维特根斯坦的数学哲学（二）

2.1 维特根斯坦的中级建构形式主义

为了最好地理解维特根斯坦的中级数学哲学，我们必须充分理解他强大的形式主义变体，根据这种形式，“我们创造数学”（WVC 34，注1；PR §159）通过发明纯粹形式的数学演算，用'规定的公理（PR §202）、转换的句法规则和决策程序，使我们能够通过算法决定所谓的数学“命题”（PR §§122, 162）来发明“数学真理”和“数学虚假”。

从 1929 年（如果不是 1918 年）到 1944 年，维特根斯坦形式主义的核心思想是数学本质上是句法的，缺乏指称和语义。这一观点最明显的方面，已被许多评论家注意到，他们没有将维特根斯坦称为“形式主义者”（Kielkopf 1970：360-38；Klenk 1976：5,8,9；Fogelin 1968：267；Frascolla 1994） ：40；Marion 1998：13-14），与柏拉图主义相反，数学演算的符号和命题不涉及任何东西。正如维特根斯坦在（WVC 34，注 1）中所说，“数字不是由代理代表的；而是由代理代表的。”数字就在那里”。这不仅意味着数字在使用中，还意味着数字就是数字，因为“算术不谈论数字，它与数字一起工作”（PR §109）。

算术关心的是模式

|

|

|

|

||||。——但是算术谈论的是我用铅笔在纸上画的线条吗？——算术不谈论线条，而是与它们一起运算。 （PG 333）

同样，维特根斯坦说（WVC 106）“数学始终是一台机器，一种微积分”，“微积分是一个算盘，一个计算器，一个计算机器”，它“通过笔画、数字、 ETC”。根据维特根斯坦（WVC 105）的说法，“形式主义合理的一面”是数学符号“缺乏意义”（即Bedeutung）——它们不“代表”“它们的意义”的事物。

你可以说算术是一种几何学；也就是说，几何学中是纸上的构造，算术中是计算（纸上）。——你可以说这是一种更一般的几何学。 （公共政策第 109 条；公共政策第 111 条）

这是维特根斯坦一生形式主义的核心。当我们证明一个定理或决定一个命题时，我们以纯粹形式的句法方式进行操作。在做数学时，我们并没有发现“在无人知晓的情况下已经存在”（PG 481）的预先存在的真理——我们一点一点地发明了数学。 “如果你想知道什么

2

+

2

=

4

2+2=4 意味着”，维特根斯坦说，“你必须问我们如何计算出来”，因为“我们认为计算过程是最重要的”（PG 333）。因此，数学命题所具有的唯一意义（即意义）是系统内意义，它完全由其与微积分其他命题的句法关系决定。

中级维特根斯坦强烈的形式主义的第二个重要方面是他认为数学之外的应用（和/或参考）不是数学微积分的必要条件。维特根斯坦认为，数学演算不需要额外的数学应用，因为我们“可以完全自主地开发算术，并且它的应用会自行解决，因为无论它适用于何处，我们也可以应用它”（PR §109；参见 PG 308，WVC 104 ）。

正如我们很快就会看到的，中期维特根斯坦也因对可判定性问题的新关注而被强烈的形式主义所吸引。毫无疑问，受到布劳威尔和大卫·希尔伯特著作的影响，维特根斯坦使用强烈的形式主义在数学意义和算法可判定性之间建立了新的联系。

等式是语法规则。这难道不能解释为什么我们不能提出原则上无法回答的数学问题吗？因为如果不能掌握语法规则，它们就毫无用处……。 [这]使得形式主义者将数学视为带有符号的游戏的尝试变得可以理解。 （公关第 121 条）

在第 2.3 节中，我们将看到维特根斯坦如何超越希尔伯特和布劳威尔，以将数学命题限制为算法可判定的表达式的方式维护排中律。

2.2 维特根斯坦的中级有限论

早期和中期维特根斯坦之间最重要的区别在于，在中期，维特根斯坦拒绝在无限数学领域进行量化，他指出，与他的逻辑学观点相反，这样的“命题”并不是无限的合取和无限的析取，仅仅因为存在没有这样的事情。

维特根斯坦发展有限论数学哲学的主要原因如下。

数学作为人类的发明：根据中期维特根斯坦的说法，我们发明了数学，由此可以得出，数学和所谓的数学对象并不独立于我们的发明而存在。任何数学本质上都是人类活动的产物。

数学演算仅包含内涵和外延：假设我们只发明了数学外延（例如，符号、有限集、有限序列、命题、公理）和数学内涵（例如，推理和变换规则、作为规则的无理数），这些外延和内涵，以及它们所在的演算，构成了整个数学。 （应该指出的是，维特根斯坦在数学方面对“外延”和“内涵”的用法与当代标准用法明显不同，其中谓词的外延是满足谓词的实体的集合，而谓词的内涵是含义简而言之，维特根斯坦认为，概念和外延的概念从存在的（即物理的）对象领域扩展到所谓的“数学对象”领域是有基础的。错误的类比会导致概念上的混乱。请参阅下面的#1。）

这两个原因对维特根斯坦的数学哲学至少有五个直接影响。

拒绝无限数学外延：鉴于数学外延是一个符号（“符号”）或在空间中扩展的符号的有限串联，数学内涵和（有限）数学外延之间存在绝对差异，由此得出“ “数学上的无限”仅存在于递归规则（即内涵）中。无限的数学扩展（即，完整的、无限的数学扩展）是一个矛盾的术语

拒绝数学中的无界量化：鉴于数学无限只能是递归规则，并且数学命题必须有意义，因此不可能存在无限数学命题（即无限逻辑乘积或无限逻辑乘积）。和）。

算法可判定性与不可判定性：如果所有类型的数学扩展都必然是有限的，那么原则上，所有数学命题都是算法可判定的，由此可见“不可判定的数学命题”是一个矛盾术语。此外，由于数学本质上是我们所拥有的和我们所知道的，维特根斯坦将算法的可判定性限制为知道如何使用已知的决策程序来决定一个命题。

实数的反基础主义解释：由于不存在无限的数学扩展，因此无理数是规则，而不是扩展。鉴于无限集是递归规则（或归纳法），并且没有这样的规则可以生成数学家称为（或想要称为）“实数”的所有事物，因此不存在“所有”实数的集合数字，而不存在数学连续体这样的东西。

拒绝不同的无限基数：鉴于无限数学扩展的不存在，维特根斯坦拒绝将康托尔对角线证明的标准解释作为更大和更小基数的无限集合的证明。

由于我们发明了整个数学，我们并没有发现预先存在的数学对象或事实，也没有发现数学对象具有某些属性，因为“人们无法发现在不知情的情况下已经存在的数学或逻辑部分之间的任何联系”（PG 481）。在将数学视为纯粹的人类发明时，维特根斯坦试图确定我们到底发明了什么，以及为什么在他看来，我们到底错误地认为存在无限的数学扩展。

如果我们首先检查我们所发明的东西，我们就会发现我们发明了由有限外延和内涵规则组成的形式演算。更重要的是，如果我们努力确定为什么我们相信无限的数学外延存在（例如，为什么我们相信实际的无限是数学所固有的），我们会发现我们将数学内涵和数学外延混为一谈，错误地认为存在“ “法则和服从法则的无限序列”的二元论（PR §180）。例如，我们认为，因为实数“无限地产生小数位数”（PR §186），所以它是“一个整体”（WVC 81-82，注1），而实际上，“[a ]非理性数字不是无限十进制的扩展，而是法律”（PR§181），它“产生扩展”（PR§186）。法律和清单在根本上是不同的；也不能“给出另一个给出的东西”（WVC 102-103）。确实，“设定理论方法中的错误一次又一次地在将法律和枚举（列表）视为基本上是相同的事物中”（第461页）。

与这种强度和扩展的混杂关系密切相关的事实是，我们错误地表现出“无限”一词是“数字”，因为在普通的话语中，我们回答了“多少？”这个问题。两者都（第463页；参见Pr§142）。维特根斯坦坚持说：“‘[i] nfinite'不是数量”（WVC 228）； “无限”和“五”之类的数字单词没有相同的语法。 “有限”和“ finite”一词在单词“ class”或“ set”（WVC 102）上的形容词不起作用，对于“有限类”和“无限类”的术语，以完全不同的方式使用'class' （WVC 228）。无限类是递归规则或“归纳”，而有限类的符号是列表或扩展（pg 461）。这是因为一种归纳与有限类的多样性有很多共同点，我们将其称为无限类（PR§158）。

总而言之，由于数学扩展必然是符号的有限序列，因此无限的数学扩展是一个矛盾。这是维特根斯坦有限主义的基础。因此，当我们说“有无限的偶数数字”时，我们并不是说“有无限的偶数数字”，就像我们可以说“这所房子里有27个人”；一系列无限的自然数不过是“有限的数字有限的可能性” - “说出整个无限数字序列是毫无意义的，好像也是扩展名的序列”（PR§144 ）。当被理解为数量时，正确理解了无限的理解，而是“无限的可能性”（PR§138）。

鉴于维特根斯坦（Wittgenstein）拒绝了无限的数学扩展，他对数学量化，数学可决定性，实数的本质以及康托尔的对角线证明了无限性红色之类的较大红衣群的存在。

由于数学集合是有限的扩展，因此我们不能在无限的数学领域上进行有意义的量化，仅仅是因为没有一个无限的数学领域（即整体，集合）之类的东西，并且没有派生的东西析取（G.E. Moore 1955：2-3;参见AWL 6;和PG 281）。

[I]现在看起来仍然好像量词对数字没有意义。我的意思是：你不能说‘

(

n

）

φ

n

（n）ϕn’，正是因为“所有自然数字”不是一个有限的概念。但是，这两个人都不应该说一个一般命题是从关于数字本质的命题中遵循的。

但是在这种情况下，在我看来，我们无法使用数学上的一般性（所有人等）。没有“所有数字”之类的东西，仅仅是因为有很多东西。 （PR§126;PR§129）

主张“扩展主义者”

ε

(

0

）

。

ε

(

1

）

。

ε

(

2

）

ε（0）.ε（1）.ε（2）等”是一种无限逻辑产物（pg 452）假设或断言有限和无限的结合是近亲的表亲 - 我们不能写下或列举所有的事实在无限结合中“包含”的连词中只是一个“人类的弱点”，因为上帝肯定可以这样做，上帝肯定可以单一瞥见这种结合并确定其真实价值。但是，根据维特根斯坦（Wittgenstein）的说法，这不是人类限制的问题。因为我们错误地认为“无限连词”类似于“巨大的连词”，所以我们错误地理由是，正如我们无法确定巨大连词的真实价值一样要针对人类的局限性，请确定无限连词（或分离）的真实价值。但是，这里的区别不是一个程度之一，而是类似的：“从不可能检查无限数量的命题的意义上，也不可能尝试这样做”（PG 452）。根据维特根斯坦（Wittgenstein）的说法，这适用于人类，但更重要的是，它也适用于上帝（即一个无所不知的存在），因为即使上帝也无法无限地写下或调查许多命题无限，因此“任务”不是真正的任务，因为它原则上不能完成（即“无限多”不是数字单词）。正如维特根斯坦（Wittgenstein

π

π？’对于校友来说，这是一个好问题。”因为这个问题严格“毫无意义”。正如我们将很快看到的那样，在维特根斯坦的说法中，“关于所有数字的陈述不是通过命题来代表，而是通过归纳来表示”（WVC 82）。

同样，也没有关于某个数字的数学命题这样的东西，而没有一种数学命题，可以对无限域进行量化（PR§173）。

这样的数学命题是什么意思

(

∃

n

）

4

+

n

=

7

（∃n）4+n = 7'？这可能是一个脱节 -

(

4

+

0

=

7

）

∨

（4+0 = 7）∨

(

4

+

1

=

7

）

∨

（4+1 = 7）∨等。但这意味着什么？我可以理解一个开始和结束的命题。但是，一个人也可以理解一个毫无目的的命题吗？ （PR§127）

在我们可以提供递归规则以生成无限序列的每个下一个成员的情况下，无限的数学分离是有意义的。例如，当我们说“存在一个奇怪的数字”时，我们断言，在无限数字的序列中，（至少）一个奇数是完美的，我们正在断言'

φ

(

1

）

∨

φ

(

3

）

∨

φ

(

5

）

∨

ϕ（1）∨（3）∨（3）∨（5）∨等等，我们知道是什么使它成真，什么会使它变得错误（pg 451）。根据维特根斯坦（PG 451）的说法，这里犯的错误是我们隐含地“比较命题”。

(

∃

n

）

（∃n）…’提出了命题……“此页面上有两个外来词”，这并不能提供前“命题”的语法，但仅表示其各自规则中的类比。

在维特根斯坦的中间有限主义上，量化无限领域的表达绝不是有意义的命题，即使我们已经证明了特定的数字

n

n具有特定的属性。

重要的一点是，即使在我被允许的情况下

3

2

+

4

2

=

5

2

32+42 = 52，我不应该说'

(

∃

x

,

y

,

z

,

n

）

(

x

n

+

y

n

=

z

n

）

（∃x，y，z，n）（xn+yn = zn）’，因为毫无意义地采取了毫无意义的，这并不能提供证明。不，在这种情况下，我应该只表达第一个方程式。 （PR§150）

因此，维特根斯坦采取了量化无限域上量化的所有表达式的根本位置代数定理）是毫无意义的（即“无意义的”；“ sinnlos”）表达，而不是“真正的数学命题”（pr§168）。根据维特根斯坦（Wittgenstein）的说法，这些表达不是（有意义的）数学命题，因为被排除的中间定律不适用，这意味着“我们没有处理数学命题”（PR§151）。下一节将回答关键的问题，为什么和从确切意义上说，排除中间的法律不适用于此类表达式。

2.3维特根斯坦的中间有限和算法可决定性

维特根斯坦中部还有其他理由来拒绝数学中不受限制的量化，因为在他的特质上，我们必须区分数学符号的四类串联。

在特定的数学演算中被证明是数学命题（不需要“数学真相”）。

在（或）特定数学演算中被驳斥的数学命题（不需要“数学虚假”）。

我们知道，我们知道的数学命题是适用有效的决策程序（即，我们知道如何决定它们）。

不属于任何数学演算的符号的串联，因此，这些符号不是数学命题（即非构词）。

马克·范·阿滕（Mark van Atten）在2004年（第18页）中说

…[i]从意义上讲，有四个[“关于真理的命题的可能性”]：

p

P经历了真实

p

P经历了错误

1和2尚未发生，但我们知道一个程序来决定

p

p（即，将证明的程序

p

p或证明

Ø

p

）

•P）

1和2尚未发生，我们不知道决定的程序

p

p。

Wittgenstein的#：1-3和Brouwer的#：1-3（Brouwer 1955：114; 1981：92）立即引起了惊人的惊人。然而，对于所有协议，第4号的分歧绝对至关重要。

就像各自的＃3一样激进，布鲁维尔和维特根斯坦都同意一个不确定的

φ

ϕ是一个数学命题（对于特定数学计算的维特根斯坦（Wittgenstein），如果我们知道适用的决策程序。他们也同意，直到

φ

ϕ是确定的，既不是真的也不是错误的（尽管对于维特根斯坦，“ true”意味着“在微积分中得到证明

γ

γ”）。他们不同意的是普通数学猜想的状态，例如戈德巴赫的猜想。布鲁维尔（Brouwer）承认它是数学命题，而维特根斯坦（Wittgenstein）拒绝了它，因为我们不知道如何算法对其进行决定。就像布鲁瓦（Brouwer，1948年[1983：90]）一样，维特根斯坦认为，数学中没有“未知真相”，但与布鲁威尔不同，他否认存在“不可证实的命题”，理由是这样的“命题”将是这样的“命题”没有“意义”，“这恰恰是逻辑的命题失去了其有效性”（PR§173）。特别是，如果存在不确定的数学命题（正如布鲁维尔（Brouwer）所坚持的那样），那么至少某些数学命题并不是任何存在数学计算的命题。但是，对于维特根斯坦（Wittgenstein）而言，这是数学命题的定义特征，即通过数学计算中已知的决策程序决定或决定它。正如维特根斯坦（Wittgenstein）在（PR§151）上所说的那样，

如果被排除的中间法律不适用，则也没有其他逻辑定律适用，因为在这种情况下，我们没有处理数学命题。 （反对Weyl和Brouwer）。

这里的目的不是我们需要数学中的真理和虚假性，而是我们不是 - 而是，已知每个数学命题（包括已知适用决策程序的命题）是数学计算的一部分。

为了维持这一立场，维特斯坦（Wittgenstein证明，反驳或适用的决策程序（PR§151; pg 452; pg 366; AWL 199–200）。他告诉我们：“只有在有解决方案的方法（一种'找到解决方案的逻辑方法）的情况下。”他补充说：“我们只能在数学（或做出猜想）中提出一个问题。”

在（pg 468），维特根斯坦（Wittgenstein）强调了算法可决定性的重要性：

在数学中，一切都是算法，没有意思是[Bedeutung]；即使看起来不像那样，我们似乎正在使用单词来谈论数学事物。甚至这些单词也用于构建算法。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。