数学哲学中的结构主义（三）

在这些发展的基础上，对分类结构主义的哲学讨论是在1990年代由Awodey，Landry，Marquis和McLarty发起的。为了更好地理解他们的贡献，它有助于回到“形而上学”和“方法论结构主义”之间的区别，这在Awodey（1996）中明确地绘制。或更确切地说，Awodey区分了将类别理论用作“数学”和“哲学结构主义”的框架的区分。他将数学结构主义描述为“追求对主题的结构方法”的一种普遍方式，即采用结构概念和方法的一种特定的练习数学风格。然后，他认为类别理论提供了从这个意义上捕获结构数学的最佳方法。但是，他还将其作为哲学结构主义的框架，即“数学本体论和认识论的方法”。让我们首先考虑以前的论点。 （我们将在第3.3节中返回后者）。

类别理论被理解为纯数学的分支，经常被描述为“数学结构的一般理论”，例如Mac Lane（1986，1996）。但是，这里的“结构”到底是什么意思？文献中至少提到了两个相关概念。首先，可以从设定和模型理论意义上理解结构，即是由域名和有序的关系，功能和划定元素组成的元组，用于解释形式语言。 （这是我们更非正式地吸引上述“关系系统”的概念。）在这种情况下，这些结构通常称为“布尔巴基结构”。它们的性质通常是公理定义的，例如，组公理或用于算术的Dedekind-peano公理。

其次，另外，基于数学对象之间形态的原始概念，存在一个分类的结构概念。通常，类别由两种类型的实体组成，即它们之间的对象和形态，即由箭头所代表的映射，这些箭头保留了对象的某些内部结构组成。 Eilenberg和Mac Lane（1945）首先引入了一种沿着这种线路定义类别的一般概念的公理系统。它描述了箭头，其关联性以及每个对象的身份形态的存在（参见Awodey 2010 for类别理论的教科书演示）。

为什么将类别理论视为数学结构主义比其他学科，尤其是传统（cantorian，zermelo-fraenkel）的理论更适当的框架？就此问题咨询Awodey（1996）是有帮助的。据他说，布尔巴基结构的概念是Dedekind，Hilbert和Bourbaki Group的现代公理传统的直接结果。这种传统最终导致了关于数学的结构主义观点。然而，设定理论并不是捕获对数学对象的结构主义理解的理想框架。首先，集合理论与数学理论的模型理论概念紧密相关，包括这样的观点，即这种理论仅研究其模型“达到同构”。但是结构主义观点的核心是“识别同构对象”的原则（以下更多）；从类别理论的角度来看，这一原理是充分动机的，但是如果理论上表示数学对象，则更少。

类别理论的第二个优于集合理论（1996）也提到的是结构的分类概念是“语法不变”。也就是说，与标准模型理论不同，对象根据其映射属性的分类规范独立于选择用于其描述的特定签名（基本关系，函数和杰出元素的选择）。第三也是最重要的是，类别理论的特征是它专注于保存（其中一些）内部结构的数学对象之间的形态和转换。这是对物体规范中具有结构映射的重点，通常被视为现代数学中结构主义转弯的核心特征。因此，它存在于19世纪和20世纪初的各个地方，包括Galois理论，Klein的Erlangen计划，Dedekind的基本著作，以及Noether School的抽象代数（cf. Reck＆Schiemer再次）即将推出）。

类别理论最初是在这些发展的背景下开发的，是研究不同数学结构之间关系的统一框架（参见Landry＆Marquis，2005年，Marquis，2009年）。为此任务引入了不同类型的映射。一种类型涉及同一类别的对象之间的形态，例如组类别中的组同构，或向量空间类别中的线性图。映射的另一种重要类型是不同类别之间的“函数”。 （粗略地，两个类别之间的函子是对象与对象的映射和箭头的箭头，并保留了所讨论的分类属性。）这样的函数是类别理论中的核心工具，用于比较不同数学类别的对象，即因此，“关联不同种类的结构”（Awodey 1996）。因此，它们对于分类结构主义至关重要。

3.2关于它们的分类基础和辩论

正如在刚刚总结的文献中反复争论的那样，类别理论比传统的数学或方法论结构主义在数学中提供了更自然的框架。但是，它作为哲学结构主义形式的前景如何，即替代Resnik，Shapiro，Hellman等的理论呢？我们已经提到Awodey（1996）也将其呈现。但这导致了持续的争议。 Hellmann（2003）包含对诸如Awodey等哲学主张的第一个批判性讨论。也就是说，Hellman的文章提出了几种反对意见，即类别理论为在哲学意义上对数学的结构主义描述提供了足够的框架。正如我们将看到的那样，这些异议与类别理论作为基础学科的状态密切相关。

最近，关于理论必须达到的标准以作为数学的适当“基础”，存在许多辩论。根据Tsementzis（2017）中的一项有益的提议，基础系统必须由三个项目组成，即：

正式语言；

用这种语言表达的公理理论。和

由理论描述的丰富的对象宇宙，其中所有数学结构都可以定位，表示或编码。

从这个意义上讲，Zermelo-Fraenkel集理论显然代表了一个基础系统。 ZFC的公理通常用正式的一阶语言制定；他们描述了一个全面的宇宙，即集合的累积层次结构，其中数学对象（例如数字系统，组，环，拓扑空间等）可以代表。

在从1960年代开始的类别理论的研究中，已经提出了一些特定类别的公理化，作为数学的替代基础。这包括一方面描述集合和功能类别的公理系统，另一方面是类别的类别，另一方面是律师（1964，1966）中首次提出的。两者都被明确引入为基础系统，因此是Zermelo-Fraenkel集理论的替代方法。最近，基本拓扑理论是作为一种分类集理论的一种形式，可以用作上述意义上的基础系统（参见Landry＆Marquis，2005，Marquis，2013年）。

这使我们能够重返Hellman 2003年的挑战。在他看来，是否可以使用类别理论来制定哲学结构主义版本的问题与传统集合理论的这些新方法的假定自主权直接相关。在Feferman（1977）的基础上，他提出了两个一般反对意见。在Linnebo＆Pettigrew（2011）之后，我们可以将第一个称为“逻辑依赖”异议。它的核心是，类别理论，一般Topos理论等最终不是设定理论的自主。原因是类别和Topoi的公理规范以操作，收集和功能的原始概念为前提，并且后者需要在诸如ZFC之类的集合理论中定义。因此，分类基础取决于非结构集理论。

反对分类基础自主权的第二个论点称为“不匹配异议”。它涉及类别理论或拓扑理论的一般地位；它基于一种理解数学公理的区别，即“结构性”，“代数”，“原理图”或“希尔伯特式”，一方面是“自信”或“ freegean”，在另一只手。正如海尔曼（Hellman）所说，诸如经典集合理论之类的基础系统在特征上需要断言，因为它们的公理描述了用于编纂其他数学结构的整体对象的全面宇宙。从这个意义上讲，Zermelo-Fraenkel Set理论是一种断言，“内容”理论。它的公理（例如，功率集公理或选择的公理）对集合宇宙中的对象提出了一般存在的主张。

相比之下，类别理论代表了抽象代数的一个分支，正如其起源所揭示的那样。因此，从本质上讲，它的性格是非肯定的。它缺乏被认为是关于预期宇宙的真理的公理。例如，类别理论的Eilenberg-Mac Lane公理不是“基本真理简单者”，而是性质上的“示意图”或“结构”。它们是代数结构的隐式定义，类似于群体理论或环理论的公理是“定义结构类型的条件”的方式。这一点与Hellmann所说的类别理论的自主权的另一个论点有关，即“家庭住址的问题”：类别来自何处，它们的生活在哪里？” （2003：136）。鉴于“代数结构主义观点”的基本类别理论和一般托普斯理论，其公理没有任何断言，即特定类别或托皮伊实际上存在。经典的设置理论，例如具有强大存在公理的ZFC，必须再次介入才能确保这种对象的存在。

Hellman和Feferman反对类别理论的基本特征的论点已从随后的文献中的各个角度进行了研究。一个可以区分两种主要响应类型，即：

由“分类基础”的支持者，他们旨在捍卫相对于经典集合理论的类别理论的自主特征。和

通过“非基础主义者”，他们质疑该类别理论应被视为基础学科。

麦克拉蒂（McLarty）的一系列文章代表了响应良好的第一行（例如McLarty 2004，2011，2012）。粗略地说，他对Hellman的答复是以下内容：类别理论和一般托普斯理论确实起源于代数理论，因此作为基础系统不可行，而特定类别和popeses的某些理论已被引入作为替代基础。麦克拉蒂（McLarty）的中心例子是劳维尔（Lawvere）类别类别的公理及其“集合类别的基本理论”（ETC）。

根据麦克拉（McLarty）的说法，这些理论在地狱尔曼的意义上应被理解为断言。也就是说，它们的公理不仅是隐式定义，而且是关于类别，集合和功能的一般存在主张。例如，等等，提出了一个基于函数的集合理论，其中集合和映射之间形成了topos。与ZFC相比，其原始成员关系关系，在等等中，不是根据其内部组成而指定的，而是根据其与其他集合有关的映射属性的指定，这些属性是独立于ZFC的。麦克拉蒂对上述两个反对意见的反应是，诸如ETC之类的分类理论确实为数学提供了基础，这些数学在逻辑上是从传统的，非结构性的理论中自治的。此外，鉴于数学结构只能在ETC中编码为同构的对象，因此，这种分类集合理论比ZFC为现代结构数学提供了更足够的基础。 （我们将在下面返回这一点。）

Awodey（2004;参见Landry 1999）代表了第二个对Hellman反对反对的反应的截然不同的反应。在那篇文章中，Awodey概述了一种绝对是反基础主义的结构性的类别理论形式。他认为，与Hellman和McLarty一致，类别理论的Eilenberg-Mac Lane公理和一般Topos理论的公理都是示意性的。但是他随后认为，通常也不应将类别理论从逻辑或本体论意义上为数学提供基础。相反，它为结构数学提供了一个一般而统一的框架或语言。因此，他拒绝Hellman的假设，即分类结构主义的成功取决于类别理论是否可用作基础企业。

实际上，根据Awodey的说法，类别理论方法的中心动机是避开有关数学对象性质的基础问题或对所有结构都可以代表所有结构的研究。虽然Topos理论可能很可能是数学的结构基础，但对于wododoy来说，这种基本方法与体现在类别理论中的结构主义观点相反。用他自己的话说：“'绝对做数学'的想法涉及与习惯基础的观点不同的观点”（Awodey 2004：55）。鉴于关于数学的分类基础的这种基本，持续的辩论，沿哲学意义上的分类结构主义，沿着Awodey的线条以及更广泛的一般性有什么影响？这就是我们接下来的。

3.3分类结构主义的独特特征

除了方法论结构主义问题之外，过去20年中有关分类结构主义的文献围绕已经提到的两个问题。首先，类别理论在什么意义上为哲学结构主义提供了框架？

其次，为什么它比其他框架（如集合论、夏皮罗结构理论和赫尔曼模态逻辑）更适合这项任务？在最近关于这些主题的研究中，人们可以找到三个相关的哲学假设，它们表征了范畴结构主义，并将其与之前调查的结构主义版本区分开来。我们将依次讨论他们每个人，从阿沃迪的著作开始。

第一个特征假设是所有数学定理都是具有条件形式的示意性陈述。 Awodey (2004) 中明确指出了这一点。我们已经看到，根据阿沃迪的说法，范畴论方法在性质上是非基础性的。这包括范畴论中表达的数学公理和定理应该被理解为示意性陈述。它们并不表达关于数学对象的特定性质的真理，而是表达关于它们各自的属性和关系的真理。此外，数学定理至少在原则上都是假设形式。它们可以被重构为 if-then 语句。请注意，这种数学定理逻辑形式的观点乍一看与普特南著作中的“如果-那么”主义类似，以及早期罗素著作中的“如果-那么主义”，如第 1 节中提到的。

然而，正如阿沃迪指出的那样，标准的“如果-那么”主义和范畴论方法在所涉及的本体论承诺方面也存在重要区别。根据标准的“如果-那么”主义，任何数学陈述都可以转化为普遍量化的条件陈述，其中量词本质上是有效的元理论，涵盖所有正确类型的集合论系统。因此，该方法预设了可以构建此类系统的丰富的集合本体。相反，沿着范畴论的思路，数学定理不涉及这样的本体论承诺。对于理论的布尔巴基结构，例如所有群、环或数字系统，没有隐含的概括。相反，数学定理是“关于结构的示意性陈述[……]，它可以有各种实例”（Awodey 2004：57）。这些情况故意未确定，除非需要进一步说明它们来证明有关定理。

不仅对阿沃迪来说，范畴结构主义的第二个显着特征涉及范畴论特有的数学对象的某种“自上而下”概念。根据标准集合论，数学对象是从某个底层（空集或元元素域）开始的连续步骤中“自下而上”构建的。因此，每个对象都是根据其成员确定为一个集合。相比之下，范畴论中的数学对象以自上而下的方式进行表征，从 Eilenberg-Mac Lane 公理开始并使用态射的概念。因此，给定类别中的对象（例如环或拓扑空间的对象）不会独立于相关态射而被考虑。它们完全由它们的映射属性决定，正如范畴论语言所表达的那样。关于它们的内在构造没有进一步的假设。特别是，关于它们的集合论性质的问题被认为是多余的（另见 Landry & Marquis 2005。）

第三，可以说，绝对结构主义最重要的特征是它验证了“结构主义论文”的一个版本（之前暗示过）。回想一下 Benacerraf 在他 1965 年论文中的论点，即数字不应该与特定的集合等同，而应该与抽象结构中的位置等同。贝纳塞拉夫还强调，只有某些属性与算术相关。对他来说，这些是数论属性，例如“素数”或“偶数”，可以根据所讨论的理论的原始关系和函数来定义。那么，一般结构主义论点认为，数学理论所处理的对象的所有（相关）属性在特定意义上都应该是结构性的。 （“结构性”意味着什么的问题也曾在早些时候出现过。）

范畴论结构主义者通常认为，范畴论为结构主义理解数学对象提供了最充分的框架，因为所有可用其语言表达的属性都被证明是结构性的（例如，参见 McLarty 1993、Awodey 2004 和 Marquis 2013）。之所以如此，是因为对数学对象（例如环或拓扑空间）的范畴论研究使我们能够表达正确类型的“结构信息”，即有关这些对象的结构属性的信息。在这种情况下，结构特性通常用同构不变性的概念来表征。给定一个类别 C，一个态射

f

：

一个

→

乙

f:A→B 表示对象 A 和 B 之间同构当且仅当存在态射

克

：

乙

→

一个

g:B→A 使得

克

∘

f

=

1

一个

g∘f=1A 且

f

∘

克

=

1

乙

f∘g=1B。如果类别 C 中的对象 A 的属性 P 在 C 中的同构下保持不变，则该属性 P 是结构性的，也就是说，如果

磷

（

一个

）

↔

磷

（

f

（

一个

）

）

P(A)↔P(f(A))，对于所有同构 f（参见 Awodey 1996）。

我们在上面看到，传统集合论（“自下而上”）中数学对象的表示带来了表达关于其集合论构造的各种属性的可能性，这些属性在这个意义上不是同构不变的。根据这一论点，范畴论相对于经典集合论（和类似方法）的核心优势在于，这种非结构性质在范畴框架中被简单地排除了。麦克拉蒂（McLarty）的《数字可以是他们必须做的》（1993）首次强调了这一点，正如标题所示，该书对贝纳塞拉夫（1965）提出了反驳。麦克拉蒂在本文中的中心论点是，如果人们认为数字是用分类集合论（例如在 ETCS 或其子系统）而不是用正统集合论来表示的，那么贝纳塞拉夫的结构主义计划就能最成功地实现。

为了进一步阐述这一优势，基本算术的数字系统可以在“自然数对象”这样的分类框架中进行表征，正如劳维尔首先展示的那样。与基于 ZFC 的表示相反，这些对象不仅是同构的，而且共享“完全相同的属性”，即那些可以用集合类别的语言表达的属性。换句话说，任何两个自然数对象都是“可证明不可辨别的”，因为它们“可证明具有相同的属性”（McLarty 1993）。而且，所有这些属性在上述意义上都是结构性的。因此，贝纳塞拉夫关于具有不同集合论性质的同构数系统的困境在分类集合论的背景下不会出现。结论是，数字毕竟可以用集合来识别，但可以用 ETCS 中定义的结构来识别。

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