维特根斯坦的数学哲学（四）

连续体之谜之所以出现，是因为语言误导我们将不合适的图画应用到其中。集合论保留了对不连续事物的不恰当的描述，但对它做出了与描述相矛盾的陈述，给人留下了打破偏见的印象。而真正应该做的是指出图片不合适……（PG 471）

通过用伪无理数和非法无理数“完善”实数理论，我们无需向微分和积分添加任何必要的内容，首先是因为数轴上没有间隙（PR §§181, 183, & 191; PG 373, 460, 461, & 473; WVC 35)，其次，因为“连续统”理论不需要这些所谓的无理数，因为不存在数学连续统。正如后来的维特根斯坦所说（RFM V，§32），“数轴的图像在某种程度上是绝对自然的；也就是说，只要它不用于实数的一般理论”。我们错误地把几何线的本质误解为点的连续集合，每个点都有一个相关的实数，这使我们远远超出了数轴的“自然”图景，去寻找“实数的一般理论”数字”（Han 2010）。

因此，维特根斯坦拒绝某些构造性（可计算）数的主要原因是它们是不必要的创造，会在数学（尤其是集合论）中造成概念混乱。维特根斯坦在他对有理数和伪无理数的冗长讨论中的主要目的之一是表明，据称数学连续体所需要的伪无理数根本不需要。

为此，维特根斯坦要求（a）实数必须“与任意随机取的有理数相比较”（即“可以确定它是否大于、小于或等于一个有理数”）。数”（PR §191））和（b）“[一个]数必须衡量其自身”，如果一个“数”“将其留给有理数，我们就不需要它”（PR §191） (Frascolla 1980: 242–243; Shanker 1987: 186–192; Da Silva 1993: 93–94; Marion 1995a: 162, 164; Rodych 1999b, 281–291; Lampert 2009)。

为了证明一些递归（可计算）实数不是真正的实数，因为它们不能满足（a）和（b），维特根斯坦定义了假定的递归实数

5

→

3

√

2

5→32

作为规则“构造十进制展开式

√

2

2，将每次出现的“5”替换为“3””（PR §182）；他同样定义

π

′

π′为

7

→

3

π

7→3π

（PR §186）并在后来的工作中重新定义

π

′

π′为

第777章

→

000

π

777→000π

（PG 475）。

尽管伪非理性如

π

′

π′（无论哪种定义）“都明确如……

π

π 或

√

2

2”（PG 476），根据维特根斯坦的说法，它是“无家可归的”，因为它不使用“算术习语”（PR §186），而是依赖于特定系统的特定“附带”符号（即，在某些特定碱基）（PR §188；PR §182；和 PG 475）。如果我们谈论各种基本符号系统，我们可能会说

π

π 属于所有系统，而

π

′

π′ 只属于 1，这表明

π

′

π′ 不是真正的无理数，因为“不可能存在不同类型的无理数”（PR §180）。此外，伪无理数无法测量，因为它们是无家可归的、寄生在数字上的人工构造，而这些数字在可用于测量的微积分中具有自然的位置。我们根本不需要这些畸变，因为它们与理性和真正的非理性没有足够的可比性。根据维特根斯坦的标准，它们不是无理数，维特根斯坦有趣地断言，这些标准定义的“正是‘无理数’这个名称的含义或寻找的内容”（PR §191）。

出于完全相同的原因，如果我们将“无法无天的非理性”定义为（a）在某个基础上不受规则支配的、非周期性的、无限扩展，或（b）“自由选择序列”，维特根斯坦就会拒绝“无法无天的非理性”是因为，只要它们不受规则管辖，它们就无法与理性（或非理性）相提并论，而且也不需要它们。

[W]我们不能说，根据法律制定的小数分数仍然需要用无限一组不规则的无限小数分数来补充，如果我们将自己限制在由法律生成的分数中，这些分数将被“刷到地毯下”，

维特根斯坦认为，“这里有这样一个没有规律产生的无限小数”，“我们如何注意到它丢失了？” （PR §181；参见 PG 473, 483–84）。类似地，自由选择序列，就像“无尽的二分”或“无尽的切块”的配方一样，不是无限复杂的数学定律（或规则），而是根本没有定律，因为在每次单独投掷一枚硬币之后，该点仍然是“无限不确定”（PR §186）。出于密切相关的原因，维特根斯坦在中期（PR §146）和后期（RFM V，§25；VII，§33）嘲笑乘法公理（选择公理）。

2.5.2 维特根斯坦的实数本质主义和集合论的危险

至少从表面上看，维特根斯坦似乎在为实数算术不应该以这样那样的方式扩展这一结论提供本质主义的论证。这种对实数和无理数的本质主义解释似乎与数学家必须扩展和发明的实际自由相冲突，维特根斯坦的中间主张（PG 334）“[f]或[他]一种微积分与另一种微积分一样好”，并且维特根斯坦对复数和虚数的接受。维特根斯坦的基础主义批评家（例如集合论学家）无疑会说，我们已经将“无理数”一词扩展到无法无天的和伪无理数，因为它们是数学连续体所需要的，并且因为这样的“可想象的数”更像是受规则支配的数。无理数多于有理数。

尽管维特根斯坦强调其他人看到相似之处的差异（LFM 15），但在他对伪非理性和基础主义的中间攻击中，他不仅强调差异，而且攻击集合论的“有害习语”（PR §173）及其“最粗鲁的想象”其本身的微积分的误解”（PG 469-70），试图消除“没有这些误解，[集合论]永远不会被发明”，因为它“没有其他用途”（LFM 16-17）。复数和虚数在数学中有机地生长，并且在科学应用中证明了它们的能力，但伪无理数只是为了错误的基础主义目标而发明的无机物。维特根斯坦的主要观点不是我们不能创建进一步的递归实数——事实上，我们可以创建任意数量的实数——他的观点是我们只能真正谈论不同的实数系统（集合）（RFM II，§33）可以通过规则枚举，并且任何试图谈论“所有实数的集合”或任何添加或考虑新的递归实数（例如对角线数）的零碎尝试都是基于基本误解的无用和/或徒劳的努力事实上，在 1930 年的手稿和打字稿（以下分别为 MS 和 TS）中关于无理数和康托对角线的段落，没有包含在 PR 或 PG 中，维特根斯坦说：“‘无理数’这个概念是一个危险的伪概念”（ MS 108，1930；TS 210，1930）。正如我们将在下一节中看到的，根据维特根斯坦的说法，如果我们不能正确理解无理数，我们就只能产生构成集合论的错误。

2.6 维特根斯坦对集合论的中级批判

维特根斯坦对集合论的批评在《逻辑哲学论》中以某种善意的方式开始，他在其中谴责了逻辑主义并说（6.031）“类理论在数学中是完全多余的”，因为，至少部分地，“数学中所需的普遍性是并非偶然的普遍性”。在他的中期，维特根斯坦开始对集合论进行全面的攻击，这种攻击从未减弱。他说，集合论是“完全无稽之谈”（PR §§145, 174；WVC 102；PG 464, 470）、“错误”（PR §174）和“可笑”（PG 464）；它的“有害习语”（PR §173）误导了我们，最粗鲁的误解正是其发明的动力（Hintikka 1993: 24, 27）。

维特根斯坦对超限集合论（以下简称“集合论”）的中间批判有两个主要组成部分：（1）他对内涵-外延区别的讨论，以及（2）他对作为基数的不可枚举性的批评。在中期后期，维特根斯坦似乎更加意识到他强烈的形式主义（PG 334）和他对集合论作为纯粹形式的非数学微积分的诋毁（Rodych 1997：217-219）之间难以忍受的冲突，其中，正如我们将在第 3.5 节中看到的，导致使用超数学应用标准来区分超限集合论（和其他纯形式符号游戏）与数学演算。

2.6.1 集合论的内涵、外延和虚拟象征

对实数和数学连续性的综合理论的探索导致了“虚构的象征主义”（PR §174）。

集合论试图在比研究实数定律更普遍的层面上把握无限。它说你根本无法通过数学符号来掌握实际的无限，因此它只能被描述而不能被表示。 ……有人可能会说，这个理论是一举买一头猪。让无限尽可能地容纳在这个盒子里。 （PG 468；参见 PR §170）

正如维特根斯坦所说（PG 461），

集合论方法中的错误在于一次又一次地将定律和枚举（列表）本质上视为同一类事物，并将它们排列成并行系列，以便一个填补另一个留下的空白。

这是一个错误，因为说“我们无法枚举一组数字，但我们可以给出描述”是“无稽之谈”，因为“一个不能替代另一个”（WVC 102； 1930 年 6 月 19 日）； “法律和遵守该法律的无限级数不存在二元论”（PR §180）。

维特根斯坦说，“集合论是错误的”并且是荒谬的（PR §174），因为它预设了无限符号的虚构象征主义（PG 469），而不是具有有限符号的实际象征主义。集合论的宏大暗示，始于“狄利克雷的函数概念”（WVC 102-03），原则上我们可以通过枚举来表示无限集合，但由于人类或物理的限制，我们将改为描述它是有意的。但是，维特根斯坦说，“数学中不可能存在可能性和现实性”，因为数学是一种实际的微积分，它“只关心它实际运算的符号”（PG 469）。正如维特根斯坦所说（PR §159），“我们无法描述数学，我们只能做到这一点”这一事实“本身就废除了所有‘集合论’”。

也许这种现象最好的例子是戴德金，他在将“无限类”“定义”为“与自身真子类相似的类”（PG 464）时，“试图描述一个无限类” （PG 463）。然而，如果我们试图将这个“定义”应用于特定的类，以确定它是有限的还是无限的，那么如果我们将其应用于有限的类，例如“某一行树”，那么这种尝试就是“可笑的”。 ”，如果我们将其应用于“无限类”，那就是“无稽之谈”，因为我们甚至无法尝试“协调它”（PG 464），因为“关系

米

=

2

n

m=2n [不]将所有数字的类别与其子类之一相关联”（PR §141），这是一个“无限过程”，“将任意数字与另一个数字相关联”。所以，虽然我们可以使用

米

=

2

n

m=2n 生成自然数（即我们的域）的规则，从而构造对 (2,1)、(4,2)、(6,3)、(8,4) 等，所以我们不会关联两个无限集或扩展（WVC 103）。如果我们尝试应用戴德金的定义作为判断给定集合是否无限的标准，通过在两个生成“无限外延”的归纳规则之间建立 1-1 对应关系，其中一个是另一个的“外延子集”，我们当我们将“标准”应用于两个归纳规则时，我们不可能学到任何我们不知道的东西。如果戴德金或其他任何人坚持将归纳规则称为“无限集”，他和我们仍然必须用确定的、有限的基数来标记这样的集合与有限集之间的绝对差异。

事实上，根据维特根斯坦的说法，未能正确区分数学外延和内涵是康托尔的对角线证明被错误解释为无限集合的较小和较大基数存在性的证明的根本原因。

2.6.2 反对不可枚举性

维特根斯坦对不可枚举性的批评主要是在中期隐含的。直到 1937 年之后，他才提供了具体的论据，旨在表明，例如，康托尔的对角线无法证明某些无限集比其他无限集具有更大的“多重性”。

尽管如此，中间维特根斯坦显然拒绝这样的观念，即不可数无限集在基数上比可数无限集更大。

当人们说“所有超越数的集合大于代数数的集合”时，那是无稽之谈。该套装属于不同类型。它不是“不再”可数，它根本就是不可数！ （公关第 174 条）

与他对真无理数和乘法公理的中间观点一样，维特根斯坦在这里将“超越数集”的不可数性的对角证明视为仅表明超越数不能被递归枚举的证明。他说，从这些数字原则上不可枚举这一有保证的结论出发，得出超越数集的基数大于可递归枚举的代数数集的结论，这是无稽之谈。我们这里有两种截然不同的数字类型概念。就代数数而言，我们有一个决策程序来确定任何给定的数字是否是代数，并且我们有一种枚举代数数的方法，这样我们就可以看到“每个”代数数“将是”列举了。另一方面，在超越数的情况下，我们有证据表明某些数字是超越的（即非代数），并且我们有证据证明我们不能递归地枚举我们称之为“超越数”的每一个事物。

在（PG 461）中，维特根斯坦同样谈到了集合论的“数学伪概念”导致了一个根本性的困难，当我们无意识地预设按大小排序有理数的想法是有意义的时，这个困难就开始了——“这种尝试是可以想象的” ”——并最终导致类似的想法，即可以枚举实数，但我们随后发现这是不可能的。

尽管中级维特根斯坦似乎对某些无限集（例如实数）在基数上大于其他无限集的所谓证明持高度批评态度，尽管他在 1929 年 2 月和 1930 年 6 月讨论了“对角线程序”（MS 106） , 266; MS 108, 180），以及对角线图，这些和其他早期中期的思考并没有进入 PR 或 PG 的打字稿。正如我们将在第 3.4 节中看到的，后来的维特根斯坦在一些细节上分析了康托的对角线和不可枚举性的主张。

3. 后期维特根斯坦的数学：一些预备知识

关于维特根斯坦后来的《数学哲学》，首先要注意的也是最重要的一点是，RFM 于 1956 年首次出版，其中包含从许多手稿（1937-1944）中摘录的选集、一份大型打字稿（1938 年）的大部分内容和三份短文。打字稿（1938），每一份都构成（RFM I）的附录。由于这个原因，并且由于一些包含大量数学材料的手稿（例如，MS 123）根本没有用于 RFM，哲学家们无法阅读维特根斯坦后来关于数学的评论，因为它们写在用于 RFM 的手稿中，并且它们（直到 2000-2001 年以 CD-ROM 形式发行 Nachlass）维特根斯坦后来的大部分数学著作。因此，必须强调的是，这篇百科全书文章是在过渡时期撰写​​的。在哲学家们利用《纳克拉斯》构建出维特根斯坦完整且不断发展的数学哲学的全面图景之前，我们将无法明确地说出后来的维特根斯坦保留了哪些观点，改变了哪些观点，放弃了哪些观点。在此期间，本文将概述维特根斯坦后来的数学哲学，主要借鉴 RFM，在较小程度上借鉴 LFM（1939 年剑桥讲座），并在可能的情况下借鉴维特根斯坦的 Nachlass 中以前未发表的材料。

首先还应该指出的是，评论家们对维特根斯坦中后期数学哲学的连续性存在不同意见。一些人认为后来的观点与中间观点显着不同（Frascolla 1994; Gerrard 1991: 127, 131–32; Floyd 2005: 105–106），而其他人则认为维特根斯坦的数学哲学在很大程度上是从中后期没有重大变化或放弃（Wrigley 1993；Marion 1998）。本文的其余部分采用第二种解释，解释维特根斯坦后来的数学哲学与他的中间观点在很大程度上是连续的，除了重要地引入了数学外的应用标准之外。

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