维特根斯坦的数学哲学（五）

3.1 数学作为人类的发明

也许维特根斯坦中晚期数学哲学中最重要的不变之处是，他始终坚持数学是我们人类的发明，而且事实上，数学中的一切都是发明的。正如中期维特根斯坦说“我们创造数学”，后来的维特根斯坦说我们“发明”数学（RFM I，§168；II，§38；V，§§5、9和11；PG 469 –70）并且“数学家不是发现者：他是发明家”（RFM，附录 II，§2；（LFM 22, 82）。除非我们发明了数学，否则任何数学都不存在。

在反对数学发现时，维特根斯坦不仅拒绝柏拉图主义，他还拒绝一种相当标准的哲学观点，根据这种观点，人类发明了数学演算，但是一旦发明了演算，我们此后就会发现它的无限多个可证明的和有限的许多。真定理。正如维特根斯坦本人所问（RFM IV，§48），“难道不能说，即使没有人走这条路，规则也是如此吗？”如果“有人提出了[‘哥德巴赫定理’]的证明”，“人们不能说”，维特根斯坦问道（LFM 144），“这个证明的可能性是数学现实领域中的一个事实” ——“为了找到它，它在某种意义上必须存在”——“它必须是一个可能的结构”？

与许多或大多数数学哲学家不同，维特根斯坦拒绝接受“是”的答案，即我们发现了数学微积分的真理，这些真理在我们发明微积分的那一刻就存在了（PR §141; PG 283, 466; LFM 139）。维特根斯坦拒绝将可能性具体化为现实——可证明性和可构造性是（实际的）事实——他认为柏拉图主义者的说法至少是错误的，因为“任何两点之间可以画一条直线”。 ，……这条线已经存在，即使没有人画它”——也就是说“在普通世界中我们称之为可能性的东西在几何世界中是现实”（LFM 144；RFM I，§21）。维特根斯坦建议（PG 374），人们不妨说“国际象棋只需被发现，它就一直在那里！”

在 MS 122（3v；1939 年 10 月 18 日）中，维特根斯坦再次强调了虚幻的数学发现和真正的数学发明之间的区别。

我想摆脱这样的表述：“我现在对微积分有了更多了解”，并将其替换为“我现在有一个不同的微积分”。这样做的意义在于始终让人们清楚地看到数学知识和非数学知识之间的鸿沟。 [3]

与中期一样，后来的维特根斯坦也同样说过（MS 121, 27r；1938 年 5 月 27 日），“如果有人说：费马命题的证明不是要被发现的，而是要发明的，那就没什么帮助了。” ”。

“人类学”和数学解释之间的区别在于，在第一种解释中，我们并不想谈论“数学事实”，而是在这种解释中，事实从来都不是数学事实，永远不会使数学命题正确或错误。 （MS 117, 263；1940 年 3 月 15 日）

正如没有（真正的）数学命题一样，不存在数学事实。后来的维特根斯坦重复了他的中间观点，他说（MS 121, 71v; 27 Dec., 1938）：“数学由[微积分|微积分]组成。计算]，而不是命题”。这种激进的建构主义数学概念促使维特根斯坦发表了臭名昭著的言论——几乎没有人会发表这样的言论——例如臭名昭​​著的（RFM V，§9）：“无论听起来多么奇怪，无理数的进一步展开是对无理数的进一步展开。数学的扩展”。

3.1.1 维特根斯坦后期的反柏拉图主义：数的自然史与柏拉图主义的空虚

与中期一样，后来的维特根斯坦认为数学本质上是句法的和非指称的，这本身就使得维特根斯坦的数学哲学是反柏拉图主义的，因为柏拉图主义认为数学术语和命题指的是对象和命题。 /或事实，并且数学命题由于与数学事实一致而为真。

然而，后来的维特根斯坦希望“警告”我们，我们的思维充满了“算术作为数字的自然历史（矿物学）”的观念（RFM IV，§11）。例如，当维特根斯坦讨论分数不能按大小排序的主张时，他说这听起来“引人注目”，而微分学的普通命题则不然，因为后一个命题与物理学中的应用有关。 ,

而这个命题……似乎[仅]涉及……数学对象本身的自然历史。 （RFM II，§40）

维特根斯坦强调，他正试图“警告”我们提防这个“方面”——即上述关于分数的命题“向我们介绍了数学世界的奥秘”，它作为一个完整的整体存在于某个地方，等待着我们的推动和探索。维特根斯坦（RFM V，§16）声称，我们将数学命题视为关于数学对象和数学研究“作为对这些对象的探索”这一事实“已经是数学炼金术”，因为

不可能求助于数学中符号的含义[Bedeutung]，……因为只有数学赋予它们含义[Bedeutung]。

维特根斯坦认为，柏拉图主义具有危险的误导性，因为它暗示了一幅关于先存、预定和发现的图景，这与我们实际检查和描述数学和数学活动时所发现的完全不一致。 “我希望能够描述”，维特根斯坦（RFM IV，§13）说，“数学现在对我们来说是数字领域的自然历史，现在又是规则的集合，这是如何发生的” 。

然而，维特根斯坦并没有试图反驳柏拉图主义。相反，他的目的是隐含和明确地澄清柏拉图主义是什么以及它所说的内容（包括柏拉图主义的变体，这些变体声称，例如，如果一个命题在公理系统中是可证明的，那么就已经存在一条路径[即证明] 从公理到该命题（RFM I, §21; Marion 1998: 13–14, 226; Steiner 2000: 334），维特根斯坦说，柏拉图主义要么是“一个纯粹的真理”（LFM 239），要么是一个“图片”由“无限的阴影世界”（LFM 145）组成，因此缺乏“实用性”（参见 PI §254），因为它没有解释任何内容，而且在每个方面都具有误导性。

3.2 维特根斯坦后期的有限建构主义

尽管评论家和批评家对于后来的维特根斯坦是否仍然是有限主义者，以及如果他是的话，他的有限主义是否像他对无界数学量化的中间拒绝一样激进（Maddy 1986: 300–301, 310）意见不一，但压倒性的观点是：有证据表明，后来的维特根斯坦仍然拒绝实际的无限（RFM V，§21；Zettel §274，1947）和无限的数学扩展。

第一个，也许也是最明确的迹象表明，后来的维特根斯坦坚持了他的有限论，那就是他持续而一致地坚持认为，无理数是构造有限展开式的规则，而不是无限数学展开式。 “数学命题中无限小数的概念不是级数的概念”，维特根斯坦（RFM V，§19）说，“而是级数展开的无限技术”。我们被“函数、实数等的外延定义”所误导。 （RFM V，§35），但是一旦我们认识到戴德金切割是“一个外延图像”，我们就会发现我们并没有“导致

√

2

2 通过切割的概念”（RFM V，§34）。根据后来维特根斯坦的说法，根本不存在属性、规则、系统手段来内涵地定义每一个无理数，这意味着不存在“无理数完整”的标准（PR §181）。

正如他的中间立场一样，后来的维特根斯坦声称“

ℵ

0

ℵ0’和“无穷级数”的数学用途来自于普通语言中“无穷大”的使用（RFM II，§60）。尽管在日常语言中，我们经常使用“无限”和“无限多”来回答“有多少？”的问题，并且尽管我们将无限与巨大联系在一起，但我们对“无限”和“无穷大”的主要用法' 是指无限的（RFM V，§14）和无限的技术（RFM II，§45；PI §218）。这一事实是由“学习技术

ℵ

0

ℵ0 个数字与学习 100,000 个数字的技术不同”（LFM 31）。例如，当我们说“有无限多个偶数”时，我们的意思是我们有一种用于生成无限偶数的数学技术或规则，这与用于生成有限数的有限技术或规则明显不同数字，例如 1–100,000,000。 “我们学习无穷无尽的技术”，维特根斯坦（RFM V，§19）说，“但这里所讨论的并不是某种巨大的扩展”。

例如，无限序列不是一个巨大的扩展，因为它不是一个扩展，并且‘

ℵ

0

ℵ0’不是一个基数，因为“这张图片与微积分有何联系”，因为“它的联系不是图片的联系 | | | |与 4”（即，鉴于‘

ℵ

0

ℵ0’ 没有连接到（有限）扩展）？维特根斯坦（RFM II，§58）说，这表明我们应该在数学中避免使用“无限”这个词，只要它似乎赋予微积分某种意义，而不是从微积分及其在微积分中的使用中获取它的意义。一旦我们看到微积分不包含无限的东西，我们就不应该“失望”（RFM II，§60），而只需注意（RFM II，§59），它不是“真的有必要……想象出无限（巨大的）”。

第二个强有力的迹象表明后来的维特根斯坦坚持他的有限论，这是他对“命题”类型的持续和一致的处理“在十进制展开式中有三个连续的7”

π

π”（以下简称“PIC”）。[4]在中期，PIC（及其假定的否定，

Ø

ØPIC，即“十进制展开式中并非存在三个连续的7”

π

π”）根本不是一个有意义的数学“陈述”（WVC 81-82：注1）。根据维特根斯坦的中间观点，PIC——就像FLT、GC和代数基本定理一样——不是一个数学命题，因为我们手头没有一个适用的决策程序来在特定的微积分中决定它。因此，我们只能有意义地陈述关于展开的有限命题

π

π，如“展开式的前10000位存在三个连续的7”

π

π”（WVC 71；81-82，注 1）。

后来的维特根斯坦在《RFM》的各个段落中都维持了这一立场（Bernays 1959：11-12）。例如，有人说，因为“扩展规则决定了[

s

s] 级数完全”，“它必须隐含地确定有关级数结构的所有问题”，维特根斯坦回答：“这里你正在考虑有限级数”（RFM V，§11）。如果 PIC 是一个数学问题（或问题）——如果它受到有限性限制——那么它将在算法上是可判定的，但事实并非如此（RFM V, §21; LFM 31–32, 111, 170; WVC 102–03）。正如维特根斯坦在（RFM V，§9）中所说：“问题……当它变得可判定时，它的状态就会改变”，“[f]或者然后建立了一个以前不存在的连接”。此外，如果人们援引排除中庸法则来证明 PIC 是一个数学命题，即通过说这“两张图片中的一张……必须与​​事实相符”（RFM V，第 10 节），那么简单地说，这就引出了这个问题（RFM V，§12），因为如果我们对 PIC 的数学地位有疑问，我们就不会被断言“PIC

∨

Ø

∨ØPIC”（RFM VII，§41；V，§13）。

有趣的是，维特根斯坦的有限态度，建构主义和数学可决定性的概念在（RFM VII，§41，第2-5段）上相连。

造成了什么伤害，例如说上帝知道所有非理性数字吗？或者：即使我们只知道其中的某些人，他们已经在那里？这些图片为什么不害处？

一方面，它们隐藏了某些问题。（MS 124：139； 1944年3月16日）

假设人们继续进行计算

π

π。因此，知道一切的上帝知道他们在世界末日是否会达到“ 777”。但是他的全知识能否决定他们在世界末日之后是否会达到它？即使对他来说，仅仅扩展的规则也无法决定它没有为我们决定的任何事情。

我们可能会这样说：如果给我们扩展规则，计算可以告诉我们，第五名中有一个“ 2”。上帝能否纯粹是从扩张规则中知道的，没有计算？我想说：不。（MS 124，第175-176页； 1944年3月23日至24日）

维特根斯坦在这里的意思是，通过计算，上帝的无所不知可能是在该间隔内发生的“ 777” [

n

,

n

+

2

n，n+2]，但另一方面，上帝可能会继续计算而没有“ 777”。

π

π并不是一个完整的无限扩展，可以通过无所不知的存在来完全调查（即，事实并非一个事实，可以被无所不知的思想所知），甚至上帝只有规则，因此上帝的全知识在这方面没有优势案例（LFM 103-04；参见Weyl 1921 [1998：97]）。像我们一样，以我们适度的思想，无所不知的思想（即上帝）只能计算出扩展

π

π到一些

n

第n个小数点 - 我们的位置

n

n是分钟和上帝的

n

n是（相对）巨大的

n

第十进制位置可以正确地得出结论，因为“ 777”没有出现，因此永远不会出现。

3.3后来的Wittgenstein关于可定性和算法可定性性

以一种相当标准的解释，后来的维特根斯坦说：“在微积分中

γ

γ”与“在微积分中可证明”相同

γ

γ”，因此是微积分的数学命题

γ

γ是符号的串联，在微积分中是可证明的（原则上）的（原则上）

γ

γ（Goodstein 1972：279，282; Anderson 1958：487; Klenk 1976：13; Frascolla 1994：59）。在这种解释中，后来的维特根斯坦（Wittgenstein）排除了不确定的数学命题，但他允许某些不确定的表达是骨积的命题，因为它们在原则上是可决定的（即，在没有已知的，适用的，适用的决策程序的情况下）。

但是，有大量的证据表明，后来的维特根斯坦（Wittgenstein）坚持他的中间立场，表明表达是一个有意义的数学命题，只有在给定的微积分中，如果我们有意，我们可以根据自己的决定来确定它。例如，尽管Wittgenstein在（RFMApp。III，§6，§8）之间进行了“ PM中的可证明”和“在PM中的证明”，但他这样做是为了使用前者考虑Gödel的证明的据称结论（即，存在真实但无法证实的数学命题），然后他以自己的身份反驳“在微积分中

γ

γ”，“在微积分中得到证明

γ

γ”（即，没有“在微积分中证明

γ

γ”）（Wang 1991：253; Rodych 1999a：177）。维特根斯坦（Wittgenstein）拒绝接受的观点，即可证明但未得到证明的命题是真实的，就像他断言（RFM III，§31，1939）一样，这一观点是事实的，在这种段落中得到了证实，在这种段落中，这一约束证实了这一约束。 ] t不能确定它们在那里”，因为“直到它使它们才存在”，而当他说（RFM VII，§10，1941）时，“ [a]新的证明使该命题在新的一个新命题中占有一席之地。此外，正如我们刚刚看到的那样，维特根斯坦（Wittgenstein）拒绝了图片作为一种非构图，理由是它不是算法上可决定的，同时承认PIC的有限版本，因为它们在算法上可以决定。

也许最引人注目的证据表明，后来的维特根斯坦（Wittgenstein可决定的，当发生这种情况时，“制造”了一种新的连接，以前不存在。的确，维特根斯坦（Wittgenstein）警告我们，说“看来已经存在决定的理由已经存在”，实际上“尚未发明”。这些段落强烈反对以下主张，即后来的维特根斯坦提出了命题

φ

ϕ在微积分中是可决定的

γ

γiff原则上可证明或可排除。此外，如果维特根斯坦（Wittgenstein）担任这一立场，他会声称，contra（RFM V，§9），问题或命题并不是可以决定的，因为它简单（总是）是可决定的。如果可以证明它，而我们根本不知道是这样，那么我们的公理和规则与所讨论的命题之间已经存在联系。 Wittgenstein所说的是，可证明和可驳斥的方式是阴影的现实形式 - 可能不是数学中的现实性（Pr§§141，144，172; Pg 281，283，283，283，299，299，371，466，466; lfm lfm lfm lfm lfm lfm lfm 139）。因此，后来的维特根斯坦与中级维特根斯坦一致，即唯一可以决定一个不确定的数学命题（RFM VII，§40，1944），这是我们知道如何通过适用的决策程序来决定它的。 。

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