数学哲学中的结构主义（二）

第三个挑战再次特别甚至专门针对非取消式结构主义，涉及以下内容。从结构主义的角度来看，位置始终是“结构中的位置”；即结构是主要的，位置是次要的。因此，一个特定的数学对象，例如自然数 2，似乎“本体论上依赖于”背景结构，这里是自然数的结构。 （对于结构主义者来说，认为数字 2 本身存在是错误的，这一事实反映了这一点。它也说明了结构主义与逻辑主义或集合论基础主义之间的主要区别。）但是应该如何理解这种本体论依赖呢？是否可能与当前分析形而上学中的“基础”或相关概念有联系？在这种背景下，仍然存在许多悬而未决的问题，并且激烈的辩论已经开始（参见 Linnebo 2008，还有 MacBride 2005 和 Wigglesworth 2018）。

结构主义的第四个基本挑战，主要还是其非消除形式，是我们如何能够“访问”被视为抽象对象的结构（参见 Hale 1996 等）。在某种程度上，这重新引发了关于此类物体的更古老、更普遍的争论。雷斯尼克、夏皮罗和帕森斯（这里都追随奎因）的最初回应是谈论结构的“定位”，这有望削弱访问问题。但在什么条件下这种假设是合法的（考虑到朴素集合论中常见的悖论的威胁）？一个看似合理的答案指向相关理论的“一致性”（在哥德尔的不完备性结果之后，它被视为取代了可证明的一致性）。但这种一致性到底意味着什么呢？关于这个问题的争论的一个有趣的结果是，夏皮罗和赫尔曼虽然来自截然不同的方向，却得出了彼此非常接近的观点（见 Hellman 2005）。因此，就一些基本承诺而言——夏皮罗案例中存在的最终条件和赫尔曼案例中可能性的最终条件——他们的方法以令人惊讶的方式趋同。 （这可能被视为为双方提供支持，但也被视为破坏实在论/唯名论二分法。）

人们可以在过去 20 年的文献中找到更多对数学结构主义的挑战。虽然通常与刚刚调查的问题有关，但有时这些挑战更进一步。例如，关于结构主义涉及的语义的其他问题已经被提出，通常再次针对非取消式变体（参见 Button & Walsh 2016、Assadian 2018 等）。我们希望迄今为止的调查能够充分说明最近文献中已经发生的各种争论，而不是总结这些挑战。

2.2 结构主义的几个其他变体

如前所述，从 20 世纪 80 年代到 2000 年代初及以后的许多结构主义讨论中，有一些立场占据了中心舞台：夏皮罗、赫尔曼、有时是帕森斯，偶尔还有雷斯尼克。但其他形式的结构主义也已经存在了几十年。这些值得并且也开始受到更多关注。在不要求全面性的情况下，我们想提几个值得注意的例子。其中一个主要的起源可以追溯到 20 世纪 60 年代之前，即“集合论结构主义”（参见 Reck & Price 2000，Reck & Schiemer 也即将出版）。为了介绍它，让我们重新考虑一下 Benacerraf 1965 年论文的核心例子：自然数。

正如贝纳塞拉夫所说，用特定的集合论系统来识别“自然数”是有问题的。或者至少，从任何绝对意义上来说，这样做似乎都是错误的。贝纳塞拉夫的结论是，数字不是集合，也不是任何类型的对象，而是结构中的位置。现在，人们可以同意贝纳塞拉夫所说的几乎所有内容，并且仍然希望在不太绝对的意义上用某种集合论系统来识别“自然数”。这样做时，人们可以承认戴德金-皮亚诺公理的任何其他模型“也可以”，即可以选择代替（也许出于务实的原因，例如推广到超限的能力）。这意味着我们所认定的自然数取决于最初的、临时的、某种程度上任意的选择。对于大多数数学目的来说，这种实用的识别就足够了。事实上，这正是标准公理集合论中所做的事情。由此产生的立场值得再次被视为结构主义的一种形式，正如其捍卫者所坚持的那样。使它成为结构主义的是在任何更绝对的意义上“漠不关心地识别”自然数（参见 Burgess 2015）。

正如刚才所描述的，集合论结构主义的核心是选择几个同构系统之一作为“自然数”（类似的实数等）的实用指称。从某种意义上说，我们所说的“自然数”，以及“数字0”、“数字1”等，都是与这个初始选择相关的。这被认为是没有问题的，因为无论我们如何选择，我们都会得到相同的算术定理（因为公理系统的范畴性，这意味着其语义完整性）。作为背景，我们可以再次采用 Zermelo-Fraenkel 集合论。但我们也可以通过允许“原子”或“元元素”（即不是集合的对象）来稍微拓宽该方法。因此，我们可以将朱利叶斯·凯撒或某个啤酒杯纳入我们的领域，其结果是它们中的任何一个都可以“成为”数字 2，也就是说，在我们的算术模型中占据“2 位”的意义上。选择合作。由于这个特点，我们将使用“相对主义结构主义”来实现这种方法（参见 Reck & Price 2000）。公平地说，这个立场，特别是其集合论版本，被许多数学家明确或隐含地接受。事实上，它可能是最受广泛青睐的结构主义形式。

在集合论结构主义中，以及更广泛的相对主义结构主义中，唯一起作用的数学对象是那些公理集合论（可能带有基本元素）允许我们引入的数学对象。我们不需要另外假设抽象结构。因此，该立场是取消式结构主义的另一种形式（尽管它并不完全取消，因为它支持集合）。事实上，集合论关系系统（理论的集合论模型）本身就被视为这里的相关结构。 （正是这种关系系统在许多数学教科书中被称为“结构”。）然而，还有另一种与后者相关的选择。也就是说，我们还可以用戴德金-皮亚诺公理定义的（高阶）概念来识别自然数的结构；对于其他（分类）公理系统也类似。这导致了结构主义的另一种消除形式：“概念结构主义”（参见 Isaacson 2010，Feferman 2014，还有 Ketland 2015，其他互联网资源）。

根据概念结构主义，现代公理数学中重要的并不是真正的对象，尤其是有问题的抽象对象。相反，至关重要的是数学概念，例如，概念“自然数量系统”（或“ Dedekind-peano Axioms的模型”，“进步”）；类似地，对于“完整有序领域”等的概念（在Ketland 2015中，其他互联网资源，此类概念在强度命题功能方面进一步阐明，而Isaacson和Feferman则更加开放。从这些概念中，从相应的公理可以得出的意义上讲，结束是从这些概念中得到的。正如概念结构主义者所承认的那样，实际上，我们在数学中推理的方式通常涉及谈论属于相关概念的物体。但是，正如他们所补充的那样，最终可以解释这样的话题（例如，通过扮演形式主义的立场）。在这种或类似的形式中，概念结构主义似乎再次在数学家和逻辑学家中似乎是一个相当普遍的观点，尽管直到最近的结构主义辩论中一直并不是很突出。

为了进行更全面的调查，我们希望进一步走。下一步，我们将介绍两种形式的结构主义，它们与相对主义的结构主义和概念结构主义密切相关，但与任何两种形式都不相同。 （正如我们将看到的，两者都是“抽象主义结构主义”的形式。）让我们重新以由公理系统定义的高阶概念开始，例如“自然数量系统” 。但是，我们专注于该概念确定的整个等效类别，而不是用该概念或某些务实选择的系统来识别相应的结构。

在这一点上，我们可以沿着两条“抽象主义者”路径之一。首先，我们可以简单地使用该等价类别识别相关的结构（具有“扩展的概念”，有时会提出）。因此，与有限的von Neumann序列一样，与属于其下面的概念“自然数量系统”和设置理论系统相对应，将相应模型的整个等效类别作为第三实体。 （我们的主要重点再次放在分类公理系统上，但是可以推广该方法。）现在，该类称为“自然数结构”。可以肯定的是，这不是一套合适的班级。但是它仍然可以通过数学上的逻辑进行研究。从“相对主义者”的角度来看，新方法也可以描述如下：其核心是从一个特定的，任意选择的系统落在高阶概念下到相关等价类别的系统，即所有类别系统同构（在分类情况下）。我们可以认为这一举动涉及一种“抽象”，特别是在罗素（Russell）中的“抽象原则”（1903年；也由鲁道夫·卡纳普（Rudolf Carnap）等人采用）。结果是“抽象主义结构主义”的第一种形式。

我们可以采取第二条路径，从而导致第二种形式的抽象结构主义。它在最近的结构主义辩论中也发挥了作用。但是，就像第一个一样，它也可以在时间更远的时间里追溯到。让我们重新从相关的高级概念开始，或者是从定义它的公理系统，以及落在其下面的任意选择的关系系统（例如，可能与Urelements一起使用）。新的建议是按照以下方式进行：我们“从其元素的特定本质中抽象”，以达到一个值得称为“自然数字”的小说，杰出的关系体系（参见Dedekind 1888年，尤其是作为在Reck 2003中解释）。目的是，这种抽象引入的对象只有结构性，或者更好，或者仅具有本质上。同样，这些对象共同形成了我们从中启动的对象的同构（与我们刚刚考虑的等效类不同）。最后，这是我们现在考虑相关的抽象结构的后者。

在几个方面，第二种抽象主义的替代方案与夏皮罗的贸易事前结构主义接近（他们偶尔会呼吁自己“抽象”自己，例如，在Shapiro，1997年）；它也接近帕森斯的非释放结构主义形式。然而，它既不涉及夏皮罗（Shapiro）的独立结构理论，也不涉及对帕森斯（Parsons）的元语言程序的吸引力。取而代之的是，从更具体的系统（例如设置理论关系系统）中“通过抽象”引入抽象结构。可以根据“抽象操作员”和相应的“抽象原则”进一步阐明相关的抽象。当时的另一个比较表明自己是在当代新逻辑主义中使用抽象原则。实际上，这种联系已经在Linnebo＆Pettigrew（2014）和Reck（2018a）中进行了探索。我们沿着这样的方面达到的是一种非占主导性结构主义的抽象主义形式。相反，上面提到的第一个替代方法是一种消除结构主义的抽象主义形式。 （鉴于它们的历史根源，这些立场可能分别标记为“拉塞尔摘要主义结构主义”和“ Dedekindian摘要主义结构主义”；参见Reck 2018a。）

结构主义的其他变体列表也不结束。让我们非常简短地提到五个示例，而无需介绍任何细节（毫无疑问，可能还有更多）。首先，Uri Nodelman和Edward Zalta引入了一种与Shapiro的非限制结构主义形式，该形式与Shapiro的结构主义平行，后者使用了Meinong启发的“对象理论”来说明抽象结构（Nodelman＆Zalta 2014）。与之平行，可以将其他基本理论用于引入抽象结构，从而导致进一步的非含量结构主义形式。作为第二个例子，Hannes Leitgeb描述了如何为此目的（Leitgeb即将到来）调整图形论。第三，莱昂·霍斯滕（Leon Horsten）建立在Kit Fine的“任意对象”理论上，以构建“通用结构主义”的平行形式（Horsten即将到来）。第四，在上面，我们已经提到了查尔斯·奇哈拉（Charles Chihara）的“消除性”结构主义形式，这与海尔曼（Hellman）的结构主义并不相同（参见Chihara 2004）。第五，基于类别理论的各种公理系统，都有一个全部的“结构性的分类形式”，这已变得越来越重要。

我们将将我们对分类结构主义的讨论推迟到第3节，这既是数学上很重要，因此在单独的部分中应得到处理，并且因为很难与其他形式的结构主义进行比较。在此之前，我们希望为结构主义立场提供更丰富，更全面的分类学。该分类学将足够广泛，可以涵盖到目前为止提到的所有职位。但是，从“形而上学”和“方法论”结构主义之间引入基本的二分法开始，它也将超越它们。

2.3结构主义立场的更广泛的分类学

到目前为止所描述的结构主义的所有变体都是“哲学结构主义”的形式，或更确切地说是“形而上学结构主义”的形式。这意味着这些立场旨在为有关数学结构是什么的问题提供答案（即使这涉及消除姿态），包括有关其存在，抽象性，身份，依赖等的观点。现在，人们可以区分整个整体有时所谓的“数学结构主义”或更确切地说是“方法论结构主义”的各种哲学立场（参见Reck＆Price 2000，早些时候Awodey 1996）。实际上，我们建议认识到这种基本的二分法（“形而上学与方法论”）对于结构主义的系统和历史讨论至关重要。 （除其他外，它使我们能够更自然地与分类结构主义联系；例如，参见Corry 2004和Marquis，2009年。）

顾名思义，方法论结构主义涉及数学的方法论，因此是数学实践。或者正如人们也可能指出的那样，它涉及某种数学的“风格”。该样式包括根据其全球，关系或结构属性研究整个系统或结构，同时忽略所涉及的对象的内在性质。这可以通过两种主要方式进行，通常在实践中交织在一起：通过公理进行，即，通过从基本公理中得出有关系统的基本公理的定理；通过考虑它们之间的形态（同态，同构等），以及这些形态下的不变性。由于这种方法通常涉及无限集，不可确定的属性和经典逻辑，因此它往往与更“计算”和“建构主义”进行数学的方式相反（参见广泛的历史背景）。

这种结构主义方法论或方法论结构主义的相应形式往往与数学主题的一般假设相关，即：数学是研究结构。但是，接受假设本身并不涉及对这些结构本质的任何进一步的观点，至少没有以任何详细且哲学上充满的方式。相反，前面考虑的所有形式结构主义的形式旨在提供这种观点。这正是它们超越方法论结构主义的方式（通常是通过建立）。

关于这种形而上学的位置，帕森斯的“消除性与非占主导地位”的区别仍然有用（尽管沿着“结构主义与结构”的方式，后者的观点的更正面标签可能会更好）。但是，结构主义形而上学形式之间的差异并没有停止。实际上，只有与帕森斯的区别一起工作会掩盖一些重要的差异。如前所述，Shapiro的Tang rem结构主义远非唯一的非释放性结构主义版本。 Hellman也是消除结构主义的唯一形式。现在，我们想提出一些更细粒度的区别，以便在辩论中引入更多的秩序和清晰度。

让我们首先查看结构主义的非释放版本。属于该标签的某些位置通过基本理论引入抽象结构。这包括Shapiro的结构理论，例如Nodelman＆Zalta的对象理论和Leitgeb的图形理论的改编。所有这些都是Ante Rem结构主义的形式，但存在明显不同的形式。此外，还有基于抽象原则的非释放性结构主义形式，我们称之为上面的“摘要主义的结构主义形式”。我们区分了其中的两种变体，即罗素和Dedekindian变体，它们涉及不同种类的结构作为抽象过程的结果。 （如果我们重建诸如数学操作或函数之类的抽象，它们的参数是相同的，但它们的价值是不同的。）正如这所表明的那样，有一些抽象主义者和非抗议主义者的非释放性结构主义版本。

如果我们更多地反思这些替代方案，那么进一步的基本二分法的作用就会显而易见（在非估计性结构主义的类别内）：在ANTE REM位置与RE或REM位置之间的作用。 Shapiro的立场明确是一种结构性的一种形式。相比之下，罗素的抽象主义结构主义可以看作是后REM结构主义的一种形式，因为用作相关结构的等效类是“构建”其元素作为类别的类别，因此它们是后部的。在Dedekindian的抽象主义结构主义中，也涉及一种形式。在这里，我们也从更具体的关系系统开始，通常是集合或尿液的系统，并以此为基础介绍抽象结构。但是，现在的与后验关系是不同的。 （这不是基于元素级关系，而是基于更基本的参数 - 函数值关系。）我们也最终得到了既不是标准集也不是类的抽象结构。

在消除性结构主义的一边，也应进行进一步的细分。同样，有完全消除的立场，可以避免对任何类型的抽象对象的承诺。 Hellman的模态结构主义的目的是这样。但是，也有半限制的立场，除了接受更常见的，相对具体的数学对象之外，还避免了对抽象结构的承诺。设定理论结构主义是一个很好的例证。普遍主义的结构主义是另一种，至少在以集合理论为支持时。相对主义的结构主义一般，尤其是固定的理论结构主义，被视为在结构主义中的案例，即抽象结构“在”其更具体的实例化中存在？也许;但是，这篇论文似乎并没有被强加于我们（参见Leitgeb即将提交有关此问题的更多信息）。还请注意，我们最终将以一种非占主导地位的结构主义形式。在结构主义的形式中出现了同样的问题。细节将很重要。 （有关此类方法的更多信息 - 有时标记为“亚里士多德人”而不是“柏拉图主义者”，请参见Pettigrew 2008和Franklin，2014年。）

在文献中开始引起更多关注的消除性结构主义的另一种版本是概念结构主义。如果该立场本来可以在没有任何吸引抽象对象的情况下（例如，基于形式主义）做任何诉讼的情况，则相当于完全消除的观点。但是，关于对其概念的吸引力，即关于它们的存在，自然和身份的吸引力仍然存在各种问题（参见Parsons 2018）。根据答案，严格的名义主义者可能仍然认为这一立场是不可接受的，因为概念可能被视为另一种有问题的抽象实体。如果概念结构主义者允许诸如集合之类的抽象对象扮演次要角色，那么这将成为半占地的位置。仍然被视为抽象对象的结构仍被消除（通过将其重新考虑为概念），但关系系统仍然存在。另外，我们可能会在这里处理一种特定形式的方法论结构主义，其中其他形而上学的问题被抛在一边。

3。类别理论结构主义

3.1类别理论作为数学结构的研究

在过去的二十年中，已经提出了不同的建议，以基于类别理论的数学结构主义理论，因此是“分类结构主义”的理论或理论。我们现在可以更好地考虑这些建议，尽管我们仍将间接进行，从更多的背景开始。类别理论首先在Eilenberg＆Mac Lane的著名文章“自然等价理论”（1945年）中首次作为抽象代数的分支（1945）。随后，它在Mac Lane，Grothendieck，Kan，Lawvere等人的作品中发展成一项自主数学学科，以及在代数拓扑和同源代数中具有重要而广泛的应用，以及最近在计算机科学和逻辑中（CF） 。

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