数学哲学中的虚构主义（一）

1. 虚构主义的论证

1.1 主要论点

1.2 前提（1）和释义唯名论

1.3 前提（2）和紧缩真值唯名论

1.4 前提（4）与物理主义和心理主义

1.5 前提（5）与柏拉图主义

2. 对虚构主义的反对和回应

2.1 不可或缺性论证

2.2 客观性

2.3 革命主义与诠释主义

2.4 与小说的相似之处

2.5 接受和相信

2.6 神秘的额外内容

2.7 其他反对意见

三、结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

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1. 虚构主义的论证

1.1 主要论点

支持虚构主义的主要论点本质上是试图消除虚构主义的所有替代方案。这个论点可以这样表达：

像“4 是偶数”这样的数学句子应该从字面上理解；也就是说，它们应该被理解为“法”的形式，因此，它们对某些物体的本质做出了直接的主张；例如，“4 是偶数”应该被理解为对数字 4 的性质做出直接的断言。但是

如果像“4是偶数”这样的句子应该从字面上理解，而且如果它们是真的，那么一定确实存在它们所涉及的那种对象；例如，如果“4 是偶数”对数字 4 的性质做出了直接的断言，并且如果这句话字面上是正确的，那么实际上一定存在数字 4 这样的东西。因此，从 (1) 和 ( 2），由此可知

如果像“4 是偶数”这样的句子为真，那么就存在诸如数学对象之类的东西。但

如果存在数学对象，那么它们就是抽象对象，即非时空对象；例如，如果有数字4这样的东西，那么它就是一个抽象的对象，而不是一个物理或精神的对象。但

不存在抽象对象这样的东西。因此，根据 modus tollens，从 (4) 和 (5) 可以得出：

不存在数学对象这样的东西。因此，根据 modus tollens，从 (3) 和 (6) 可以得出：

像“4 是偶数”这样的句子不是真的（事实上，它们不是真的，因为虚构主义者给出的原因，因此可以得出虚构主义是真的）。

这个论证中的三个推论都非常明显有效，因此唯一的问题是四个基本前提（1）、（2）、（4）和（5）是否为真。这个论证的建立方式的好处是，每个前提都应该摆脱虚构主义的不同替代方案。因此，（1）-（7）中的论证实际上是一个更长的论证的外壳，其中包括支持基本前提的子论证，因此反对虚构主义的各种替代方案。

鉴于此，我们可以说虚构主义有五种选择（或者如果你愿意的话，有五类选择）。那些拒绝（1）的人可以被称为释义唯名论者；那些拒绝（2）的人可以被称为紧缩真理唯名论者；那些拒绝（4）的人要么是物理学家，要么是心理学家；那些拒绝（5）的人是柏拉图主义者。为了激发他们的观点，虚构主义者需要提供反对所有这些观点的论据。

小说家在这里的工作中最简单的部分就是反对各种反柏拉图主义的观点。所有这些观点——释义唯名论、紧缩真理唯名论、物理主义和心理主义——都可以被理解为（就像虚构主义一样）对柏拉图主义的反应。柏拉图主义是一种非常有吸引力的观点，因为它对数学实践和数学话语提供了极其自然和令人愉悦的解释。但尽管如此，许多哲学家并不认可柏拉图主义，因为他们无法接受柏拉图主义的本体论。换句话说，他们根本不相信存在抽象对象之类的东西。正因为如此，数学哲学领域所做的大部分工作都致力于避免柏拉图主义。特别是，释义唯名论、紧缩真理唯名论、物理主义和心理主义都可以用这些术语来理解。他们都试图破坏数学句子真实条件的柏拉图主义观点。但正如下面将要明确的那样，所有这些观点都存在严重问题。这就是虚构主义的用武之地：它承认数学句子的真实条件的柏拉图主义观点，但仍然否认柏拉图主义存在抽象对象的本体论论点。这使得虚构主义在一个重要方面不同于其他反柏拉图主义观点。我们可以通过注意到柏拉图主义涉及两个不同的论点来理解这一点，一个是语义学的，另一个是本体论的。语义命题是关于普通数学话语的真实条件的经验假设，本体论命题是关于抽象对象存在的深刻形而上学假设。每个版本的反柏拉图主义都拒绝柏拉图主义者的本体论假设，所有非虚构版本的反柏拉图主义也拒绝语义命题。虚构主义是唯一不拒绝语义命题的反柏拉图主义观点。这就是为什么虚构主义看起来比其他版本的反柏拉图主义更有吸引力——因为柏拉图主义者的语义假设极其合理且动机充分。因此，拒绝这一假设的反柏拉图主义版本似乎令人难以置信且缺乏动机。

因此，再次强调，虚构主义论证的简单部分（或者无论如何，更容易的部分）是通过为前提（1）、（2）和（4）提供论证来实现的，或者等效地，通过提供反对的论证来实现反柏拉图主义的各种非虚构版本，即释义唯名论、紧缩真理唯名论、物理主义和心理主义。接下来的三小节（1.2-1.4）讨论这四种观点以及虚构主义者可能反对它们的一些论点。第 1.5 节涵盖了虚构主义者论证中更困难的部分，即前提 (5) 以及虚构主义者如何反对柏拉图主义的问题。

1.2 前提（1）和释义唯名论

释义唯名论认为，像“3是素数”这样的普通数学句子不应该从字面上理解——或者更具体地说，它们不应该被理解为“Fa”的形式并对数学对象提出主张。这种观点有几个不同的版本。也许最著名的是如果-那么主义。根据这种观点，“3 是素数”最好被解释为表达一个条件断言，例如“如果有数字，那么 3 将是素数”，或者“必然，如果有数字，那么 3 就是素数”。 Putnam (1967a,b)、Horgan (1984)、Hellman (1989)、Dorr (2008) 和 Yablo (2017) 提出了 if-thenism 的版本，而且这一观点的前身得到了早期希尔伯特的认可； （参见他 1899 年的文章和弗雷格 1980 年写给弗雷格的信）最后，释义唯名论的其他版本也得到了 Chihara (1990)、Yi (2002)、Hofweber (2005)、Rayo (2008, 2013) 和 Moltmann 的认可。 2013）；人们也可以这样解释库里（1951）和维特根斯坦（1956）。）

释义唯名论观点的问题非常简单：它们涉及对普通数学话语含义的经验假设，而这些假设是极其难以置信的。例如，就“如果-那么”论而言，很难相信，对于普通数学话语者（普通数学家和普通民众）所说的“3是素数”的最佳解释是，如果如果有数字，那么 3 就是素数。当人们说出这样的句子时，这似乎误解了他们的实际意思。事实上，这里似乎可以提出一个更普遍的观点。有一个很好的解释原则是这样说的：我们应该从表​​面上解释人们的话语，除非有证据表明他们有积极的意图进行非字面解释。鉴于此，并且考虑到（似乎显而易见的）普通人没有积极意图将他们的数学话语进行非字面解释（例如，表达条件命题），似乎可以得出这样的结论：我们应该从表​​面上解释我们的数学话语。但这意味着我们应该接受前提（1）并拒绝释义唯名论。

释义唯名论者可能会试图通过否认他们致力于这样的论点来回应这一论点：他们的释义符合普通数学家和普通民众的意图。事实上，Chihara (1990, 2004) 和 Hellman (1998) 都曾提出过此类主张。但释义唯名论者不能认可这种立场，因为如果他们这样做，他们的观点就会崩溃为虚构主义的版本。如果释义唯名论者承认柏拉图主义者和虚构主义者关于真实数学话语（即实际数学家的话语）的含义是正确的，那么（因为他们也想坚持不存在抽象对象之类的东西）他们将致力于声称实际数学家的言论是不真实的。因此，如果释义唯名论者不声称他们的释义抓住了普通数学句子的实际含义，那么他们的观点就无法为虚构主义提供真正的替代方案。它将崩溃为虚构主义的一个版本。更具体地说，释义唯名论者只是一个虚构主义者，他认为我们应该改变我们的数学语言，或者我们的数学话语的含义；或者也许这个主张只是说，如果我们愿意的话，我们可以改变我们的数学语言，并且这一事实为虚构主义者提供了一种回应某些反对意见的方式。

1.3 前提（2）和紧缩真值唯名论

紧缩真理唯名论认为 (a) 正如柏拉图主义者和虚构主义者所主张的那样，像“3 是素数”这样的普通数学句子应该从字面上理解，即，作为“Fa”的形式，因此作为关于数学的主张对象，并且（b）不存在数学对象这样的东西，但是（c）我们的数学句子仍然是正确的。此类观点得到了 Azzouni (1994, 2004, 2010) 和 Bueno (2005, 2009) 的认可。然而，应该指出的是，布埃诺在他的（2009）中称他的紧缩真理唯名论版本为虚构主义版本。这并不是因为他真的赞同本文中所谓的虚构主义观点；而是因为他确实赞同本文中所谓的虚构主义观点。这是因为他使用“虚构主义”一词的方式与本文中的使用方式不同。但值得注意的是，Bueno 的用法并没有那么不同。因为正如我们即将看到的，紧缩真理唯名论和虚构主义（正如这里所定义的那样）是非常相似的观点。 （布埃诺的观点也不同于此处以第二种方式定义的虚构主义观点：他赞同关于抽象对象的不可知论，而不是全面的反实在论。但这种差异甚至不如第一个差异重要；如果我们改写（b）和（c）在上述虚构主义的定义中，为了与不可知论保持一致，虚构主义观点几乎不需要改变任何其他内容，因此虚构主义者可以选择他们是否想要对抽象对象保持不可知论或反实在论，并且这个决定。事实上，正如第 3 节中将清楚的那样，布埃诺的不可知论可能或多或少等同于某些虚构主义者的观点。）

在描述紧缩真理唯名论的问题之前，重要的是要注意该观点背后的核心主张是关于普通话语的经验假设。特别是，它是关于“真实”一词的含义或真理概念的主张。当紧缩真理唯名论者说，例如，即使没有数字 3 这样的东西，“3 是素数”也可能是真的，他们是在对真理的普通概念做出主张。他们说这个概念适用于我们大多数人——柏拉图主义者和虚构主义者以及几乎所有人——认为它不适用的某些情况。如果紧缩真理唯名论者试图否认他们正在对普通概念做出主张事实，那么他们的观点就会崩溃为虚构主义。因为既然他们同意虚构主义者的观点，即“3是素数”声称是关于某个抽象对象的，并且因为他们也同意不存在抽象对象之类的东西，所以如果他们认可真理的标准观点，即，柏拉图主义虚构主义观点认为，除非“a”指的是实际存在的物体，否则“Fa”形式的句子不可能为真——那么他们就不得不承认“3是素数”是不真实的。现在，他们可能会继续争论这些句子是真实的*——这里的定义方式是“Fa”形式的句子可以是真实的*，即使不存在“a”这样的东西——但是，当然，虚构主义者会同意这一点。因此，如果紧缩真理唯名论要真正区别于虚构主义，它就必须涉及一个关于普通词“真实”含义的论文；特别是，该断言必须是“Fa”形式的句子在该术语的普通意义上可以是真实的，即使单数术语“a”并不指代任何实际存在的物体。

鉴于此，大多数虚构主义者可能会说，通货紧缩真理唯名论的问题在于它在经验上是不可信的。换句话说，反对意见是紧缩真理唯名论严重违背了我们对“真实”含义的直觉。这种说法似乎确实有一定道理。例如，从直觉上看，“火星是一颗行星”这句话在字面上不可能是正确的，除非确实存在火星这样的东西。而且，直觉上，“火星是一颗行星，但它并不存在”这句话似乎是一个矛盾，这种直觉似乎与紧缩真理唯名论不相容。如果这是正确的——如果紧缩真理语义命题与我们的语义直觉相悖——那么这就为认为它是错误的提供了强有力的证据。

但紧缩真理唯名论还存在第二个问题：它应该为我们提供一种避免柏拉图主义的方法，但事实上却没有。乍一看，紧缩真理唯名论似乎确实提供了一种避免柏拉图主义的方法，因为柏拉图主义的论证似乎依赖于上述前提（2）——即，它似乎依赖于反紧缩真理主张如果像“4是偶数”这样的句子应该从字面上理解，即具有“Fa”的形式，并且如果这些句子字面意思是正确的，那么我们就致力于相信它们所涉及的对象，例如，数字 4。但是，事实上，柏拉图主义者可以阐述他们的论点，这样它就不会依赖于这个反通缩真理的前提。为了指出这一点，我们首先引入两个新的艺术术语“true1”和“true2”，并规定“true1”被视为表达柏拉图主义虚构主义的真理概念，因此除非“a”指的是实际存在的对象，否则“Fa”形式不可能为真1，而“true2”表达了真理的紧缩概念，因此即使“a”不存在，“Fa”形式的句子也可以为真2指任何实际存在的对象。鉴于此，柏拉图主义者可以说：

我们只是不关心普通英语中使用的“true”这个词是否表达真理1或真理2（或者它是否含糊不清，有时表达一个概念，有时表达另一个概念）。我们承认柏拉图主义论证的标准表述涉及这样的主张：像“3是素数”这样的普通数学句子是真的。但我们也可以很容易地将我们的论点建立在这样的句子是正确的基础上。在这样做时，我们不会以任何方式削弱我们的论点。因为我们用来激发数学真理的论证——最值得注意的是下面讨论的奎因-普特南不可或缺的论证——已经是数学真理的论证。这并不奇怪。因为当我们说像“3是素数”这样的普通数学句子是真的时，我们的意思是它们是真的1；因此，当然，我们为数学真理给出的论证已经被认为是数学真理1的论证。

鉴于柏拉图主义者可以按照这种方式进行下去，紧缩真理语义命题是否正确的问题——即英语单词“true”是否表达了真理1或真理2的概念——似乎只是一个转移注意力的问题。 。真正的问题是柏拉图主义者是否对数学的真理1有任何好的论据（当然，反柏拉图主义者是否对数学的真理1有任何好的论据）。换句话说，如果我们假设前提（1）和（4）为真，那么我们必须将我们的数学主张理解为关于（或至少声称是关于）抽象对象，那么真正的问题是是否存在在柏拉图主义和虚构主义之间进行选择有什么充分的理由吗？

1.4 前提（4）与物理主义和心理主义

物理主义认为我们的数学句子和理论是关于普通物理对象的。约翰·斯图尔特·密尔（John Stuart Mill，1843）提出了这种观点。在他看来，数学只是一门非常普遍的自然科学。因此，例如，根据密尔的说法，句子“2 + 3 = 5”不是关于抽象对象（数字 2、3 和 5）的断言；而是关于抽象对象的断言。相反，它是关于一堆物理对象的主张（特别是，它告诉我们，如果我们将一堆两个对象和一堆三个对象推在一起，我们将得到一堆五个对象。（Phillip Kitcher（1984））和早期的佩内洛普·麦迪（Penelope Maddy，1990）也都赞同“物理主义倾向”的观点，但最终，两者都没有被合理地解释为属于这个阵营，麦迪的早期观点最好被认为是一种非传统的柏拉图主义。根据这种观点，数学是关于存在于空间和时间中的非物理对象；基彻的观点最好被认为是一种转述唯名论，因为在他看来，数学话语并不是关于任何实际存在的对象。）

数学的物理主义观点存在许多问题。仅提其中一个问题，物理主义似乎完全无法解释我们在数学中发现的各种关于无穷大的主张。例如，集合论的一个定理是，存在无限多个超限基数，它们不断变得越来越大，没有尽头。因此，集合论致力于无限集合的存在，这些集合是如此巨大，以至于它们使各种无限集合相形见绌，就像所有自然数的集合一样。没有任何合理的方法可以将这种关于巨大无限集的讨论解释为关于物理对象。

心理主义认为数学句子和理论是关于心理对象的。这种观点最常见的版本可能认为数字就像我们头脑中的想法，而像“3 是素数”这样的普通数学句子提供了这些想法的描述。这种观点在19世纪末流行。它得到了早期胡塞尔（1891）以及直觉主义者布劳威尔（Brouwer，1912，1948）和海廷（Heyting，1956）等人的认可。但弗雷格（Frege，1884、1893-1903）提出了大量反对这一观点的论据，并基本上将其埋葬了。这里仅举一个论点，似乎心理主义与物理主义一样无法处理数学中的巨大无穷大。正如刚才所看到的，标准集合论意味着实际上存在着无数的数学对象。但令人难以置信的是我们脑子里有那么多想法。事实上，很明显我们头脑中的想法是有限的。因此，认为集合论的主张是由心理对象实现的是不合理的。

作为回应，有人可能会说，即使我们的头脑中没有无限多的想法，我们的头脑中似乎也有无限的想法。这无疑是正确的——我们的头脑中存在着这样的想法——但这并不能拯救心理主义免受上述反对。因为我们的数学理论意味着实际上存在无限多个不同的数学对象。例如，标准算术理论要求存在 1 这样的东西，并且存在 2 这样的东西（并且它不同于 1），并且存在 3 这样的东西（并且它不同于 2）。 1 和 2)，等等。因此，只有当我们的头脑中确实存在无限多种不同的想法时，我们的数学理论才是对我们头脑中的想法的真实描述。因此，由于我们头脑中没有那么多想法，我们不能坚持认为我们的数学理论是对这些事物的真实描述。

或者，人们可能会通过转向一种观点来回应上述反对心理主义的论点，根据这种观点，数学主张是关于我们可以构造的想法，或可能的心理对象，或类似的东西。但这不是一种心理学观点，因为根据这种观点，数学的对象不是实际的心理对象；而是数学的对象。它们将是可能的对象，大概是抽象对象或其他某种形而上学上可疑的对象。

最后，人们可以通过这样说来反对本小节中的两个论点，即反对物理主义和心理主义的论点：

这里给出的论点应该激发这样一种想法，即像“4是偶数”这样的普通数学句子不能被合理地解释为关于物理或精神对象，或者更具体地说，它们最好被解释为关于（或至少声称关于）抽象对象。但这里有人可能会反对说，作为对普通数学话语的解释，柏拉图主义/虚构主义的观点并不比物理主义或心理主义更合理。因为人们可能会发现，当普通人提出数学主张时，他们打算谈论抽象对象，这一假设是难以置信的。

但柏拉图主义者和虚构主义者并不认同人们有积极意图谈论抽象对象的论点。相反，他们可以这样说：（i）普通的数学主张最好从表面上解释，因此，解释为关于对象的主张，因为典型的数学家（实际上，普通民众的典型例子）没有积极的意图当他们说出数学句子时，不是按字面意思说话； (ii) 典型数学家和典型民众在数学言论方面的意图特征与这些言论是关于物理或精神对象的观念不一致； (iii)典型数学家或典型民众的意图与我们的数学句子是关于抽象对象的想法没有任何不一致。因此，根据这种观点，柏拉图主义/虚构主义语义理论比数学话语的其他语义理论更好，因为它是唯一与数据一致的理论，而不是因为数学家和普通民众在谈论抽象对象时有积极的意图。数学句子。

（值得注意的是，在继续之前，人们可以声称像数字这样的数学对象的存在依赖于我们，而不认可这些对象的心理学观点。因为人们可能会声称数字是依赖于心灵的抽象对象，即，非-由于人类活动而产生的时空物体得到了 Liston (2003-04)、Cole (2009) 和 Bueno (2009) 的认可。）

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