维特根斯坦的数学哲学（三）

因此，当维特根斯坦（Wittgenstein）说（第368页）时，如果“ [被排除的中间定律]不举行，我们就改变了命题的概念”，他的意思是，如果我们知道，一个表达只是一个有意义的数学命题用于决定它的适用决策程序（第400页）。如果不确定一个真正的数学命题，则被排除的中间定律是我们知道我们将通过应用适用的决策程序证明或反驳该命题的意义（pg 379，387）。

对于Wittgenstein而言，数学中的语法和语义之间根本没有区别：一切都是语法。如果我们希望像我们一样在“数学命题”与“数学伪证词”之间划分，那么确保没有有意义但不可决定的（例如独立）的唯一方法是演算是规定，如果已经确定或我们知道适用的决策程序，则表达式只是给定的微积分（PR§153）中的一个有意义的命题（PR§153）。通过这种方式，维特根斯坦用认知术语定义了数学计算和数学命题。根据规定（PR§202; pg 369），已知的操作规则和已知的决策程序定义了微积分，并且表达式仅是给定的微积分（PR§155）中的数学命题，并且只有当该计算包含（pg 379）已知的（和适用）决策程序，因为“您不能有逻辑搜索您不知道的感觉”（PR§148）。

因此，维特根斯坦中部拒绝了基于两个理由的不可决定的数学命题。首先，对无限域进行量化的数字理论表达在算法上不是可决定的，因此不是有意义的数学命题。

如果有人说（像布鲁维尔一样）

(

x

）

f

1

x

=

f

2

x

（x）f1x = f2x，还有是和否，也是不可证明的情况，这意味着'

(

x

）

（x）…’是指广泛的，我们可能会谈论所有人

x

X碰巧有一个财产。但是，实际上，根本不可能谈论这样的案件和'

(

x

）

（x）…’在算术中不能广泛采用。 （PR§174）

维特根斯坦（PR§174）说，“不可证明的性能”，“前提……无法用符号制作桥”，而实际上，“存在的符号之间的连接，但不能用符号转换来表示，考虑到“ [i] f连接在那里，……必须看到它”。 Wittgenstein强调（PR§174）“ [w] e可以断言可以在实践中检查的任何东西”，因为“这是检查可能性的可能性”（斜体）。

维特根斯坦（Wittgenstein）拒绝不可决定的数学命题的第二个原因是，这是一个矛盾。维特根斯坦认为（PR§173），不能有“不可决定的命题”，因为在某些实际的微积分中无法确定的表达根本不是数学命题，因为“数学中的每个命题都必须属于数学计算”（PG”（PG 376）。

对可定性的这种根本位置导致有关不受限制的数学量化，数学诱导，尤其是新近证明的数学命题的感觉。维特根斯坦（Wittgenstein）特别指出，毫无争议的数学猜想，例如戈德巴赫（Goldbach）的猜想（以下称'gc'）和以前的猜想“费玛特（Fermat这种猜想的非系统性证明使它有一种以前没有的（pg 374），因为

我应该承认，当我得到证据时，我应该承认这是该命题的证明，或者是该主张所含义的归纳。 （PR§155）

因此，Fermat的[Last Theorem]没有任何意义，直到我可以在基本数字中搜索方程的解决方案。 “搜索”必须始终表示：系统地搜索。在寻找金戒指的无限空间中蜿蜒而行，这不是搜索。 （PR§150）

我说：所谓的“费玛特的最后定理”不是一个主张。 （甚至在算术命题的意义上也没有。）相反，它与归纳有关。 （PR§189）

要了解Fermat的最后一个定理不是一个命题及其可能与归纳有关的命题，我们需要研究Wittgenstein对数学归纳的描述。

2.4维特根斯坦的数学诱导和算法可决定性的中间说明

鉴于人们无法对无限的数学领域进行量化，因此出现的问题是：通过数学诱导的任何数字理论证明实际上是什么？

从标准角度来看，数学诱导的证明具有以下范式形式。

电感基础：

φ

(

1

）

ϕ（1）

归纳步骤：

∀

n

(

φ

(

n

）

→

φ

(

n

+

1

）

）

∀N（ϕ（n）→ϕ（n+1））

结论：

∀

n

φ

(

n

）

∀n ϕ（n）

但是，

∀

n

φ

(

n

）

∀n ϕ（n）”不是一个有意义的（真实的）数学命题，我们该对此证明有什么作用？

维特根斯坦（Wittgenstein）对这个问题的最初答案绝对是神秘的。 “归纳是算术通用性的表达”，但“诱导本身并不是一个命题”（PR§129）。

我们不是在说什么时候

f

(

1

）

f（1）持有和何时

f

(

c

+

1

）

f（c+1）来自

f

(

c

）

f（c），命题

f

(

x

）

因此，F（x）在所有基本数字中都是正确的：但是：“命题

f

(

x

）

F（x）持有所有基本数字”的意思是“

x

=

1

x = 1，和

f

(

c

+

1

）

f（c+1）来自

f

(

c

）

f（c）”。 （pg 406）

在数学归纳的证据中，我们实际上没有证明“命题” [例如，

∀

n

φ

(

n

）

∀nc（n）]通常被解释为证明的结论（pg 406，374;pr§164），而不是此伪构函数或'语句'代理“无限可能”（即，即“代理”）我们通过证据来“看到”的归纳（WVC 135）。维特根斯坦（Wittgenstein）得出结论，“我想说的。”“一旦您获得了归纳，就已经结束了”（第407页）。因此，根据维特根斯坦的说法，应通过以下方式理解数学归纳的特定证据。

电感基础：

φ

(

1

）

ϕ（1）

归纳步骤：

φ

(

n

）

→

φ

(

n

+

1

）

ϕ（n）→ϕ（n+1）

代理语句：

φ

(

米

）

ϕ（m）

在这里，归纳证明的“结论” [即“要证明的内容”（PR§164）]使用'

米

而不是”

n

n’表示“

米

M’代表任何特定的数字，而”

n

n’代表任何任意号码。对于维特根斯坦（Wittgenstein），代理陈述“

φ

(

米

）

ϕ（m）”并不是“断言其普遍性”（PR§168）的数学命题，它是可消除的伪构构代理代理，用于证明的归纳基础和归纳步骤。尽管归纳证明不能证明“无限的应用可能性”（PR§163），但它使我们“感知”可以构建任何特定命题的直接证明（PR§165）。例如，一旦我们证明了“

φ

(

1

）

ϕ（1）”和“

φ

(

n

）

→

φ

(

n

+

1

）

ϕ（n）→ϕ（n+1）”，我们无需重申模式ponens

米

-

1

M -1次证明特定命题”

φ

(

米

）

ϕ（m）”（PR§164）。直接证明，例如，

φ

ϕ（714）”（即，没有713次模式弹力的迭代）“就我的派生本身而言，不能有更好的证据来证明”（PR§165）。

维特根斯坦（Wittgenstein）在数学诱导上的根本建构主义立场的第二个非常重要的动力是他拒绝了不可确定的数学命题。

在讨论数学命题的可证明性时，有时可以说有一些数学的命题，其真理或虚假必须保持不确定。那些没有意识到的人说的是，如果我们可以使用它们并想称其为“命题”，那么在其他情况下，这些主张与所谓的“命题”完全不同。因为证明改变了命题的语法。 （第367页）

在这段经文中，维特根斯坦（Wittgenstein）暗示了布鲁瓦（Brouwer），直到1907年和1908年，他首先指出：“ tertii tertii exclusi的有效性问题等同于是否存在无法解决的数学问题”。 “这不是信念的证据的碎片……没有无法解决的数学问题”，第三，有有意义的命题/“问题”，例如“在十进制中存在十进制

π

π无限多对连续的同等数字？”，在哪个中间的定律不适用，因为“必须认为这是不确定[此类]之类的问题是否可以解决的问题”（Brouwer，1908 [1975：109-110] ）。布鲁维尔说：“不确定任何数学问题可以解决或被证明是无法解决的。”它”。

维特根斯坦（Wittgenstein）采用相同的数据，并在某种程度上得出相反的结论。正如布鲁维尔（Brouwer）所说，我们不确定所有“数学问题”是可以解决的，那么我们就知道我们没有适用的决策程序，这意味着所谓的数学命题在这里和现在都无法确定。维特根斯坦（PR§151）说：“'数学问题'与真实问题分享什么”，“简单地说它们可以回答”。这意味着，如果我们不知道如何决定表达式，那么我们就不知道如何证明（true）或被驳回（false），这意味着被排除的中间法律“不适用”和因此，我们的表达不是数学命题。

维特根斯坦（Wittgenstein）的有限主义和他对算法可判定性的标准共同阐明了他对FLT和GC等推崇有意义的猜想的高度争议。 GC不是数学命题，因为我们不知道如何决定它，如果像G. H. Hardy这样的人说他“相信” GC是真的（PG 381; LFM 123;PI§578），我们必须回答这一点。只有“对当前系统扩展的可能性有预感”（LFM 139） - 如果人们知道如何证明它，那么只能相信这种表达方式是“正确的”。可以证明GC（或FLT）的唯一意义是它可以“与归纳相对应”，这意味着未经证实的归纳步骤（例如，“

G

(

n

）

→

G

(

n

+

1

）

g（n）→g（n+1））和表达式“

∀

n

G

(

n

）

∀ng（n）”不是数学命题，因为我们没有寻找归纳的算法手段（pg 367）。在归纳证明之前，“一般命题”是毫无意义的，因为只有在发现特定证据之前已经知道了一般决策方法，才有意义”（第402页）。未经证实的“归纳”或归纳步骤不是有意义的命题，因为被排除的中间的定律并不是我们不知道我们可以证明或反驳这一表达的决策程序的意义上不存在（pg 400; wvc 82; wvc 82 ）。

然而，这个立场似乎使我们没有任何理由寻找诸如GC之类的毫无意义的“表达”的“决定”。中级维特根斯坦只说：“ [A]数学家是……由……某些与以前的系统的类比为指导”，并且如果有人关注Fermat的Last Theorem，则没有什么“错或私生”（WVC 144）。

如果例如我有一种方法来查看满足方程式的整数

x

2

+

y

2

=

z

2

x2+y2 = z2，然后是公式

x

n

+

y

n

=

z

n

xn+yn = Zn可能会激发我。我可能会让公式刺激我。因此，我会说，这里有一个刺激，但不是一个问题。数学问题总是这样的刺激。 （WVC 144，1931年1月1日）

更具体地说，如果S/他想知道是否可以在不改变其公理或规则的情况下扩展微积分，那么数学家可以让诸如FLT之类的毫无意义的猜想刺激她/他（LFM 139）。

[o] n [试图决定GC]是一个非系统性的尝试，试图构建微积分。如果尝试成功，我将再次在我面前有一个微积分，与我到目前为止使用的微积分只有不同。 （WVC 174-75； 1931年9月21日；添加了斜体）

例如，例如，我们成功地通过数学归纳来证明GC（即，我们证明了“

G

(

1

）

g（1）”和“

G

(

n

）

→

G

(

n

+

1

）

g（n）→g（n+1）”），然后我们将有一个归纳步骤的证明，但是由于归纳步骤不是事先确定的算法（PR§§148，155，157; pg 380; pg 380），in构建证明我们已经构建了一个新的演算，这是一种新的计算机（WVC 106），我们现在知道如何使用这种新的“机器零件”（RFM VI，§13）（即，未经系统地证明的归纳步骤）。在证明之前，归纳步骤不是具有感官的数学命题（在特定的演算中），而在证明后，归纳步骤是一个数学命题，具有新创建的计算中具有新的，确定的意义。没有数学意义的表达方式的这种划分，并在特定的微积分中具有确定的意义，这是一种观点，即维特根斯坦以从1929年到1944年以无数不同的方式表达。

它是否最终是可辩护的 - 这是维特根斯坦数学哲学的绝对至关重要的问题 - 这是维特根斯坦对算法可决定性，证明和数学命题的叙述的强烈反对意义，这是他对他的拒绝的一部分。数学预先确定。即使在我们算法决定数学命题的情况下，因此建立的连接也不会预先存在算法决定，这意味着即使我们有一个“数学问题”，我们通过决策过程决定了，该表达式也只有确定性当决定时，请感觉到命题。在Wittgenstein的帐户中，无论是中间还是以后，“ [a]新的证据使命题在新系统中占有一席之地（RFM VI，§13），它“将其定位在整个计算系统中”，尽管它没有“不是”当然，提及并没有描述整个命题背后的计算体系”（RFM VI，§11）。

维特根斯坦（Wittgenstein）的非正统立场是一种结构主义，部分原因是他拒绝数学语义。我们错误地认为，例如，GC具有完全确定的意义，GC是关于数学现实的数学命题的参考概念，因此只有“宇宙中其他地方存在聪明的生物”的确定意义（即，无论是确定的还是错误的，我们都知道它的命题真实价值）。维特根斯坦（Wittgenstein）以这种传统的所有形式打破了这种传统，强调，在数学中，与偶然（或经验）命题的领域不同，“如果我知道像费玛特（Fermat真理。与经验命题的真理标准不同，在决定命题之前可以知道，我们不知道一个不确定的数学命题的真理标准，尽管我们“符合类似命题的真理的熟悉”（RFM VI VI的真相” ，§13）。

2.5维特根斯坦的非理性数字中间帐户

中级维特根斯坦花了很多时间与真实和非理性的数字搏斗。造成这种情况有两个不同的原因。

首先，我们许多人不愿放弃数学中实际无限的概念的真正原因是，不合理数字的普遍概念是一定是无限的扩展。维特根斯坦（PG 471）说：“'实际无限'的概念中的混乱''

从不明确的非理性数字概念来看，从逻辑上非常不同的事物称为“非理性数字”的事实，而没有任何明显的限制。

其次，从根本上讲，中级维特根斯坦与非理性的详细作用是因为他反对基础主义，尤其是其“无间隙数学连续性”的概念，这是对实际数字的全面理论的概念（Han 2010），并设定了理论概念的概念和“证明”是算术，真实数量理论和数学整体的基础。的确，维特根斯坦（Wittgenstein）对非理性的讨论是他对设定理论的批评，因为，正如他所说的那样，“ [m]心理学是通过设定理论的有害习语而遍布的”，例如“人们说一条线的方式实际上是由要点组成的”，实际上“ [a]行是一项法律，根本不由任何东西组成”（PR§173； Pr§§181，183，＆191，＆191; PG 373，460，461 ，＆473）。

2.5.1维特根斯坦的反基础主义和真实的非理性数字

由于，根据Wittgenstein的术语，数学仅由扩展和强度（即“规则”或“法律”）组成，因此，非理性仅是一个扩展，因为它是一个符号（即“数字”，例如'数字'

√

2

2'或'

π

π’）。鉴于没有无限数学扩展的东西，因此，不合理的数字不是独特的无限扩展，而是一种独特的递归规则或法律（PR§181），它产生了合理的数字（PR§186;PR§§§ 180）。

锻炼位置的规则

√

2

2本身就是非理性数字的数字；我在这里说一个“数字”的原因是，我可以像我本身一样使用这些标志（某些构建理性数字的规则）来计算。 （第484页）

然而，由于他的反基础主义，维特根斯坦（Wittgenstein）采取了根本性的立场，并非所有递归实数（即可计算数字）都是真正的实数，这一立场将他的观点与即使是布鲁维尔的观点区分开来。

维特根斯坦（Wittgenstein）所看到的那样，这个问题是数学家，尤其是基础主义者（例如设定理论家），试图通过“描述”数学连续体的理论来适应身体的连续性（PR§171）。例如，当我们想到持续运动和理由的（单纯）密度时，我们认为，如果一个物体从a到b连续移动，并且它仅传播由“有理点”标记的距离，则必须跳过某些距离（间隔或点）不为理性数字标记。

但是，如果连续运动的物体移动的距离无法仅用有理数来相应测量，则有理数之间必定存在“间隙”（PG 460），因此我们必须首先用递归无理数来填充它们，然后，因为“所有递归无理数的集合”仍然留下了空白，即“无法无理的无理数”。

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