维特根斯坦的数学哲学（七）

这个答案在（第7节）中以稍有不同的方式给出，其中维特根斯坦问：“可能没有在[罗素]象征主义中写的真正命题，但在罗素的系统中不能证明吗？”，然后回答'true'true'命题，因此在另一个系统中是真实的命题，即可以在另一个游戏中断言。”鉴于他在（第5、6和8节）中所说的话，维特根斯坦（第7款）的观点是，如果命题是在“罗素的象征主义”中“写成”的，这是事实，必须在另一个系统，因为那是“数学真理”。类似地（第8节），“如果在罗素意义上以外的某些命题应该是错误的，那么它并不矛盾，因为它在罗素的意义上被证明了”，因为“ [w] hat称为'失去''在国际象棋中可能构成另一场比赛中的胜利。”正如安德森（Anderson）几乎说的那样，这个文本证据肯定表明，维特根斯坦（Wittgenstein

γ

γ”仅意味着“在微积分中证明

γ

γ”。

关于（RFMApp。III）的这种（自然）解释，早期的审稿人的结论是，维特根斯坦未能理解戈德尔论点的机制似乎是合理的。首先，Wittgenstein错误地认为Gödel的证明本质上是语义上的，它使用并需要一个自指的命题。其次，维特根斯坦（Wittgenstein）说（§14），“ [a]矛盾是无法使用的，因为“预测”是“不可能的结构是不可能的”（即，P在PM中是无法证实的），这至少在表面上，至少在表面上，似乎表明Wittgenstein未能欣赏Gödel证明的“一致性假设”（Kreisel，Bernays，Anderson）。

实际上，如果Wittgenstein没有阅读和/或未能通过至少1941年的1941年理解Gödel的证据，那么如果以及当他将其理解为PM中P中P中P中不可证明的证明，他将如何回应。 PM的一致性？鉴于他的数学句法概念，即使使用了数学应用标准，他也会简单地说，p，qua表达在句法上独立于pm的命题并不是pm的命题，如果它在句法上与所有现有的数学语言游戏无关，这不是数学命题。此外，似乎没有引人注目的非音乐原因（无论是在系统内还是国外），因为Wittgenstein可以通过将P包括在PM中或采用数学真理的非句法概念来容纳P（例如Tarski-truth（例如Tarski-truth（例如Tarski-truth（ Steiner 2000））。的确，维特根斯坦（Wittgenstein）质疑P在纳克拉斯（Nachlass）的戈德尔（Gödel）的各种讨论中，p的系统内部和额外的可用性质疑，他强调说，一个人不能“做出主张的真相['p'或'p'或'因此，我很合理，因为除了做这些legerdemain之外，您无法使用它。”

在对RFM进行最初的严厉评论之后，对Wittgenstein的（RFMApp。III和RFM VII，§§21–22）的关注很少，直到Shanker的同情心（1988b）。然而，在过去的22年中，评论员和批评家对维特根斯坦关于戈德尔的言论进行了各种解释，有些人在很大程度上是同情的（Floyd 1995，2001），而其他人则提供了更加混合的评估（Rodych 1999a，2002，2002，2003; Steiner 2001; Priest; Priest; Priest; Priest; Priest; Priest; Priest; Priest》; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest》 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001; Priest 2001》; 2004; Berto 2009a）。最近，也许最有趣的是，Floyd＆Putnam（2000）和Steiner（2001）引起了关于Wittgenstein关于不可证明，数学真理的反思，以及Gödel的第一个不完整定理的新有趣的讨论（Rodych 2003，2003，2006; Bays 2004; Sayward 2005; Sayward 2005; Sayward 2005; Sayward 2005;和Floyd＆Putnam 2006）。

4。数学哲学对数学的影响

尽管所有评论员都会同意令人怀疑（Wrigley 1977：51; Baker＆Hacker 1985：345; Floyd 1991：145，143; 1995：376; 2005：80; 2005：80; Maddy 1993：55; Steiner 1996; Steiner 1996：202-204）,,以下段落似乎捕捉了维特根斯坦对数学哲学的态度，并且在很大程度上是他观看自己在数学方面的作品的方式。

将未来的数学家与当今的数学家区分开来的真正敏感性将是一个更大的敏感性，而这将是普遍的数学；由于人们将对绝对清晰度的目的而不是发现新游戏的意图。

哲学上的清晰度将对数学的增长产生与阳光对马铃薯芽的生长相同的影响。 （在黑色的酒窖里，它们长长的院子。）

我的数学评论一定会对数学家感到震惊，因为他一直接受培训，以免沉迷于我所发展的那种思想和怀疑。他学会了将他们视为可鄙的东西，……他已经从他们那里获得了拒绝。

也就是说，我列出了所有孩子学习算术等时觉得困难的问题，以及教育压抑而没有解决的问题。我对那些压抑的疑虑说：你说得很对，继续问，要求澄清！ (PG 381, 1932)

在他的中后期，维特根斯坦相信他正在为数学的各个方面和部分、数学概念以及数学的哲学概念提供哲学上的清晰度。由于缺乏这种清晰度，也不以绝对清晰度为目标，数学家们构建了新的游戏，有时是因为对数学命题和数学术语的含义有误解。教育，尤其是数学方面的高等教育，并不鼓励清晰度，而是压制它——值得回答的问题要么不被问出，要么被忽视。然而，未来的数学家将更加敏感，这将（反复）修剪数学扩展和发明，因为数学家将认识到新的扩展和创造（例如，超限基数算术命题）与数学没有很好的联系。坚实的数学核心或现实世界的应用。哲学上的清晰最终将使数学家和哲学家能够“直入正题”（PG 467）。

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