维特根斯坦的数学哲学（六）

3.4维特根斯坦（Wittgenstein

维特根斯坦（Wittgenstein）后来对他的反基因融合的批评，很大程度上是他的反基础主义的产物和他对扩展强度融合的批评，后来对布特理论的批评与他的中级批评相吻合（PR§§109，168; pg 334，334，369，469，469; lfm 172，224; lfm 172，224; lfm 172，224; lfm 172，224; lfm 172，224; ，229和RFM III，第43、85、90页；鉴于数学是“证明技术的Motley”（RFM III，§46），它不需要基础（RFM VII，§16），并且不能给它一个不言而喻的基础（PR§160; WVC 34; WVC 34 ＆62; RFM IV，§3）。由于SET理论的发明是为了为数学提供基础，因此最少，不必要。

即使集合理论是不必要的，它仍然可能构成数学的坚实基础。然而，在他对集体理论的核心批评中，后来的维特根斯坦否认了这一点，称对角线证明并不能证明不是剥夺性的，因为“ [i] t毫无意义地说：'因此，x数字不是可否认的”（ RFM II，§10）。当对角线被解释为更大和较少的无限集的证明时，这是一个“膨胀的证据”，正如庞加莱所说的那样（1913：61-62），声称可以证明或显示更多的“允许它允许它”的声明（RFM II，§21）。

如果有人说：对角度程序的考虑，向您表明，“实际数字”的概念与我们的概念“基数”的比喻要比我们被某些类比误导的概念的概念倾向于相信，那将具有良好的好处和诚实的感觉。但是事实恰恰相反：一个假装将实际数字的“实数”与基数比较。两种概念之间的种类差异用偏斜的表达形式表示为扩展的差异。我相信，并希望，未来的一代会嘲笑这个hocus pocus。 （RFM II，§22）

时间的疾病是通过人类生活方式的改变来治愈的……（RFM II，§23）

对角证明的“ hocus pocus”一如既往地放在维特根斯坦，在扩展和进取的汇合上，无法正确区分集合作为生成扩展和（有限）扩展的规则。通过这种混乱，“同类的差异”（即无限规则与有限扩展）“由表达的偏斜形式表示”，即是两个无限扩展的基数差异。维特根斯坦（Wittgenstein）表示，对角线不仅不能证明一个无限集的基数比另一个无限套件更大，因此没有任何证明，仅仅是因为“无限集”不是扩展，因此不是无限的扩展。但是，我们没有诚实地解释Cantor的对角线证明，而是采取证据“显示出比无限大的数字”，这“使整个思想都旋转了，并给人以愉悦的悖论感觉”（LFM 16-17） - “当我们想到设定理论中的某些定理时，“狡猾的人攻击我们” - “当我们执行逻辑上的策略时”（PI§412;§426; 1945）。维特根斯坦（LFM 16）说：“可能是发明的主要原因[set理论]”。

尽管Cantor的对角线并不是非剥夺性的证明，但是当Wittgenstein本人以（RFM II，§1）表示以建设性的方式表达时，“它使数学主张有意义，即某种数字是某种数学主张。因此，与系统的所有内容不同”（RFM II，§29）。也就是说，证据证明了不可能力：它证明，对于任何给定的确定的实际数字概念（例如递归真实），一个人不能枚举“所有”此类数字，因为人们总是可以构造一个对角线数，而对角数字，该数字属于相同的概念并且不在枚举中。维特根斯坦说：“一个人可能会说。”

如果已经规定，无论您在一个系列中安排的这个概念下，这个系列的对角线数也属于该概念，我将命名为“ x” x不可估算。 （RFM II，§10;参见II，§§30，31，13）

Wittgenstein（RFM II，§33）的说法，要从这一中学到的一课是“在数字行中有不同的非理性点系统”，每个系统都可以由递归规则给出，但是“没有非理性数字系统”和“也没有超级系统，没有“高阶无穷大的非理性数字”。 Cantor表明，我们可以构建“无限的”非理性数字系统，但是我们不能构建所有非理性数字的详尽系统（RFM II，§29）。正如维特根斯坦（Wittgenstein）在（MS 121，71r; 1938年12月27日）所说的那样，该通过后的三页（RFM II，§57）：

如果您现在致电Cantorian Procedue One用于生产新的实际数字，那么您现在将不再倾向于谈论所有实际数字的系统。 （添加了斜体）

然而，从康托尔的证据中，理论家错误地得出结论，“非理性数字集”在多重性上比任何非理性列举（或理性集合）更大，而唯一得出的结论是没有这样的结论是没有这样的事情。所有非理性数字的集合。 “命题”的真正危险方面，例如“实际数字不能以系列的安排”和“集合……不是不可估量的”，是他们使概念形成[即我们的发明]“看起来像是自然的事实” （即我们发现的东西）（RFM II§§16，37）。充其量，我们对“实际数字”的概念有一个模糊的想法，但前提。

3.5额外的应用作为数学意义的必要条件

Wittgenstein（重新）引入了数学上的应用程序标准，该标准的主要和最重大的变化是将数学撰写的著作，用于将单纯的“标志游戏”与数学语言游戏区分开来。维特根斯坦说：“ [i]对于数学至关重要。

[i] t是数学之外的用途，因此，标志的含义[bedeutung]将标志游戏变成数学。 （即，数学“语言游戏”； RFM V，§2，1942; LFM 140-141，169–70）

正如维特根斯坦（Wittgenstein）在（RFM V，§41，1943）所说的那样，

[c]在“必要”命题中发生的插入也必须发生，并且在非必要的命题中具有[bedeutung]的意义。 （添加了斜体）

维特根斯坦说，如果两个证据证明了相同的命题，这意味着“两者都将其作为相同目的的合适工具说明”，这是“是对数学之外的事物的典故”（RFM VII，§10，1941；斜体图）） 。

如我们所见，该标准存在于Tractatus（6.211）中，但在中期明显不存在。缺席的原因可能是中级维特根斯坦想强调的是，在数学中，一切都是语法，没有意义。因此，在他对希尔伯特的“内容”数学的批评（希尔伯特，1925年）和布鲁威尔依赖直觉的依赖确定（尤其是不可避免的）数学命题的有意义的内容的依赖，维特根斯坦（Wittgenstein数量的额外应用（PR§109; WVC 105）。

似乎有两个原因是，后来的维特根斯坦重新引入了数学语言游戏的必要条件。首先，后来的维特根斯坦（Wittgenstein）对使用不同“生活形式”的自然语言和形式语言更加兴趣（PI§23），这促使他强调，在许多情况下，在许多情况下，数学“命题”的功能就好像在于一样。这是一个经验命题“变为规则”（RFM VI，§23），并且数学在许多形式的人类活动（例如，科学，技术，预测）中扮演着各种各样的应用角色。其次，数学上的应用标准可以缓解维特根斯坦（Wittgenstein）对布景理论的中间批评与他的强烈形式主义之间的紧张关系，根据这些批评，“一个微积分与另一个微积分一样好”（pg 334）。通过从非数学标志游戏中划分数学语言游戏，维特根斯坦现在可以声称“暂时存在”，Set Theole只是一个正式的标志游戏。

这些考虑可能会导致我们说

2

ℵ

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ℵ

0

2ℵ0＞ℵ0。

也就是说：我们可以使我们的考虑使我们深入研究。

或者：我们可以这样说，并将其作为我们的原因。

但是，如果我们这样说 - 下一步该怎么办？在哪种实践中，这个命题是锚定的？暂时是一块数学架构，它悬挂在空中，看起来好像是一个体系结构，但没有任何东西，但没有任何支持。 （RFM II，§35）

并不是威特根斯坦（Wittgenstein）后来对设定理论变化的批评，而是，一旦我们看到该集合理论没有额外的数学应用，我们将专注于其计算，证明和散文，并“主张计算的利益进行测试”（RFM II，§62）。通过维特根斯坦（Wittgenstein）的“非常重要”的“研究”（LFM 103），我们会发现，维特根斯坦（Wittgenstein）期望，这一设定理论是无趣的（例如，“真实”的不动物性不感兴趣和无用），这是我们的整个过程）对它的兴趣在于对证明的错误解释的“魅力”（LFM 16）。更重要的是，尽管“所有[它]闪闪发光的概念形成的核心都有坚实的核心”（RFM V，§16），一旦我们将其视为“思想的错误”，我们将看到诸如“

2

ℵ

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2ℵ0＞ℵ0英寸不是在数量的额外练习中锚定的，即“康托尔的天堂”“不是天堂”，然后我们将“ [我们的]自己的雅阁的雅阁离开（LFM 103）。

但是，必须强调的是，后来的维特根斯坦仍然坚持认为，数学演算中的操作纯粹是正式的，句法操作，该操作受语法规则（即形式主义的固体核心）管辖。

当然，很明显，数学家在他确实在“玩游戏”的情况下……[是]按照某些规则行事。 （RFM V，§1）

要说数学是一个游戏的意思是：在证明时，我们永远不需要吸引标志的含义，即对他们的数学应用。 （RFM V，§4）

在中间，维特根斯坦（Wittgenstein）谈到“算术（AS）几何形状”（pr§109＆§111）时，后来的维特根斯坦（Wittgenstein §14），证明的“几何性说服力”（RFM III，§43）和“几何应用”，根据“转换规则”（RFM VI，§2，1941，§2，1941，§2，1941 §2，1941 ）表明：“当数学被所有内容剥离时，仍然可以根据某些规则从他人构建某些迹象”（RFM III，§38）。因此，符号的串联是否是给定数学演算的命题（即，具有额外数​​学应用的演算）仍然是一个内部的语法问题，我们可以通过了解证明和决策程序来回答演算。

3.6 Wittgenstein在Gödel和不可确定的数学命题上

RFM可能是Wittgenstein（RFMApp。III）对“真实但无法证实的”数学命题的处理。早期的审稿人说：“他的论点是狂野的”（Kreisel 1958：153），“戈德尔定理上的段落……质量差或包含确定的错误”（Dummett 1959：324），以及该（RFM App。 iii）“对戈德尔的作品没有任何启示”（Goodstein 1957：551）。安德森说：“维特根斯坦似乎想立法[关于完整性的[q]关于完整性的[q] ues”。此外，伯恩斯（Bernays），安德森（Anderson，1958：486）和克雷塞尔（Kreisel）（1958：153-54）声称，维特根斯坦（Wittgenstein）未能欣赏“戈德尔（Gödel欣赏戈德尔第一个不完整定理的条件性质。关于这四位早期专家审稿人的阅读，维特根斯坦未能理解戈德尔定理，因为他没有理解戈德尔的证明的机制，他错误地认为他可以通过“ pm in pm”（即princia principia Mathematicaa in in true nide）进行反驳或破坏Gödel的证明）带有“在PM中被证明/可证明的”。

有趣的是，我们现在有两个证据（Kreisel 1998：119; Rodych 2003：282，307）在1937 - 38年Wittgenstein在1937 - 38年仅阅读了非正式的“休闲”（MS 126，126，126-126-126-126-126-126-126-126- 127; 1942年12月13日）（Gödel，1931年）的引入，因此，他对自我指南的命题作为“真实但无法证实的命题”可能是基于戈德尔的介绍性的，命题[

右

（

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q

r（q）; q]说……

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R（q）; q]无法证明”（1931：598）和“ [

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r（q）; q]自我说，这是无法证明的”（1931：599）。令人不安的是，四位著名评论家中只有两个甚至提到了维特根斯坦（RFM VII，§§19，21-22，1941））关于“戈德尔”的第一个不完整定理的明确说明尽管有缺陷，但捕获了戈德利安命题的数量理论性质和戈德尔数字的功能，这可能是因为Wittgenstein到那时已经阅读或掠过了Gödel的1931年论文的尸体。

因此，关于（RFMApp。III）要注意的第一件事是，Wittgenstein错误地思考 - 也许是因为Wittgenstein仅阅读了Gödel的介绍 - （a）Gödel证明了PM有真实但无法证明的命题（何时，何时，当时，实际上，戈德尔语法表明，如果PM为

ω

一致的是，在PM中，Gödelian的命题是不可决定的）和（b）Gödel的证明使用自指的命题来表明PM的真实但无法证明的命题。

因此，维特根斯坦在（RFMApp。III）中有两个主要目标：（1）驳斥或破坏PM的真实但无法证明的命题的戈德尔证明，以及（2）证明，证明，按照他自己的意义，“在微积分中是正确的

γ

γ”用“在微积分中证明

γ

γ”，一个真实但无法证明的微积分的概念

γ

γ是毫无意义的。

因此，在（RFMApp。III，§8）（以下简单的“§8”）中，维特根斯坦开始了他的介绍，他说他要成为戈德尔的证明，通过让某人说：

我已经在罗素的象征意义上构建了一个命题（我将使用“ p”来指定它），并且通过某些定义和转换，它可以解释为：“ P在罗素的系统中无法证明P。”

也就是说，维特根斯坦（Wittgenstein）的戈德利亚人（Gödelian）构建了一种语义上自我指出的命题，并特别表明它在PM中无法证明。有了这个错误的，自我指的命题p [也使用（第10节），（§11），（§17），（§18）]，Wittgenstein提出了与Gödel自己的非正式语义证明的证明 - 凯奇（Scrieve-Sketch） '在他的著名论文（1931：598）的介绍中。

我不能说一方面的这一主张是真实的，另一方面是无法证明的？因为假设它是错误的；然后，确实可以证明。那肯定不可能！如果证明了这一点，则证明它是无法证明的。因此，它只能是真实的，但无法证明。 （§8）

这里的推理是双重还原。假设（a）p在罗素的系统中必须是真实或错误的，并且（b）p必须在罗素的系统中证明或无法证明。如果（a），p必须是正确的，因为如果我们认为p是错误的，因为p本身说它是不可证明的，“确实可以证明它是真的”，并且如果它可证明，则必须是真实的（这是一个矛盾的），因此，鉴于P的含义或所说的，P是无法证明的（这是矛盾）。第二，如果（b），p必须是不可证实的，因为如果p“被证明，则证明它是不可证明的”，这是矛盾的（即，P是可证明的，并且在PM中不可证明）。因此，P“只能是真实的，但无法证明”。

维特根斯坦说，为了驳斥或破坏这种“证明”，如果您已经证明了

Ø

磷

¬p，您已经证明了P是可证明的（即，因为您已经证明，P在Russell的系统中不能证明P是不可证明的），并且“您现在可能会放弃这样的解释，说明它是无法证实的”（即，即。 ，“ p在罗素的系统中无法证明”），因为只有在我们使用或保留这种自指解释（第8节）时才能证明矛盾。另一方面，维特根斯坦（Wittgenstein）认为（§8），'[i] f您认为该命题在罗素的系统中是可证明的，这意味着它在罗素的意义上是真实的，而解释“ p是不可证明的”放弃”，因为再次，只有自我指出的解释才会引起矛盾。因此，维特根斯坦（Wittgenstein）对“戈德尔（Gödel）的证明”的“反驳”包括表明，如果我们不将“ p”解释为“ p”，就不会出现矛盾证明

Ø

磷

•P和证明

Ø

磷

¬P不能产生P。换句话说，证据中的错误是错误的假设，即数学命题“ P”“可以被解释为：'P在Russell的系统中无法证明P”。正如维特根斯坦（Wittgenstein）在（§11）上所说的那样，“构成这种句子的原因”。

“戈德尔的证明”的“反驳”与维特根斯坦的数学句法概念完全一致（即，数学命题没有意义，因此不能具有“必需的”自我参照意义），以及他在之前和之后所说的（§§） 8），他的主要目的是表明（2）以他自己的条件，因为“在微积分中是正确的

γ

γ”与“微积分证明”相同

γ

γ”，一个真实但无法证明的微积分的概念

γ

γ是一个矛盾。

要展示（2），维特根斯坦（Wittgenstein）首先询问（第5节），他要成为什么，即中心问题，即“罗素系统中有真正的主张，这在他的系统中无法证明吗？”。为了解决这个问题，他问：“罗素系统中的真正命题是什么……？”，他简洁地回答（第6节）：“'p'是true = p”。然后，维特根斯坦（Wittgenstein）通过将第二个问题重新提出（第5节）的第二个问题来阐明这个答案，“在罗素的游戏中宣称的命题是在什么情况下[即系统]？”，然后他通过说：“答案是：最终：他的证据之一，或作为“基本法”（pp。）”（第6节）。简而言之，这是维特根斯坦（Wittgenstein下午”。

至少为了满足他的满意，维特根斯坦（Wittgenstein）唯一的“ pm in pm in pm in PM”的唯一真实的，非千篇一律的概念回答了（第8节）问题：“我不能说这个主张……是真实的，是真实的，……无法证明？”通过（重新）说出自己的（第5-6节）的“ PM中的true”概念，如“ PM中被证明/可证明”：

“在罗素的制度中，真实”的意思是：在罗素的系统中证明了； “罗素系统中的错误”的意思是：相反，罗素的系统证明了这一点。

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