阿拉伯和伊斯兰数学哲学（四）

由于数学假设和假设最终必须基于先前已知的命题来证明，因此似乎数学命题的认知状态取决于我们如何掌握这些原则中最明显的。换句话说，似乎所有数学命题都可以通过公理通过完全先验的（= = consens-bexperience依赖性的）机制来得出。

穆斯林思想家对数学原则的认知状况以及我们同意这些原则的真实性的认知原则的认知状况尚无共识。例如，可以证明，根据Avicenna的说法，数学的每个基本命题都包含在Awwalīyāt（主要数据）或Fiṭrīyāt中（或更完全，更完全，更完全，Muqaddamātfiṭrīyātal-Qiyās，该数据与内置数据转换为“内置数据”。在Gutas（2012）的三段论中）。 “整体大于部分更大”，“四个是什至”是Awwalīyāt和fiṭrīyāt的两个最著名的例子。根据Avicenna的说法，Awwalīyāt没有中间术语，因此，没有任何三段论可以证明它们。它们太基本和显而易见，需要证明（或根本可以证明）。一旦我们掌握了构成Awwalī命题的所有概念，我们就立即同意该命题的真理。这些命题是不言而喻的和必要的。没有人对他们有理性的怀疑。与Awwalīyāt不同，Fiṭrīyāt具有中间术语，必须证明。但是，必须建立fiṭrī命题的三段论是如此简单，以至于一旦次要术语（即主题）和主要术语（即谓词）被掌握，中间术语就会出现在心中和真理中。该主张得到同意。例如，在掌握了第四个概念之后，即使在我们的脑海中，概念可分开，我们可以肯定一个事实，即“（每个）四个是甚至通过以下三段论（Mousavian＆Ardeshir 2018）：

（每个）四个可以排两个。

（每个）可除以两个。

所以：

（每个）四个是偶数。

Awwalīyāt和fiṭrīyāt的真相都通过智力的自然行动（Fiṭra）表示同意。因此，在掌握了它们的概念组成部分之后，我们可以掌握这些命题，而无需吸引我们从感觉经验中获得的数据。这些命题是由非A先验概念构成的。但是，在我们掌握了它们的概念成分之后，这些命题可以通过先验机制证明是合理的。但是，我们应该谨慎地，优先事项并不需要在出生时给予的天赋。 Avicenna拒绝我们在出生时具有任何命题知识的实例。 （有关AvicennianAwwalīyāt和fiṭrīyāt的认知地位的不同观点，请参见Zarepour 2020a; 2020c; Gutas 2020。）

关于数学基本命题的或多或少的相似说法可以在诸如al-Fārābi和al-al-asī等哲学家中找到。但是，Avicenna的一些同时代人和一些后来的Avicennian思想家对数学命题的真实性采取了一种更经验和/或更持怀疑态度的方法。例如，在他对欧几里得元素的第一个评论中，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）萨克·穆萨特（SharḥMusistarāt）遵循了主流观点，即数学的基本命题是不言而喻的，必要的，并且是理性的。但是，在他的第二个评论中，他（[疑问]）认可了更经验的立场，并认为我们通过在日常生活中频繁使用它们来获得这些知识。例如，考虑常见的概念“彼此相对应的事物相等”。伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）说，我们接受这一主张，因为我们反复看到，当一个身体被映射或超过另一个身体时，它们的长度并没有彼此超越，我们的智力（灵）（差）判断这些身体（或者更多）确切地说，它们的长度是相等的。没有这样的经验，我们无法同意这个公理的真实性。因此，我们对这种公理的了解在某种程度上依赖于感官体验（Ibn al-Haytham [疑虑]：31; R. Rashed 2019）。

在他的光学元件（Sabra 1989）中，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）提出了对“整体大于整个部分”的有趣处理，这与Avicenna对Fiṭrīyāt的处理具有惊人的相似之处。他认为，可以通过以下论点证明这一原则：

整体超出了零件。

超过其他事物的一切都比它更大。

所以：

整体大于部分。

必须通过我们通过感官收到的数据（Sabra 1989：vol。I，133-34;，使用Ibn al-Haytham自己的术语）通过智力或杰出学院的运作（要使用Ibn al-Haytham自己的术语）来证明这一论点的前提是合理的。 Ighbariah＆Wagner 2018）。这些对公理和共同概念的态度的痕迹可以在Fakhr al-Dīnal-Rāzī的作品中找到，以及后来的一些Mutikallimūn（Morrison 2014：220-22; Hasan 2017; Hasan 2017：Sec。2.4.2; ighbariah and Wagner and Wagner and Wagner 2018：66–68）。

2.3 Ars Analytica和Ars Inveniendi

值得一提的是，穆斯林思想家还开发了有趣的理论，即我们如何从已知的数学中得出未知的数学命题。换句话说，他们已经提供了有关在上一节中的步骤（3）的详细说明，该步骤是如何在一般数学的背景下进行的，尤其是几何的。在这种情况下，一个核心问题是，当数学家发现（或发明）数学真理时，数学家的想法与她所提出的事物相对应的证明（或发明（或发明）时）。特别是，对于穆斯林思想家来说，重要的是要知道数学家发现数学真理的步骤顺序是否与她为这一真理提供的理由的不同阶段的顺序相同。

在这种情况下，最早的尝试之一是ThābitibnQurra的数学发明心理学理论。但是，可能是他的孙子IbrāhīmibnSinān（卒于946年），他在他的分析方法和综合几何问题中建立了与上述问题有关的独立研究领域（R. R. Rashed＆Bellosta 2000， ：我）。他根据不同的标准将几何问题分为不同的组，并提供具体的例子，解释了必须如何分析每组问题（Taḥlīl）以及如何合成它们的解决方案（Tarkīb）。他强调了在分析和综合过程中可能犯的可能的错误和错误，并阐述了如何避免它们。该领域的下一个重要数字是al-sijzī（卒于〜1020），他写了一本书（有关解决问题的几何论文），以促进几何学解决问题的过程。但是，在这类研究中，最成熟的作品也许是Ibn al-Haytham的Fīal-Taḥlīlwaal-Tarkīb（分析和合成； R. R. Rashed 2006 [2017：219-304]）。在这一数学哲学领域讨论的一个有趣的问题是不可发现的问题的本质。主张其真理或虚假性，我们没有证据。在他的al-Bāhirfīal-jabr中，al-samawʾal（卒于1180年）特别讨论了这个问题。他的分类项目可以理解为伊本·辛兰（R. Rashed 1984b [1994：41-43]; 2008：Sec。3; 2015：2015：726-32）的继承。

2.4数学的适用性和可靠性

如果我们将数学对象作为纯粹的心理或估计性对象（Mawhūm）对象，这些对象是通过抽象机制构建的，没有外部现实，那么数学和/或数学模型本身就可以使我们能够为我们提供可靠的知识，从而使数学和/或数学模型无关。外界。毫不奇怪的是，那些对数学本体论的非质量，非文字主义的描述的人会发现，比物理和形而上学等科学不那么确定，也许不太有价值。这就是为什么一些当代学者读过Avicenna是捍卫数学本体论的纯粹抽象主义的说法，他们认为，对他来说，数学不太有用，并且与其他两种科学相比（Hasan 2017：225-26;Fazlıoğlu2014：225-26;Fazlıoğlu2014：：225-26; 11–13）。如果我们将他作为数学对象的本质作为文字主义者，对Avicenna的观点的这种演绎当然是有问题的。 Averroes受到类似关注的启发，认为，数学对象的领域与外部现实相比，数学在人类的完美中比物理和形而上学的作用较重要（Endress 2003：150）。

在原子主义者中，对数学能力准确代表外部世界的能力的怀疑甚至更为普遍（Dhanani 1994：101-40； Pines 1936 [1997：110]）。例如，Fakhr al-Dīn al-Rāzī 在其后期著作中赞同物理原子论，他认为由于欧几里得几何中的量值被认为是连续的，因此该科学无法准确呈现不连续的图像原子世界（Setia 2006: 126–28）。

在他的《Al-Mawāqif》中，al-ʾĪjī 挑战了数学科学的可靠性，因为数学科学涉及比蜘蛛网更脆弱（awhan）的估计实体。这个类比参考了《古兰经》29:41 (Fazlıoğlu 2014: 6–7)。 Shams al-Dīn Muḥammad al-Bukhārī（卒于 14​​29 年）在对 al-Kātibī al-Qazwīnī 的 Ḥikma al-ʿayn 的评论中捍卫了类似的数学怀疑论观点。像他的许多前辈一样，布哈里认为，与物理学和形而上学相比，数学是关于具体存在事物的知识来源，不太可靠。正是针对这些观点，al-Jurjānī 诉诸 nafs al-ʾamr 的机制来捍卫数学的可靠性。他承认数学对象是估计的和想象的。但他相信它们的想象是正确的并且符合超自然的现实。在这方面，它们与虚构的实体（如红宝石山或双头人）完全不同，这些实体不反映任何精神外现实（Hasan 2017：7）。尽管数学起源于估计，但它仍然可以表达事物的重要真理，就像 nafs al-ʾamr 中那样。因此他认为，估计的判断原则上可以符合理智的判断；特别是在数学背景下，估计的产物是根据我们通过感官从外部世界感知到的东西构建的。尽管数学对象是估计实体，但它们并不是与现实无关的幻想的结果，至少 al-Jurjānī 似乎是这么认为的（Fazlıoğlu 2014；Hasan 2017）。 nafs al-ʾamr 的理论是穆斯林思想家最有希望的尝试，旨在调和数学本体论的反实在论解释与数学真理的实在论解释。该理论旨在解释数学作为纯粹估计实体的研究如何在物理世界的研究中发挥作用。不幸的是，该项目的成功程度尚未得到全面研究。

三、结论

这里介绍的只是中世纪穆斯林思想家关于数学的有趣哲学观点的简要报告。这绝不是详尽无遗的。我在这里讨论的观点的许多方面尚未在二手文献中得到研究。可以毫不夸张地说，许多穆斯林哲学家的数学哲学尚未得到当代哲学史学家的充分探讨。但我希望本文所汇集的内容表明，伊斯兰传统是与数学哲学相关的创新思想和理论的丰富资源（而不是像通常认为的那样仅与数学的技术方面有关）。

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