绝在外界世界中无限收集不同物理对象的存在，但该论点不能拒绝存在无限数量的数量与数字之类的无限数量的存在相信（Zarepour 2020b：4.1）。

有趣的是，一些穆斯林哲学家认为，即使是思想，就意识到无限事物也有其自身的局限性。例如，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）认为，尽管我们可以想象任何任意长度的有限线（即，无论它们有多长时间），但我们无法想象实际上无限的线路。因此，尽管我们可以想象有限的线比宇宙的大小更长，但我们无法想象一条实际的无限线。伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）认为，在外界甚至在脑海中都不存在实际的无限态度（Masoumi Hamedani 2013； Ighbariah＆Wagner 2018：80）。

1.4连续性

穆斯林思想家对数学连续性的看法与他们在原子主义与关于物理世界本质的杂种性之间的辩论中所维持的立场交织在一起。对于Avicenna，物理世界和数学对象领域之间没有差距。至少，如果我们接受对数学本体论的文字主义的解释，至少是这样。他认为几何幅度是连续的，因为它们没有实际的部分。相应地，物理尺寸是连续的，没有实际的部分。我们当然可以将任何连续的幅度分为较小的部分。在物理世界中，物理尺寸的长度有一个实际的下限，实际上可以将其分解为较小的幅度。相比之下，在我们的估计学院中，该极限消失了，所有幅度都可能无限分开。尽管从理论上讲，尽管存在这种实际差异，但几何线和物理维度的结构之间没有差异。结果，几何连续性意味着物理原子是错误的。的确，Avicenna吸引了数学连续性拒绝物理原子主义（Avicenna [PH2]：第三章3-5； Lettinck 1999； Dhanani 2015； McGinnis 2019：2019：Sec。3）。

与Avicenna相反，有一些哲学家同时认可数学连续性和身体原子。例如，Shahrastānī（卒于1153年）坚持认为，估计学院的判断不够可靠，无法说服我们物理幅度可以实现潜在的无限分歧。他认为身体的幅度不是无限的。它们的零件数量是实际甚至潜力的数量，都是有限的。 Shahrastānī提醒我们，尽管可以想象到无限的宇宙规模，但哲学家通常会拒绝宇宙是无限的。 Shahrastānī依靠类似的方法认为，尽管每个级别都可以想象到无限的分裂，但有强有力的论点表明，在这种情况下，估计学院是错误的，并且没有物理上的幅度是无限分组的。估计中宇宙大小的无限扩展与宇宙是有限的。同样，估计中幅度的无限分裂性可能与它们在外部世界中只有有限数量的（潜在）部分兼容，或者Shahrastānī似乎相信（Al-Shahrastānīsumma Philosophiae，513; McGinnis 2019）。这意味着，如果我们仅将数学对象作为估计构造，那么我们可以将纯粹的数学连续性与物理原子主义调和。

提出了一个微妙的修改，Fakhr al-Dīnal-Rāzī（Al-Manṭiq，第6卷，第6章，第63卷）反对Democritus，认为在想象中可以分解的一切在外部世界中都是可以分解的。他认为，我们可以想象的可划分幅度的长度是一个下限。在估计中，每个大小都可以分开，这并不是事实。他并不拒绝在欧几里得的几何形状中无限划分。但是，他似乎并不接受我们可以在欧几里得几何形状的背景下谈论的各个阶段的视觉图像（通过估计学院）。艾尔·拉兹（Al-Rāzī）拥抱物理原子主义（在他后来的作品中），否认连续的欧几里得几何形状可以代表外部世界的真实结构（Setia 2006; Eftekhari 2018; 2018; 2019）。除了估计学院之外，人们没有其他现实的说法在后来的原子学家（如孙子al-dīnal-ʾījī（卒于1355年）的作品中）（卒于1355年）（Hasan 2017：233-35）。

2。数学认识论

2.1抓住数学概念

大多数谈论过数学概念认识论的穆斯林思想家认为，这些概念是通过某些认知机制形成的，这些认知机制的第一个输入是我们通过外部感觉收到的数据。这种机制的细节由不同的哲学家以不同的方式阐明，具体取决于他们对人类认知心理学的一般情况。例如，Avicenna提出了一个思想实验，表明在没有意识感知的情况下无法掌握数学概念（Avicenna [MPH]，第VII章，第1章，第1节； Zarepour 2019：Zarepour 2019：Sec。5; 2021，sec。 3）。这表明Avicenna认可对数学的某种概念经验主义。关于对Avicenna数学本体论的文字主义解释，数学对象存在于明智的世界中，因为物理对象的不可感知的含义属性（Maʿānī）。像所有其他涵义属性一样，数学实体也受到估计学院的看法。例如，当我们看到两本书时，是估计学院就会感知到两种。在这种经验中，外部感官收集的明智数据将通过调解常识的调解转移到估计学院（ḥissMushtarak）。估计使我们能够忽略我们所拥有的所有其他特征，并且能够感知到我们的外部感官无法直接获得的两种特征。

即使是关于数学本体论的字面意义，仍然存在许多数学实体，数学家可能会参与其中，但在外部世界中不存在（例如，一个复杂而非凡的几何形状，在明智的世界中没有任何对应）。 Avicenna认为，想象学院（Mutakhayyila）可以通过分析，综合，分离和结合以前被感知并存储在我们的认知能力中（Zarepour 2021：Sec。33：Sec。33：Sec。33： ）。但是，如果我们认可Avicenna数学本体的抽象主义约束，那么所有数学对象都是心理结构。在外部世界中没有数学对象，可以直接被估算所感知。在这种解释中，估计学院与想象学院合作，产生理想的对象，在我们的脑海中没有一个。这些学院的心理行为使我们能够构建几何形状和数字（Ardeshir 2008; Tahiri 2016; 2018）。

无论如何，由于估计是身体的教师，因此无法与完全无关紧要的事物互动。因此，它将数学实体视为与物质相关的事物（尽管不是与特定物种相关的事物）。估计对象不是可理解的通用概念。因此，必须通过将积极的智力添加到我们的故事中来完成掌握数学概念的认知过程（Zarepour 2021）。关于Avicenna认识论的一篇阅读（Nuseibeh 1989; Davidson 1992：第4章； Goodman 1992 [2006]; Black 2014），《估算学院的行为》准备我们的灵魂，以接受我们的灵魂，以获得由活跃的智力所散布的普遍概念。在Avicenna认识论的另一个说法（Hasse 2001; Gutas 2012）中，积极的智力只是可理解概念的储层，因为内部教师的准备和不可避免的功能，我们找到了访问权限。总而言之，对数学概念的获取是一个从感知感知开始的过程，并以主动智力的功能结束。在这两个阶段之间，一般内部能力的运作以及尤其是估计和想象力的能力是必要的，也是不可避免的。

在Avicenna的当代科学家的作品中介绍了抓住数学概念的程序的图片，尽管非常相似，但掌握了数学概念的过程。例如，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）只谈到了两个学院：想象力（takhayyula）和杰出（Tamyīz）。想象力是根据我们的感知感知留给我们的印象，构造了理想化的数学对象。例如，想象力使我们能够从我们在外部世界中看到的明智的身体中抽象几何幅度。但是，从数学对象的图像到数学概念的过渡是必须由杰出学院进行的。这个教师扮演了双重角色。一方面，它有助于分析，合成，分离和结合先前感知的（或产生的图像）。在Avicenna的心理学中，该角色被分配给Mutakhayyila。另一方面，杰出教师是积极智力的替代。在伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）的哲学中，概念化的最后一步是由杰出学院实现的。有人认为，积极的智力和神圣的光在伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）的知识理论中没有任何重要作用（Ighbariah＆Wagner 2018）。

al-Bīrūnī或多或少地与Avicenna相似，Al-Bīrūnī接受了一些数学实体，例如线条和点在物理世界中，但它们不能被我们的外部感觉所掌握。然而，我们通过意义经验获得的数据使我们能够感知这些对象和/或产生在外界世界中不存在的理想结构（Samian 2011）。但是，他似乎并没有清楚地了解认知心理学，在这些心理学中，不同能力的角色明确区分了。这就是为什么他在两张图片之间摇摆的原因，其中一张估计（wahm）是第一个逮捕数学对象的教师，而在另一个估计中，必须由智力（ʿAql）扮演这个角色。从后者的角度来看，智力水平以下没有什么可以感知数学对象。 Al-Bīrūnī之间的两个竞争对手观点之间的犹豫变得更加明显，尤其是当我们接受Kitābal-Tafhīm的波斯语和阿拉伯语版本都是由他自己写的。例如，在阿拉伯语版本中，他声称除了智力以外的任何教师（al-Bīrūnī[astro]：3）以外的任何其他教师都无法构想要点。相比之下，在波斯版中，他将这一角色归因于估计（al-Bīrūnī[instr]：7）。他似乎没有考虑可理解的（maʿqūl）和估计性（Mawhūm）之间的任何明确边界。

在后来的穆斯林思想家提出的NAFS al-ʾAMR理论的背景下，外部感官，估计和智力都相互合作，以使我们对数学实体的概念，因为他们在NAFS al-ʾamr中。但是，我们可以访问和了解NAFS al-ʾAMR领域的过程绝不是神秘的，而是主动智力在Avicenna哲学中的作用。

2.2数学原理的认识论状态

每个命题都是由概念构成的有序结构。但是要知道一个命题，它不足以仅仅知道其概念上的组成部分。我们还需要采取进一步的步骤。跟随亚里士多德和欧几里得，大多数（如果不是全部）穆斯林哲学家都相信认识论的基础主义/公理学叙述，根据这些说法，所有知识的实例最终都建立在基本的基础（Mabādi'）的基本概念和命题上，这些概念和命题可以直接知道，这些概念和命题可以直接知名度立即地。非基本概念和命题可以分别源自基本的概念（taʿārīf或ḥudūd）和三段论（qiyāsāt）。这意味着，在获得命题P的概念组成部分之后，我们仍然需要采取以下三个步骤：

订购并结合获得的概念以形成P作为结构化的统一性，

同意基础命题的真理（taṣdīq），以及

通过基础命题的一些三段论建立P的真理。

对于Avicenna，想象力的学院在步骤（1）和（3）中扮演着至关重要的角色。想象力使我们能够通过探索我们对以前掌握的概念的存储并将它们结合起来制作各种有序的概念结构（并检查它们是否形成有意义的命题），从而得出有意义的命题。此外，想象力使我们能够考虑命题的组合，以找到合适的（连续的）三段论，这可以使我们提出所需的命题。此过程中最关键的部分是为三段论找到合适的中间术语，这可以使我们得出预期的结论。在Avicenna的哲学中，想象学院进行了这一搜索行动。关于这种观点的一个直接问题是，作为身体教师，想象力如何娱乐应该是完全无关紧要的可理解实体的普遍概念。 Gutas（2001），Adamson（2004）和Black（2013）研究了该问题的各种可能答案。在伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）的哲学中，这是在（1）和（3）中扮演着核心角色的杰出学院。 （有关（3）的更多信息将在下一部分中说）。

当我们转向（2）时，事情变得更加复杂。遵循古希腊的传统，穆斯林哲学家将示范科学的基本原理分为三类：共同的概念/公理（al-uṣūlal-mutaʿārarafa），假设（al-uṣūlal-al-mawḍḍū了）和（muṣādarāt）。粗略地说，共同的概念是我们知道的最明显的命题，即我们掌握的第一原则。假设和假设不像公理那样明显。原则上需要证明它们。这两组原则通常是根据学习它们的学生的认知态度来区分的。假设是学生似乎没有证据证明他们的基本原则。相比之下，假设对学生来说似乎是可疑的，因为她可能会对这些原则的合理性有一些感受和想法。在中世纪穆斯林思想家的作品中，最经常重复的假设例子可能是欧几里得几何形状的平行假设。此分类由Al-Nayrīzī（卒于922年；在Besthorn＆Heiberg 1893：14-26），Al-Fārābi（Al-Manṭiq，Chaps。87-90），Avicenna（Avicenna），Avicenna（Al-Burhān，Chap，Chap） 。

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