维特根斯坦的数学哲学（一）

1.维特根斯坦《逻辑哲学论》中的数学

2. 中期维特根斯坦的有限建构主义

2.1 维特根斯坦的中级建构形式主义

2.2 维特根斯坦的中级有限论

2.3 维特根斯坦的中级有限论和算法可判定性

2.4 维特根斯坦对数学归纳法和算法可判定性的中级解释

2.5 维特根斯坦对无理数的中间解释

2.5.1 维特根斯坦的反基础主义和真无理数

2.5.2 维特根斯坦的实数本质主义和集合论的危险

2.6 维特根斯坦对集合论的中级批判

2.6.1 集合论的内涵、外延和虚拟象征

2.6.2 反对不可枚举性

3. 后期维特根斯坦的数学：一些预备知识

3.1 数学作为人类的发明

3.1.1 维特根斯坦后期的反柏拉图主义：数的自然史与柏拉图主义的空虚

3.2 维特根斯坦后期的有限建构主义

3.3 后期维特根斯坦关于可判定性和算法可判定性

3.4 维特根斯坦后来对集合论的批判：不可枚举性与不可枚举性

3.5 数学外的应用是数学意义的必要条件

3.6 维特根斯坦论哥德尔和不可判定的数学命题

4. 数学哲学对数学的影响

参考书目

维特根斯坦的著作

维特根斯坦讲座笔记和谈话录音

二手资料和相关主要文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.维特根斯坦《逻辑哲学论》中的数学

维特根斯坦对数学命题和术语的非指称、形式主义概念始于《逻辑哲学论》。 [1]事实上，就他在《逻辑哲学论》中勾勒出基本的数学哲学而言，他是通过将数学和数学方程与真正的（或然的）命题、意义、思想、命题符号及其组成名称以及对应的真理进行对比来做到这一点的。

在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦声称，一个基于惯例的真正命题被我们用来断言一种事态（即，一个基本或原子事实；“Sachverhalt”）或事实（即，多种事态；“Sachverhalt”）。 'Tatsache'）在唯一的现实世界中获得。一个基本命题与它用来表示的可能的事态是同构的：它必须包含与可能的事态中的对象一样多的名称。一个基本命题为真当且仅当其可能的事态（即其“意义”；“Sinn”）成立。维特根斯坦在（4.25）中清楚地阐述了真理对应论：

如果一个基本命题为真，则事态存在；反之亦然。如果一个基本命题是假的，那么事态就不存在。

但命题及其语言成分本身是死的——命题之所以有意义，是因为我们人类赋予了它传统的意义（5.473）。此外，命题符号可以用来做很多事情（例如，侮辱、引起某人的注意）；为了断言某种事态已经发生，一个人必须通过在说出、写下或思考该命题时“思考”（例如，想象）其意义来“投射”该命题的意义——其可能的事态状态（3.11） ）。维特根斯坦将使用、意义、对应和真理联系起来，他说“如果我们用一个命题来表示事物以某种方式站立，并且它们确实如此”（4.062；添加斜体），则该命题为真。

相比之下，真正的（或然的）命题的逻辑学概念和真理的（原始的和）核心概念被用来构建逻辑和数学“命题”的理论。大胆而直白地说，同义反复、矛盾和数学命题（即数学方程）既不是真也不是假——我们说它们是真或假，但在这样做时，我们以非常不同的方式使用“真”和“假”这两个词。意义来自于偶然命题是真还是假的意义。与真正的命题不同，同义反复和矛盾“没有‘主题’”（6.124），“缺乏意义”，并且对世界“什么也不说”（4.461），类似地，数学方程是“伪命题”（ 6.2）其中，当“true”（“正确”；“richtig”（6.2321））时，“仅标记……[‘两个表达式’]含义的等价性”（6.2323）。鉴于“自体和矛盾是符号组合的极限情况——实际上是解体”（4.466；添加斜体），其中

与世界一致的条件——表征关系——相互抵消，因此[它们]不[]与现实存在任何表征关系，

同义反复和矛盾并不描绘现实或可能的事态和可能的事实（4.462）。换句话说，同义反复和矛盾没有意义，这意味着我们不能用它们来做出断言，这反过来又意味着它们不可能是真或假。类似地，数学伪命题是方程，它指示或表明两个表达式在含义上是等价的，因此是可以互换的。事实上，我们通过“代入法”得出数学方程：

从一些方程开始，我们通过根据方程代入不同的表达式来推进到新的方程。 (6.24)

我们通过“看到”两个表达式具有相同的含义来证明数学“命题”“正确”（“正确”），这“必须在两个表达式本身中得到体现”（6.23），并用一个表达式替换另一个表达式相同的意思。正如“仅从符号就可以认识到[‘逻辑命题’]为真”（6.113）一样，“证明”数学命题的可能性意味着我们可以感知它们的正确性，而不必将“它们表达的内容”与事实进行比较（6.2321；参见 RFM App. III，§4）。

维特根斯坦一直坚持着偶然命题（可以用来正确或错误地表示世界的某些部分）和数学命题（可以以纯粹形式、句法的方式来决定）之间的界限，直到他于 1951 年去世为止（Zettel §701， 1947 年；PI II，2001 年版，第 192–193e 页，1949 年）。给定语言和符号惯例，偶然命题的真值完全是世界如何的函数，而数学命题的“真值”完全是其构成符号及其形式系统的函数。是一部分。因此，陈述这种划分的第二种密切相关的方式是，数学命题可以通过纯粹形式手段（例如计算）来决定，而与“外部”世界有关的偶然命题只能通过（如果有的话）来决定。 ，通过确定是否获得特定事实（即命题及其所在语言之外的事物）（2.223；4.05）。

具体而言，Tractarian 数学形式理论是一种形式运算理论。在过去的 20 年里，维特根斯坦的运算理论受到了相当多的检验（Frascolla 1994、1997；Marion 1998；Potter 2000；and Floyd 2002），有趣的是，它与 Tractarian 等式算术理论与阿隆佐·丘奇的元素联系起来。

λ

λ 演算和 R. L. Goodstein 的方程演算（Marion 1998：第 1、2 和 4 章）。维特根斯坦非常简短地提出：

…符号‘[

一个

,

x

,

氧

'

x

a,x,O'x]' 为一系列形式的总称

一个

一个，

氧

'

一个

噢，

氧

'

氧

'

一个

欧欧阿…… (5.2522)

…操作的一般形式

Ω

'

(

嗄嗄

η

）

Ω'(η) [as]

[

嗬嗬

Ψ

,

氮

(

嗬嗬

Ψ

）

]

'

(

嗬嗬

η

）

(

=

[

嗬嗬

η

,

嗬嗬

Ψ

,

氮

(

嗄嗄

Ψ

）

]

）

。

(

6.01

）

[ xi , N ( xi ) ]'( η ) (=[ η , xi , N ( xi ) ] )。(6.01)

…命题的一般形式（“真值函数”）[as]

[

嗄嗄

p

,

嗄嗄

Ψ

,

氮

(

嗄嗄

Ψ

）

]

[p, xi, N(xi)]。 (6)

整数[自然数]的一般形式[as]

[

0

,

Ψ

,

Ψ

+

1

]

[0, Ψ, Ψ+1]。 (6.03)

补充说“数字的概念是……数字的一般形式”（6.022）。正如弗拉斯科拉（以及他之后的马里昂）所指出的，“命题的一般形式是‘运算’一般形式的特例”（Marion 1998：21），而所有三种一般形式（即运算的一般形式） 、命题和自然数）均以 (5.2522) 中给出的变量为模型（Marion 1998：22）。维特根斯坦将“[a]n 运算[as]其结果与其基的结构之间的关系的表达式”（5.22）定义为“[a]函数不能是它自己的参数，……一个运算可以采用它自己的结果之一作为其基础”（5.251）。

关于维特根斯坦（5.2522）对“[

一个

,

x

,

氧

'

x

a,x,O'x]',

括号表达式的第一项是一系列形式的开始，第二项是一项的形式

x

x 从系列中任意选择，第三个 [

氧

'

x

O'x] 是紧随其后的术语的形式

x

系列中的 x。

鉴于“连续应用运算的概念相当于‘等等’的概念”（5.2523），我们可以看到如何通过自然数一般形式的重复迭代来生成自然数，即 '[

0

,

Ψ

,

Ψ

+

1

0, Ψ, Ψ+1]’。类似地，正如罗素在《逻辑哲学论》导论（第 xv 页）中所说，可以从命题“[”的一般形式生成真值函数命题。

嗄嗄

p

p，

嗄嗄

Ψ

Ψ,

氮

(

嗄嗄

Ψ

）

N(xí)]’ 由

采取任意选择的原子命题[其中

p

p“代表所有原子命题”； “变量上方的横线表明它是其所有值的代表”（5.501）]，否定所有这些值，然后从现在获得的命题集中进行任何选择，以及任何原始命题[其中

x

x“代表任何一组命题”]——无限地依此类推。

根据弗拉斯科拉 (Frascolla) (1994: 3ff) 的说法，

数字身份“

t

=

s

t=s”是一个算术定理当且仅当相应的方程“

Ω

t

'

x

=

Ω

s

'

x

用逻辑运算一般理论的语言构建的“Ωt'x=Ωs'x”是可以证明的。

通过证明

方程“

Ω

2

×

2

'

x

=

Ω

4

'

x

Ω2×2'x=Ω4'x”，翻译成算术恒等式“

2

×

2

=

4

2×2=4” 转化为操作语言（6.241），

维特根斯坦由此概述了“将数值算术转化为一种一般运算理论”（Frascolla 1998：135）。

尽管维特根斯坦显然并不试图以罗素的方式或弗雷格的方式将数学还原为逻辑，或者同义反复，并且尽管维特根斯坦批评罗素的逻辑主义（例如，类型理论，3.31-3.32；数学公理）可还原性，6.1232等）和弗雷格的逻辑主义（6.031，4.1272等），[2]早期和最近的相当多的评论家都将维特根斯坦的逻辑数学理论解释为逻辑主义的变体（Quine 1940 [1981： 55]；贝纳塞拉夫和普特南，1964 年：340；萨维特，1986 年：34；1997 年：354、356-57、361；马里昂，1998 年：26 和 29；和波特 2000：164 和 182-183）。对于这种解释至少有四个理由。

维特根斯坦说“数学是一种逻辑方法”（6.234）。

维特根斯坦说，“世界的逻辑通过逻辑命题以同义反复的形式表现出来，而通过数学的方程来表现出来”（6.22）。

根据维特根斯坦的观点，我们仅通过符号（即通过纯粹的形式运算）来确定数学和逻辑命题的真实性，而不对世界上的事态或事实进行任何（“外部”、非符号）观察。

维特根斯坦的迭代（归纳）“将数字解释为运算变量的指数”是“算术到运算理论的简化”，其中“运算”被解释为“逻辑运算”（添加斜体）（Frascolla 1994：37），这表明“‘无类逻辑主义’标签与《逻辑哲学论》的算术观点相符”（Frascolla 1998：133；1997：354）。

尽管在过去 20 年内至少出现了三种对《逻辑哲学论》的逻辑主义解释，但以下考虑（Rodych 1995；Wrigley 1998）表明这些理由都​​不是特别令人信服。

例如，当维特根斯坦说“数学是一种逻辑方法”时，也许维特根斯坦只是说，因为自然数的一般形式和命题的一般形式都是a的一般形式的实例（纯形式） ）运算，就像可以使用命题的一般形式构造真值函数命题一样，可以使用自然数的一般形式构造（真）数学方程。或者，维特根斯坦可能意味着数学推论（即不是替代）符合或利用逻辑推论，并且只要数学推理是逻辑推理，数学就是逻辑的一种方法。

同样，在说“世界的逻辑”是通过同义反复和真正的数学方程（即#2）来展示时，维特根斯坦可能是在说，既然数学是为了帮助我们计数和测量而发明的，只要它能够我们从偶然命题推断出偶然命题（见下文6.211），从而反映了偶然事实和“世界逻辑”。尽管逻辑——它是自然（“日常”）语言所固有的（4.002、4.003、6.124），并且为了满足我们的交流、探索和生存需求而进化——并不是以同样的方式发明的，但有效的逻辑推理捕捉到了可能的事实和合理的逻辑推理之间的关系捕获了现有事实之间的关系。

关于#3，布莱克、萨维特和弗拉斯科拉认为，由于我们确定同义反复和数学方程的真实性而不需要任何“事态”或“事实”，真正的数学方程和同义反复是如此相似，以至于我们可以“恰当地”将“《逻辑哲学论》的算术哲学……描述为一种逻辑主义”（Frascolla 1994：37）。对此的反驳是，弗拉斯科拉、布莱克和萨维特所认识到的相似性并没有使维特根斯坦的理论成为弗雷格或罗素意义上的“某种逻辑主义”，因为维特根斯坦并没有以弗雷格或罗素的方式“逻辑地”定义数字，并且同义反复和真实数学方程之间的相似性（或类比）既不是恒等式也不是可还原性关系。

最后，批评者认为，4：的问题在于，没有证据表明相关运算在维特根斯坦、罗素或弗雷格的术语意义上是逻辑的——它似乎是纯粹形式的句法运算。维特根斯坦说：“逻辑运算是用命题来执行的，算术运算是用数字来执行的”（WVC 218）； “逻辑运算的结果是命题，算术运算的结果是数字”。总之，《逻辑哲学论》逻辑主义解释的批评者认为，1-4：单独或集体并不能构成《逻辑哲学论》逻辑主义解释的令人信服的基础。

(6.211) 体现了 Tractarian 数学理论的另一个重要方面。

事实上，在现实生活中，数学命题从来都不是我们想要的。相反，我们仅在从不属于数学的命题到同样不属于数学的其他命题的推论中使用数学命题。 （在哲学中，“我们实际上使用这个词或这个命题的目的是什么？”这个问题不断地带来有价值的见解。）

尽管数学和数学活动纯粹是形式和句法的，但在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦默认区分了纯粹带有符号的形式游戏和数学命题，前者在偶然命题中没有应用，后者用于从偶然命题到偶然命题进行推理提案。然而，维特根斯坦并没有明确说明数学方程（不是真命题）如何用于从真命题到真命题的推论（Floyd 2002：309；Kremer 2002：293-94）。正如我们将在第 3.5 节中看到的，后来的维特根斯坦回到了超数学应用的重要性，并用它来区分纯粹的“符号游戏”和真正的数学语言游戏。

简而言之，这就是维特根斯坦的逻辑数学理论。在《逻辑哲学论》的引言中，罗素写道，维特根斯坦的“数论”“需要更大的技术发展”，主要是因为维特根斯坦没有展示它如何处理超限数（Russell 1922[1974]：xx）。同样，弗兰克·拉姆齐在对《逻辑哲学论》的评论中写道，维特根斯坦的“解释”并未涵盖所有数学，部分原因是维特根斯坦的方程论无法解释不等式（Ramsey 1923：475）。尽管维特根斯坦在 1923 年是否会认为这些问题存在问题值得怀疑，但毫无疑问，逻辑哲学理论本质上只是一个草图，特别是与维特根斯坦六年后开始发展的理论相比。

1918 年完成《逻辑哲学论》之后，维特根斯坦几乎没有再做任何哲学工作，直到 1929 年 2 月 2 日，也就是在参加荷兰数学家 L.E.J. 的讲座十一个月后。布劳威尔。

2. 中期维特根斯坦的有限建构主义

毫无疑问，维特根斯坦受到了 L.E.J. 的启发。布劳威尔 1928 年 3 月 10 日在维也纳的演讲“科学、数学和语言”（布劳威尔 1929），他与 F. 魏斯曼和 H. 费格尔一起参加了演讲，但说他因为这次演讲或 H. Feigl 回到了哲学领域，这是一种严重的夸大其词。他对数学哲学的中等兴趣主要源于布劳威尔的影响。事实上，维特根斯坦回归哲学和中间的数学工作还有与拉姆齐和维也纳学派成员的对话、维特根斯坦与拉姆齐在身份问题上的分歧等因素。

尽管维特根斯坦在《逻辑哲学论》完成之前似乎没有读过任何希尔伯特或布劳威尔的作品，但到 1929 年初，维特根斯坦肯定读过布劳威尔、韦尔、斯科勒姆、拉姆齐（可能还有希尔伯特）的作品，而且显然，他已经读过一本或多本著作。 1928 年与布劳威尔的私人讨论（Finch 1977：260；Van Dalen 2005：566-567）。因此，《逻辑哲学论》中对数学的基本处理（其主要影响是罗素和弗雷格）被中期（1929-1933）对数学的详细研究所继承，该研究受到了 1920 年代布劳威尔、韦尔、希尔伯特的著作的强烈影响。和斯科勒姆。

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