数学哲学中的柏拉图主义（二）

2.1 论证的结构

弗雷格论证基于两个前提，第一个前提涉及数学语言的语义：

古典语义学。

数学语言的单数术语旨在指称数学对象，而其一阶量词则旨在涵盖这些对象。

“旨”这个词需要解释一下。当一句话

S

S 旨在以某种方式指代或量化，这意味着对于

S

说实话，

S

S 必须成功地以这种方式指代或量化。

第二个前提不需要太多解释：

真相。

大多数被接受为数学定理的句子都是正确的（无论其句法和语义结构如何）。

考虑被接受为数学定理并且包含一个或多个数学单数术语的句子。说实话，这些句子大部分都是正确的。[9]让

S

S 就是这样的一句话。根据古典语义学，真理

S

S 要求其单数项能够成功地指代数学对象。因此，正如存在所断言的那样，必定存在数学对象。[10]

2.2 捍卫古典语义学

古典语义学声称，数学语言在语义上的功能与一般功能中的语言非常相似（或者至少传统上被假定为功能）：单数项和量词的语义功能分别是指对象和范围对象。这是关于专业数学家社区使用的半形式语言的工作原理的广泛经验主张。 （在 Burgess & Rosen 1997 年，第 6-7 页广泛采用的术语中，古典语义学是一种解释学主张；也就是说，它是关于某种语言如何实际使用的描述性主张，而不是关于这种语言如何使用的规范性主张应该使用。）还请注意，古典语义学与大多数传统的语义观点兼容；特别是，它与所有关于句子含义的标准观点兼容，即它们是真值、命题或可能世界的集合。

古典语义学具有很强的表面合理性。因为数学语言强烈地表现出与普通非数学语言相同的语义结构。正如 Burgess (1999) 所观察到的，以下两个句子似乎具有相同的简单语义结构，即谓语被归因于主语 (p. 288)：

伊芙琳很拘谨。

十一是质数。

这种现象也被语言学家和语义学家提出的标准语义分析所证实。

尽管如此，古典语义学仍然受到诸如赫尔曼（Hellman，1989）和霍夫韦伯（Hofweber，2005和2016）等唯名论者的挑战。 （另请参阅 Moltmann (2013) 了解与自然语言算术词汇有关的一些挑战，以及 Snyder (2017) 进行讨论。）本文不详细讨论此类挑战。我只想指出，需要做大量的工作来证实这种挑战。挑战者必须辩称数学和非数学语言之间明显的语义相似性是具有欺骗性的。这些论点必须是语言学家和语义学家（对数学哲学没有既得利益）能够认识到的重要论点。 [11]

2.3 捍卫真理

真理可以通过多种不同的方式来捍卫。所有辩护的共同点是，他们首先确定一些可以评估数学陈述的真值的标准，然后论证数学定理满足这个标准。

一种选择是诉诸比数学本身更基础的标准。逻辑主义提供了一个例子。弗雷格和其他逻辑学家首先声称任何纯逻辑定理都是正确的。然后他们试图证明某些数学分支的定理可以仅通过纯逻辑和定义来证明。

另一种选择是诉诸经验科学的标准。奎因-普特南不可或缺的论点提供了一个例子。首先，我们认为经验科学的任何不可或缺的部分都可能是真实的，因此我们有理由相信。然后认为大量的数学对于经验科学来说是必不可少的。如果这两种说法都是正确的，那么真理很可能是真实的，因此对真理的信仰是合理的。 （参见数学哲学中关于不可或缺性论证的条目。）

第三种选择是诉诸数学本身的标准。为什么人们必须诉诸非数学标准，例如逻辑或经验科学的标准，才能捍卫数学定理的真理？当我们捍卫逻辑和物理学主张的真理时，我们不需要诉诸逻辑和物理学之外的标准。相反，我们假设逻辑和物理学提供了它们自己独特的论证标准。为什么数学应该有所不同？近年来，第三种策略受到了很多关注，通常被冠以“自然主义”或“数学自然主义”的标题。 （参见 Burgess & Rosen 1997，Maddy 1997，对于批判性讨论，请参见数学哲学中的自然主义条目。）

这是如何制定自然策略的示例。将数学家对数学定理所采取的态度称为“接受”。那么以下主张似乎是合理的：

(2)

数学家有理由接受数学定理。

(3)

接受数学陈述

S

S涉及采取

S

说实话。

(4)

当数学家接受数学陈述时

S

S，这种态度的内容一般就是字面意思

S

S。

从这三个主张可以看出，数学专家有理由将数学定理视为字面真理。推而广之，我们其他人也有理由相信真理。请注意，与（2）相关的专家本身不需要相信（3）和（4），更不用说证明任何此类信念是合理的。重要的是这三个说法都是正确的。确定（3）和（4）的真实性的任务可能会落在语言学家、心理学家、社会学家或哲学家身上，但肯定不会落在数学家自己身上。

诚然，关于数学的虚构主义者会试图抵制（3）或（4）。参见 Field (1982)、Yablo (2005)、Leng (2010)，以及数学哲学中的虚构主义条目。

2.4 本体论承诺的概念

弗雷格论证的不同版本有时是用本体论承诺的概念来表述的。假设我们按照本体论承诺的标准奎因标准进行操作：

蒯因准则。

一阶句子（或此类句子的集合）在本体论上致力于这样的对象，必须假设这些对象位于该句子（或句子的集合）为真的变量范围内。

然后从古典语义学可以得出，许多数学句子在本体论上都致力于数学对象。要了解这一点，请考虑一个典型的数学定理

S

S，涉及单数项或一阶量词的一些正常外延出现。根据古典语义学，这些表达式旨在指代或涵盖数学对象。为了

S

确实，这些表达式必须成功地完成它们声称要做的事情。因此，对于

S

要成立，变量范围内必须存在数学对象。根据奎因准则，这意味着

S

S 在本体论上致力于数学对象。

蒯因和许多其他人认为蒯因的标准只不过是“本体论承诺”一词的定义（Quine 1969 和 Burgess 2004）。但这一标准仍然受到了挑战。一些哲学家否认奇异项和一阶量词会自动产生本体论承诺。也许这个句子为真的“世界所要求的”涉及量词范围内的一些但不是全部对象的存在（Rayo 2008）。或者也许我们应该切断一阶存在量词和本体论承诺概念之间的联系（Azzouni 2004，Hofweber 2000 和 2016）。

对这些挑战的一种回应是观察弗雷格论证在上面的发展中没有使用“本体论承诺”一词。因此，对蒯因准则提供的“本体论承诺”定义的任何挑战似乎与上面提出的弗雷格论证的版本无关。然而，这种回应不太可能让挑战者满意，他们会回应说，上述论证的结论太弱，无法达到预期的效果。回想一下，结论“存在”是在我们的哲学元语言中形式化的

L

磷

LP 为‘

∃

x

中号

x

∃xMx’。因此，除非这个元语言句子是那种引起本体论承诺的形式，否则这种形式化将无法达到其预期效果。但这正是挑战者所争论的。这个争论在这里不能再继续下去了。现在，我们只是观察到挑战者需要提供一个解释，为什么他们的本体论承诺的非标准概念比标准奎因概念更好并且在理论上更有趣。

2.5 从存在到数学柏拉图主义？

假设我们接受存在，也许是基于弗雷格论证。正如我们所看到的，这还不是接受数学柏拉图主义，这是在存在性基础上添加抽象性和独立性这两个进一步主张的结果。这两个进一步的主张是否站得住脚？

按照哲学的标准，抽象性仍然相对没有争议。少数对此提出挑战的哲学家包括 Maddy (1990)（关于不纯集合）和 Bigelow (1988)（关于集合和各种数字）。这种相对缺乏争议意味着很少有人对抽象性进行明确的辩护。但不难看出这样的防御会如何进行。这是一个想法。对数学实践的任何哲学解释都有一个看似合理的表面限制，即它应该避免将任何可能导致实际数学实践误导或不充分的特征归因于数学。这种限制使得我们很难否认纯数学的对象是抽象的。因为如果这些物体具有时空位置，那么实际的数学实践将被误导和不充分，因为纯数学家应该对它们的物体的位置感兴趣，就像动物学家对动物的位置感兴趣一样。纯数学家对这个问题不感兴趣，这一事实表明他们的对象是抽象的。

独立性是指数学对象（如果有的话）独立于智能主体及其语言、思想和实践。我们将在第四节讨论这篇论文的内容以及如何对其进行辩护。

3. 对数学柏拉图主义的反对

人们对数学柏拉图主义提出了各种反对意见。以下是最重要的。

3.1 认识论的获取

最有影响力的反对意见可能是由 Benacerraf (1973) 提出的。以下是贝纳塞拉夫因菲尔德 (1989) 提出的反对意见的改进版本。 [12]该版本依赖于以下三个前提。

前提 1. 数学家是可靠的，因为对于几乎每个数学句子

S

S，如果数学家接受

S

那么，S

S

S 是真的。

前提 2. 为了证明对数学的信念是合理的，至少在原则上必须可以解释前提 1 中描述的可靠性。

前提3。如果数学柏拉图主义是正确的，那么这种可靠性甚至在原理上也无法解释。

如果这三个前提是正确的，那么数学柏拉图主义就会削弱我们相信数学的理由。

但前提正确吗？前两个前提相对没有争议。大多数柏拉图主义者已经致力于前提 1。而前提 2 似乎相当安全。如果某些信念形成过程的可靠性甚至在原则上都无法得到解释，那么该过程似乎纯粹是偶然的，从而削弱了我们对以这种方式产生的信念的任何正当性。

前提3更具争议性。菲尔德通过观察到“我们的数学断言的真值取决于涉及柏拉图式实体的事实来捍卫这一前提，这些实体存在于时空之外的领域”（Field 1989，第 68 页），因此即使在原则。然而，这种辩护假设对所讨论的可靠性的任何充分解释都必须涉及某种因果关系。这受到了许多哲学家的挑战，他们对可靠性主张提出了更简单的解释。 （参见 Burgess & Rosen 1997，第 41-49 页和 Lewis 1991，第 111-112 页；另参见 Clarke-Doane 2016。有关批评，请参见 Linnebo 2006。）[13]

3.2 形而上学的反对

Benacerraf 的另一篇著名文章提出了对数学柏拉图主义的形而上学反对（Benacerraf 1965，参见 Kitcher 1978）。尽管贝纳塞拉夫专注于算术，但这种反对意见自然会推广到大多数纯数学对象。

贝纳塞拉夫首先捍卫了现在所谓的自然数的结构主义观点，根据这种观点，自然数除了由于在某个数中的位置而具有的属性外，没有其他属性。

ω

ω-序列。例如，除了拥有某些内部结构定义的关系属性，例如成功的2，是6的一半并且是素数外，没有什么比数字3更重要的了。无论我们多么难以研究算术和设定理论，我们永远都不会知道3是否与第四冯·诺伊曼（Von Neumann）序数或相应的zermelo序数相同，或者正如弗雷格（Frege）所建议的那样，与所有三元类别的类别相同（在某些允许此类类存在的系统中）。

Benacerraf现在得出以下结论：

因此，数字根本不是对象，因为在赋予您仅表征抽象结构的数字的属性…时，区别在于，该结构的“元素”除了将它们与其他“其他”相关的属性外没有其他属性。相同结构的元素。 （Benacerraf 1965，第291页）

换句话说，贝纳克拉夫（Benacerraf）声称，除了结构性属性外，没有任何物体。所有对象也必须具有一些非结构性属性。 （请参阅Benacerraf 1996，以后对此论点进行一些思考。）

Benacerraf论点的两个步骤都是有争议的。第一步（自然数具有结构特性）是由多种数学结构主义者辩护（Parsons 1990，Resnik 1997和Shapiro 1997，以及Schiemer＆Wigglesworth 2019，2019年对于结构性特性的概念）。但是，这一步骤被逻辑学家和新习惯主义者否定，他们声称自然数与他们编号的收藏的基本关系息息相关（Wright 2000）。第二步（不可能只有结构性属性的对象）被所有捍卫第一步的结构主义者明确拒绝。 （有关对第二步表示同情的一些声音，请参见Hellman 2001和Macbride 2005。另请参阅Linnebo 2008有关讨论。）

3.3其他形而上的异议

除了贝纳切拉夫（Benacerraf）之外，已经开发了对数学柏拉图主义的各种形而上学的反对。最著名的例子之一是纳尔逊·古德曼（Nelson Goodman）反对布景理论的论点。古德曼（1956）捍卫了名义主义原则，该原则指出，每两个实体具有相同的基本成分时，它们都是相同的。该原理可以被视为加强熟悉的延伸性理论公理。扩展性的公理指出，如果两组

x

x 和

y

y具有相同的元素 - 也就是说

∀

你

（

你

ε

x

↔

你

ε

y

）

∀U（u∈X↔u∈Y） - 然后它们是相同的。名义主义原则是通过用其传递封闭来代替成员关系的。[14]因此，原则指出，如果

x

x 和

y

y是持有的

ε

*

同一个人的∈∗，也就是说

∀

你

（

你

ε

*

∀u（u∈ *

x

↔

你

ε

*

x↔u∈ *

y

）

Y） - 然后

x

x 和

y

y是相同的。通过认可这一原则，古德曼不允许集合和阶级的形成，仅允许形成Merological总和，并应用于标准的Mereological操作（如他的“个人的演算”所描述）。

但是，古德曼对名义主义原则的辩护现在被广泛认为是令人信服的，正如哲学家和数学家的广泛接受理论所见证的那样，这是数学的合法和有价值的分支。

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