数学哲学中的柏拉图主义（一）

1.什么是数学柏拉图主义？

1.1 历史评论

1.2 数学柏拉图主义的哲学意义

1.3 对象现实主义

1.4 真值实在论

1.5 柏拉图主义的数学意义

2. 弗雷格的存在论证

2.1 论证的结构

2.2 捍卫古典语义学

2.3 捍卫真理

2.4 本体论承诺的概念

2.5 从存在到数学柏拉图主义？

3. 对数学柏拉图主义的反对

3.1 认识论的获取

3.2 形而上学的反对

3.3 其他形而上学的反对意见

4. 对象实在论与数学柏拉图主义之间

4.1 如何理解独立性

4.2 丰富的柏拉图主义

4.3 轻量级语义值

4.4 亚里士多德的启发

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.什么是数学柏拉图主义？

数学柏拉图主义可以定义为以下三个命题的结合：

存在。

有数学对象。

抽象性。

数学对象是抽象的。

独立。

数学对象独立于智能主体及其语言、思想和实践。

补充中列出了“数学柏拉图主义”的一些代表性定义

柏拉图主义的一些定义

并证明上述定义是相当标准的。

一般的柏拉图主义（与具体的数学柏拉图主义相反）是由上述三个主张通过用任何其他形容词替换形容词“数学”而产生的任何观点。

对于目前的目的来说，前两个主张是相当清楚的。存在可以形式化为‘

∃

x

中号

x

∃xMx’，其中‘

中号

x

Mx’ 缩写谓词 ‘

x

x 是一个数学对象”，这适用于所有且仅适用于纯数学研究的对象，例如数字、集合和函数。抽象性说每个数学对象都是抽象的，一个对象被称为抽象的只是为了防止它是非时空的并且（因此）因果无效。 （有关进一步的讨论，请参阅有关抽象对象的条目。）

独立性不如其他两个主张那么明确。将这种独立性赋予一个对象意味着什么？最明显的注释可能是反事实条件，即如果没有任何智能体，或者如果他们的语言、思想或实践不同，仍然会有数学对象。然而，这种注释能否完成独立性应该做的所有工作是值得怀疑的（见第 4.1 节）。目前，《独立》将保留一些示意性的内容。

1.1 历史评论

柏拉图主义必须与历史柏拉图的观点区分开来。在当代关于柏拉图主义的辩论中，很少有人对柏拉图的观点提出强有力的解释，更不用说捍卫它了。尽管我们所说的“柏拉图主义”的观点受到柏拉图著名的抽象和永恒形式理论的启发（参见柏拉图形而上学和认识论的条目），但柏拉图主义现在的定义和争论独立于其最初的历史灵感。

不仅我们所讨论的柏拉图主义不是柏拉图的柏拉图主义，而且上述柏拉图主义是一种纯粹的形而上学观点：它应该与其他具有实质性认识论内容的观点区分开来。柏拉图主义的许多较早的特征都添加了强烈的认识论主张，大意是我们对抽象对象的领域有一些直接的掌握或洞察。 （参见例如，Rees 1967。）但是为上述纯粹形而上学的观点保留“柏拉图主义”一词是有用的（并且现在相当标准）。许多在这种纯粹形而上学意义上捍卫柏拉图主义的哲学家会拒绝额外的认识论主张。例子包括奎因和其他哲学家，他们被所谓的不可或缺性论证所吸引，该论证试图为数学柏拉图主义提供广泛的经验辩护。 （参见数学哲学中关于不可或缺性论证的条目。）

最后，上述“数学柏拉图主义”的定义排除了纯数学的所有真理都是必然的这一主张，尽管传统上大多数柏拉图主义者都提出了这一主张。同样，这种排除是合理的，因为一些通常被认为是柏拉图主义者的哲学家（例如奎因和上述不可或缺性论证的一些追随者）拒绝这种附加的模态主张。

1.2 数学柏拉图主义的哲学意义

数学柏拉图主义具有相当大的哲学意义。如果这种观点是正确的，它将给物理主义认为现实已被物理耗尽的观点带来巨大压力。因为柏拉图主义意味着现实远远超出了物理世界，并且包括不属于物理科学所研究的因果和时空秩序的一部分的物体。 [1]数学柏拉图主义如果成立，也将给许多自然主义知识理论带来巨大压力。因为毫无疑问我们拥有数学知识。因此，数学柏拉图主义的真理将证明我们拥有抽象（因此因果上无效）对象的知识。这将是一个重要的发现，许多自然主义知识理论都难以适应这一发现。

尽管这些哲学后果并非数学柏拉图主义所独有，但这种特殊形式的柏拉图主义非常适合支持此类后果。因为数学是一门非常成功的学科，无论是其本身还是作为其他科学的工具。 [2]很少有当代分析哲学家愿意反驳一门学科的任何核心主张，该学科的科学信誉与数学一样强大（Lewis 1991，第 57-9 页）。因此，如果哲学分析揭示数学会产生一些奇怪且令人惊讶的后果，那么简单地拒绝数学是没有吸引力的。 [3]柏拉图主义的基础是一门学科，其科学资历不如数学那么令人印象深刻，但这种柏拉图主义的形式不会处于这种幸运的境地。例如，当神学被证明具有一些奇怪和令人惊讶的哲学后果时，许多哲学家会毫不犹豫地拒绝神学的相关部分。

1.3 对象现实主义

让对象实在论认为存在抽象的数学对象。因此，对象现实主义只是存在性和抽象性的结合。[4]对象实在论与唯名论相对立，在当代哲学中，唯名论通常被定义为不存在抽象对象的观点。 （在更传统的哲学用法中，“唯名论”一词指的是不存在共相的观点。参见 Burgess & Rosen 1997，第 13-25 页以及关于抽象对象的条目。）

由于对象实在论忽略了独立性，因此这种观点在逻辑上比数学柏拉图主义更弱。因此，对象实在论的哲学后果不如柏拉图主义那么强烈。许多物理主义者会接受非物理对象，只要它们依赖于物理对象或可以还原为物理对象。例如，他们可以接受公司、法律和诗歌等对象，前提是这些对象适当地依赖于或可还原为物理对象。此外，对于我们以某种方式制造或“构成”的非物理对象的认知访问似乎并不神秘。如果公司、法律和诗歌是我们创造或“构成”的，那么我们大概在创造或“构成”它们的过程中获得了对它们的了解。

数学哲学中的一些观点是对象实在论而不是柏拉图主义。一个例子是传统的直觉主义观点，它肯定数学对象的存在，但坚持认为这些对象依赖于数学家及其活动或由数学家及其活动构成。 [5]一些属于对象现实主义而不是柏拉图主义的观点的进一步例子将在第 4 节中讨论。

1.4 真值实在论

真值实在论认为，每一个形式良好的数学陈述都具有唯一且客观的真值，该真值与我们是否可以知道以及它是否符合我们当前数学理论的逻辑无关。该观点还认为，大多数被认为正确的数学陈述实际上都是正确的。所以真值实在论显然是一种形而上学的观点。但与柏拉图主义不同，它不是一种本体论观点。因为虽然真值实在论声称数学陈述具有独特且客观的真值，但它并不遵循独特的柏拉图主义思想，即这些真值应根据数学对象的本体论来解释。

数学柏拉图主义通过提供数学陈述如何获得真值的说明，显然激发了真值实在论。但前一种观点并不必然包含后一种观点，除非添加进一步的前提。因为即使存在数学对象，指称和量化的不确定性也可能剥夺数学陈述的独特和客观的真值。相反，真值实在论本身并不意味着存在，因此既不意味着对象实在论，也不意味着柏拉图主义。因为对于数学陈述如何能够拥有独特且客观的真值有各种不同的解释，而这些真值并不假定数学对象的领域。 [6]

事实上，许多唯名论者支持真值实在论，至少在更基本的数学分支方面，例如算术。这种类型的唯名论者坚持一种听起来有点奇怪的观点，即尽管普通的数学陈述

(1)

10到20之间有质数。

确实如此，实际上不存在数学对象，因此特别不存在数字。但这里并不矛盾。我们必须区分语言

L

中号

数学家提出他们的主张和语言的 LM

L

磷

唯名论者和其他哲学家在其中创造了他们的LP。声明（1）是在

L

中号

LM。但是，唯名论者断言（1）是正确的，但不存在抽象对象。

L

磷

LP。因此，唯名论者的断言是完全连贯的，只要（1）是从非谐音翻译过来的

L

中号

LM 进入

L

磷

LP。事实上，当唯名论者声称句子的真值

L

中号

LM 的固定方式对数学对象没有吸引力，这正是她想要的这种非谐音翻译。上一篇注释中提到的视图提供了一个示例。

这表明，为了使“存在”这一主张达到其预期效果，必须用以下语言来表达：

L

磷

我们哲学家使用的LP。如果主张是用语言表达的

L

中号

如果数学家使用LM，那么唯名论者可以接受这一主张，同时仍然否认存在数学对象，这与该主张的目的相反。

哲学家的一个小而重要的传统主张，关于柏拉图主义的辩论应该被关于真值实在论的辩论所取代，或者至少转变为关于真值实在论的辩论。支持这一观点的一个理由是，前一种争论非常不明确，而后者则更容易处理（Dummett 1978a，第 228-232 页和 Dummett 1991b，第 10-15 页）。另一个原因是，关于真值实在论的争论对于哲学和数学来说比关于柏拉图主义的争论更重要。 [7]

1.5 柏拉图主义的数学意义

工作实在论是一种方法论观点，认为数学应该像柏拉图主义一样被实践（Bernays 1935，Shapiro 1997，第21-27页和38-44页）。这需要一些解释。在关于数学基础的争论中，柏拉图主义经常被用来捍卫某些数学方法，例如：

经典的一阶（或更高级）语言，其单数术语和量词似乎是指数学对象并涵盖数学对象。 （这与数学史上早期占主导地位的语言形成鲜明对比，后者更依赖于建设性和模态词汇。）

古典逻辑而非直觉逻辑。

非构造性方法（例如非构造性存在证明）和非构造性公理（例如选择公理）。

命令式定义（即，对所定义的对象所属的总体进行量化的定义）。

“希尔伯特乐观主义”，即相信每个数学问题原则上都是可以解决的。 [8]

根据工作实在论，这些方法和其他经典方法在所有数学推理中都是可以接受和可用的。但工作现实主义并不对这些方法是否需要任何哲学辩护，以及如果需要，这种辩护是否必须基于柏拉图主义采取立场。简而言之，柏拉图主义是一种明确的哲学观点，而工作实在论首先是数学本身关于该学科正确方法论的观点。因此，柏拉图主义和工作现实主义是截然不同的观点。

然而，这两种观点之间当然可能存在逻辑关系。鉴于工作实在论的起源，该观点得到数学柏拉图主义的大力支持也就不足为奇了。假设数学柏拉图主义是正确的。那么显然数学语言应该如（i）中所描述的那样。其次，如果对现实的任何独立存在的部分进行经典推理是合法的，（ii）也将随之而来。第三，由于柏拉图主义确保数学是被发现的而不是发明的，数学家就没有必要将自己限制在构造方法和公理上，这就建立了（iii）。第四，哥德尔（Gödel，1944）提出了一个强有力且有影响力的论点，即只要被定义的对象独立于我们的定义而存在，谓语定义就是合法的。 （例如，“班上最高的男孩”尽管是谓语，但似乎没有问题。）如果这是正确的，那么（iv）将随之而来。最后，如果数学是关于一些独立存在的现实，那么每个数学问题都有一个独特且确定的答案，这至少为希尔伯特式乐观主义提供了一些动机。 （然而，请参见第 4.2 节中对丰富柏拉图主义的讨论。）

因此，数学柏拉图主义的真理将对数学本身产生重要的影响。它将证明与工作现实主义相关的经典方法的合理性，并鼓励寻找新的公理来解决我们当前数学理论尚未解决的问题（例如连续统假设）。

然而，工作现实主义并不以任何明显的方式暗示柏拉图主义。尽管工作实在论认为我们有理由使用当代数学的柏拉图主义语言，但这至少在两个方面不符合柏拉图主义。正如上面对真值实在论的讨论所示，可以通过避免对数学对象的引用和量化的方式来分析数学的柏拉图主义语言。此外，即使数学语言的表面价值分析可以被证明是合理的，这也将支持对象实在论而不是柏拉图主义。对于柏拉图主义的第三个组成部分，即独立性，还需要一个额外的论证。 4.1 节讨论了这种论证的前景。

2. 弗雷格的存在论证

我们现在描述数学对象存在性的论证模板。由于第一个提出这种一般形式论证的哲学家是弗雷格，因此它被称为弗雷格论证。但该模板是通用的，并且抽象了弗雷格自己对数学对象存在的辩护的最具体方面，例如他认为算术可以简化为逻辑的观点。弗雷格逻辑主义只是开发该模板的一种方式；下面将提到一些其他方式。

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