数学哲学中的结构主义（一）

1. 取消式结构主义与非取消式结构主义

1.1 20 世纪 60 年代结构主义争论的开始

1.2 20世纪80年代的巩固和进一步讨论

1.3 结构主义立场的第一个分类

2. 后来的发展和更广泛的分类

2.1 形而上学和认识论的挑战

2.2 结构主义的几个其他变体

2.3 更广泛的结构主义立场分类

3.范畴论结构主义

3.1 范畴论作为数学结构的研究

3.2 分类基础及其争论

3.3 范畴结构主义的显着特征

4. 结论

4.1 数学结构主义的种类

4.2 超越数学的结构主义

参考书目

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相关条目

1. 取消式结构主义与非取消式结构主义

1.1 20 世纪 60 年代结构主义争论的开始

作为英语数学哲学中的一个主要立场，结构主义的讨论通常被认为始于 20 世纪 60 年代。这方面的一篇核心文章是 Paul Benacerraf 的《What Numbers Could Not Be》（1965 年；另参见 Benacerraf 1996 年，后来的后续文章）。本文的背景和陪衬是当时占主导地位的立场，即公理集合论为现代数学提供了基础，包括允许我们用集合来识别所有数学对象。例如，自然数 0, 1, 2, ... 可以用有限冯·诺依曼序数（从

∅

∅ 代表 0 并使用后继函数

f

：

x

→

x

∪

{

x

}

）

f:x→x∪{x});类似地，实数可以用集合论构造的戴德金割断来识别。算术真理就是关于这些集合论对象的真理；这也推广到其他数学理论，所有这些理论的对象也被视为集合。

贝纳塞拉夫认为，这种集合论的基础主义立场歪曲了算术的结构主义特征，尤其是数学的结构主义特征。首先，我们可以同样很好地使用有限的 Zermelo 序数，而不是使用有限的冯·诺依曼序数（再次从

∅

∅ 代表 0 但使用替代后继函数

f

：

x

→

{

x

}

）

f:x→{x});并且还有无数个其他的等价选择。类似地，我们可以使用基于有理数上柯西序列的等价类的构造，而不是按照戴德金割法对实数进行集合论构造，正如康托尔和其他人所建议的那样。这个基本观察很难否认，甚至集合论基础主义者也能同意它（更多内容见下文）。但贝纳塞拉夫从这一基本观察中得出了一些更进一步、更具争议性的结论。

贝纳塞拉夫特别指出，自然数不应等同于任何集合论对象；事实上，它们根本不应该被视为物体。相反，数字应该被视为“结构中的位置”，例如，在“自然数结构”、“实数结构”等中。关于这些位置的所有重要的是它们的结构属性，即那些“ ]从它们之间的关系通过级数排列而得出”（1965：70），而不是冯·诺依曼序数、戴德金割线等进一步的集合论属性。我们研究并试图描述的是什么在现代数学中，沿着这样的思路，就有相应的“抽象结构”。正是在这个意义上，贝纳塞拉夫提出了关于数学的结构主义立场。然而，这个立场的细节是开放的，有些模糊，包括我们最终应该如何思考贝纳塞拉夫的抽象结构，除了它们不被等同于集合论关系系统（由作为域的集合组成，集合-在它们上定义的理论关系和函数）。

20 世纪 60 年代对结构主义兴起产生影响的第二篇文章是希拉里·普特南 (Hilary Putnam) 的《没有基础的数学》(1967)。就像贝纳塞拉夫的例子一样，对普特南来说，陪衬的是集合论的基础主义立场。有时，尽管并非总是，这种立场被理解为现实主义意义上的（例如，哥德尔），即作为对抽象对象的独立领域的描述，即以策梅洛-弗兰克尔公理为特征的集合的宇宙。与这一立场相反，普特南提出了一种“如果-那么主义”的形式（这可以追溯到罗素）。这种替代方案可以再次用自然数来说明。算术定理应该怎么说“

2

+

3

=

5

2+3=5”，现在明白了吧？应该将其分析为具有以下形式：

对于所有关系系统 M，如果 M 是 Dedekind-Peano 公理 [算术基本公理] 的模型，那么

2

中号

+

3

中号

=

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中号

2M+3M=5M

（在哪里

2

中号

2M，

3

中号

3M 和

5

中号

5M 是模型 M 中“扮演”2、3 和 5 的角色）。对于实数也是如此（有关详细信息，请参阅 Reck & Price 2000）。

在这方面，我们不谈论如果-那么主义，而是可以将普特南的立场描述为一种“普遍主义结构主义”（再次参见Reck＆Price 2000），因为它涉及对相关系统的普遍量化，并且因为我们的两个结构主义口号上面看起来很满意。通常对这一立场的反对是“非真空问题”。它基于这样的观察：如果没有任何东西满足先行条件，例如，如果没有 Dedekind-Peano 公理的模型，则给定形式的 if-then 语句空洞为真。 （因为这也适用于“

2

+

3

=

6

2+3=6”，总体结果显然是不理想的。）作为回应，人们可以调用公理集合论来提供所需的模型。但从普特南的角度来看，这有两个缺点：首先，它似乎依赖于关于集合论的现实主义和基础主义观点，从而破坏了如果-那么主义的主旨。其次，更基本的是，它迫使我们以有别于其他数学理论的方式对待集合论，以免造成循环。作为摆脱这些困境的一种方法，普特南建议采用模态逻辑。然而，细节仍然悬而未决，并且很大程度上未被探索，特别是对于集合论的情况。

1.2 20世纪80年代的巩固和进一步讨论

理解 Benacerraf 在 1965 年文章中的讨论的一种方法是，他建议将自然数结构视为一种新型抽象实体，不同于集合论对象和对象系统。那么一切都取决于这到底意味着什么，包括人们是否应该将这些结构视为物体本身，从而以某种实质性的、仍有待解决的方式具体化它们，或者不。贝纳塞拉夫本人不愿意做后者，这与他对谈论数学对象的整体犹豫不决是一致的。

后来的一位作家在 20 世纪 80 年代初接受了贝纳塞拉夫的想法，并试图进一步阐明它们，同时仍然避免将结构视为成熟的物体，他是迈克尔·雷斯尼克（参见 Resnik 1981、1982、1988，并且最系统地，1997）。对他来说，现代数学也涉及“结构主义观点”。这包括一种模式识别；雷斯尼克的主要目标之一是进一步阐明相应的认识论。沿着贝纳塞拉夫的思路，数学对象被视为相应模式中的“位置”；这意味着我们可以“从表面上看”数学陈述，即将“0”、“1”、“2”等视为指代这些位置的单数术语。与此同时，这样做并不需要具体化底层结构，这意味着为它们指定精确的身份标准，这是雷斯尼克有意避免的。 （在这一点上，他将自己描述为奎因主义者，从某种意义上说，他采用了奎因的口号：“没有身份就没有实体！”）

Stewart Shapiro 是第二位数学哲学家，他在 20 世纪 80 年代初尝试以 Benacerraf 的论文为基础（参见 Shapiro 1983、1989，以及最系统的 Shapiro 1997）。通过更多地关注形而上学问题并抛开对作为对象的结构的犹豫，夏皮罗的目标是捍卫数学结构主义的更彻底的现实主义版本，从而拒绝唯名论和建构主义观点（更多内容见下文）。这种现实主义包括上面提到的语义方面（从表面上看数学陈述）；但夏皮罗还想进一步澄清有关“结构中的位置”的讨论。他对它们区分了两种观点。根据第一个，所讨论的位置被视为“办公室”，即可以被各种对象填充或占据的槽位（例如，自然数结构中的位置“0”被

∅

有限冯·诺依曼序数级数中的∅）。根据第二种观点，位置本身被视为“对象”；抽象结构也是如此。

对于夏皮罗来说，所讨论的结构因此具有双重性质：它们是“普遍的”，即自然数结构可以通过各种关系系统（由有限冯·诺依曼序数组成的系统，或由有限冯·诺依曼序数组成的系统）实例化。策梅洛序数词等）；但它们也是“细节”，用单数术语命名并被视为对象本身。为了进一步捍卫后者，夏皮罗发展了一种一般结构理论，即指定哪些结构存在的公理理论。虽然以集合论为模型，但该理论是独立证明的（更多信息见下文）。因此，它旨在支持“先物结构主义”。夏皮罗的“ante rem 与 in re”术语明确提到了中世纪关于共相的讨论。我们上下文中的关键点是，他的理论中指定的结构在本体论上是独立于它们的任何实例化的，实际上是先于它们的任何实例化的。换句话说，结构不仅存在于它们的实例化中，而且独立于它们和它们之前。

虽然雷斯尼克和夏皮罗的结构主义立场有时会被识别，但考虑到已经提到的差异，这有点误导。尽管如此，还是有很大的重叠。两者都将数学结构视为具有位置等的某些模式（无论这些模式是否在现实主义意义上被视为成熟的对象）。对于 Resnik 和 Shapiro 来说，同构的概念至关重要（或者一些相关的、更一般的等价概念；参见 Resnik 1997 和 Shapiro 1997）。也就是说，对于两者来说，相关结构/模式都可以由同构关系系统的任何相关类来实例化。这对应于以下事实：对于自然数、实数和类似情况，所讨论的公理系统都是分类的（或者在集合论的情况下是准分类的）。当然，并非每个数学公理系统都具有该特征，例如，群论或环论的公理系统允许非同构实例或模型。对于雷斯尼克和夏皮罗来说，这种“代数”理论应该以一种不同的、更衍生的方式来对待。他们的结构主义观点主要适用于“非代数”理论，即范式算术。

20 世纪 80 年代还有另一种结构主义立场，它完全不同，而且显然不是现实主义的，即杰弗里·赫尔曼 (Geoffrey Hellman) 提出的立场（参见 Hellman 1989、1996 和后来的文章）。 Resnik 和 Shapiro 的灵感来自 Benacerraf 1965 年的文章，而 Hellman 的出发点是 Putnam 1967 年的文章。事实上，赫尔曼的“模态结构主义”是普特南模态的“如果-那么”主义的系统发展。模态方面现在以真正的独创性进行了详细说明，包括集合论的情况（建立在 Zermelo 等人的工作基础上）。对于赫尔曼来说，诸如“

2

+

3

=

5

2+3=5”分析如下：

必然地，对于所有关系系统 M，如果 M 是 Dedekind-Peano 公理的模型，那么

2

中号

+

3

中号

=

5

中号

2M+3M=5M。

为了避免非空问题，他添加了以下假设：

可能存在一个 M，使得 M 是 Dedekind-Peano 公理的模型。

（我们将在下面回到它的理由。）

正如赫尔曼明确指出的那样，他的目标是发展一种“没有结构的结构主义”（Hellman 1996），因为雷斯尼克和夏皮罗假设的抽象结构的存在被他立场的模态方面所取代（以及关于必要性和可能性）。事实上，赫尔曼的立场是一种唯名论，即消除对任何抽象实体（不仅是抽象结构，还包括集合等）的吸引力。然而，它也不意味着依赖于可能性，即以某种模糊的方式存在的可能物体。这使得赫尔曼对所讨论的模式有了具体的理解。它们是基本的，即相关的可能性和必要性不能进一步简化。另一方面，它们是根据模态逻辑定律（系统 S5 的定律）精确指定的。

1.3 结构主义立场的第一个分类

从 20 世纪 80 年代末开始，夏皮罗和赫尔曼的立场经常被视为结构主义的两个主要选择。 （这在Hellman & Shapiro 2019中仍然有所体现。）由于它们有很大不同，这已经表明将“数学哲学中的结构主义”视为独特立场或统一视角是错误的，尽管某些笼统的口号是错误的。共享。除此之外，其他版本的结构主义在 20 世纪 80 年代末和 1990 年代初开始发挥作用（包括我们将看到的比 1960 年代更早的“集合论结构主义”形式）。因此，关于结构主义的讨论变得更加丰富和复杂。

为了澄清这种情况，查尔斯·帕森斯提出了第一种分类法，或者至少区分了两种主要的立场（Parsons 1990）。也就是说，结构主义有“取消式”形式，正如赫尔曼所举例说明的那样。还有一些“非取消式”结构主义形式，比如夏皮罗的结构主义。 （所讨论的消除涉及将结构作为抽象对象的假设或避免。）或者用赫尔曼稍晚的术语来说，一方面有“没有结构的结构主义”，另一方面有“有结构的结构主义”。另一只手。除了夏皮罗和雷斯尼克（具有上述资格）之外，非取消式的另一位支持者是帕森斯本人（参见 Parsons 1990、2004，以及最系统的 2008）；结构主义消除形式的另一位支持者是 Charles Chihara（参见 Chihara 2004）。

尽管如此，将非取消式结构主义与夏皮罗的立场（即他的现实主义和先验版本）等同起来似乎很诱人，并且在文献中仍然相当普遍。事实上，批评家有时普遍认为“哲学结构主义”是一种被误导的形而上学形式，从而将这种结构主义与夏皮罗的现实主义形式等同起来。 （这对于数学家和深深扎根于数学实践的哲学家来说似乎特别有吸引力；参见 Awodey 1996 和 Carter 2008 的相关讨论。）对帕森斯的非取消式结构主义形式的进一步考虑可以帮助表明，这太快了，而且最终不足。

与夏皮罗不同，帕森斯并没有提供一种新颖的、出于哲学动机的结构理论作为其立场的支持。对他来说，我们应该更接近数学实践（正如它在十九世纪末和二十世纪发展起来的那样）。事实上，结构主义应该被视为是从这种实践中产生的，而不是从外部强加的。对于帕森斯来说，这意味着，除其他外，将抽象结构直接由分类公理系统引入，他以受蒯因启发的“元语言”方式进一步阐述了这种做法（参见 Parsons 2008）。这也意味着我们应该避免“跨结构识别”（正如夏皮罗早期著作中所见），例如，识别自然数 1 和实数 1。这种假定的身份应该是不确定的，就像在数学实践中完成。

显而易见，帕森斯的结构主义立场与雷斯尼克的立场一样，不如夏皮罗的现实主义。此外，他明确表示，采用“数学对象的结构主义观点”应该被视为与实在论/唯名论二分法分离且正交。因此，对于帕森斯来说，一个人可以成为一名非取消式结构主义者，但不必成为任何强意义上的实在论者。他自己的立场就是一个很好的例子。然而，帕森斯的结构主义版本仍然意味着允许从表面上理解数学陈述（如上所述），因此它在最小语义意义上仍然是现实主义的。

2. 后来的发展和更广泛的分类

2.1 形而上学和认识论的挑战

到目前为止，我们已经追溯了数学哲学中结构主义的发展，从 20 世纪 60 年代的贝纳塞拉夫和普特南，到 1980 年代至 90 年代的雷斯尼克、夏皮罗、赫尔曼、奇哈拉和帕森斯。在过去的 20 年里，更多的哲学家开始讨论这个话题。我们现在转向相应的讨论，首先从对结构主义的某些认识论和形而上学挑战开始。其中一些仅涉及非取消式结构主义，尤其是夏皮罗的立场。 （这再次反映了夏皮罗立场的突出地位，以至于它经常被误导性地等同于“哲学结构主义”。）其他的则更广泛，包括比较各种形式的结构主义的基本承诺。在下文中，我们不会试图做到全面，而是提供一些说明性示例。

在夏皮罗和其他版本中，非取消结构主义涉及这样一个论点：数学对象最重要的是它们的结构属性（而不是进一步的内在属性）。事实上，这些属性是用来确定对象的身份的。但是，在这方面无法区分的物体——“结构上不可辨别的物体”——似乎应该被识别出来。正如一些批评家在 2000 年左右指出的那样，这导致了结构主义的“身份问题”（参见 Keränen 2001，早期的 Burgess 1999）。它主要出现在非刚性系统或结构中，即允许非平凡自同构。在这种情况下，据称存在不同的对象，但在相关意义上是无法区分的。一个广为人知的例子是复数系统（具有共轭数 i 和 -i）；但几何学和图论等提供了进一步的例子。最简单的例子可能是一个无标签、没有边的二元图，其两个顶点在结构上是不可辨别的。

从结构主义的角度如何处理此类案件？ （此类）结构主义是否如一些批评者所指责的那样，完全是语无伦次的？或者它至少不适用于非刚性案例，这将大大限制其范围？文献中已经提供了对身份问题的几种回应。一种建议是通过扩大所使用的词汇来“僵化”这种结构，例如，通过为复数添加常量符号“i”（或者添加到原始语言中，或者添加到背景中使用的“设置”的语言中） ，参见哈利米 2019）。但对于许多难以辨别的，甚至可能无数的情况来说，这似乎仍然是有问题的。另一个建议是将同一性视为一个原始概念，这可以说是数学实践的一部分。但在这种情况下，仍然存在许多问题（参见 Ladyman 2005、Button 2006、Leitgeb & Ladyman 2008、Shapiro 2008、Ketland 2011 和 Menzel 2018 等）。

结构主义的第二个更基本的问题再次始于这样的想法：数学对象最重要的是它们的结构属性。对于非取消结构主义，有时会强化这样的论点：数学结构中的位置以及抽象结构本身“仅具有结构属性”。但如果不更仔细地表述，这会导致反例（参见 Reck 2003）。例如，自然数结构难道不具有在许多关于结构主义的争论中最喜欢的例子的属性吗？长期以来，数字 9 被认为是太阳系中行星的数量，这难道不是数字 9 的一个特性吗？两者看起来显然都不是结构性的。结构主义再次显得不连贯，或者至少需要进一步澄清。

对这一挑战的自然反应是完善最初的结构主义论点，例如，通过说抽象结构“本质上”只具有结构属性，只有这些属性对它们来说才是“构成性的”，或者类似的东西，同时承认它们具有其他属性属性（参见 Reck 2003，Schiemer & Wigglesworth 即将出版）。这就引发了关于如何准确区分这一点的问题。但即使它被认为构成了令人满意的回应，另一个问题仍然存在：我们首先如何区分“结构性”和“非结构性”属性？人们依次提出了这个问题的几个答案，例如，结构属性是那些可以以某种方式定义的属性，或者它们是那些在相关态射下保留的属性。然而，在这个问题上也没有达成共识（参见 Korbmacher & Schiemer 2018，也可作为进一步参考）。

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