数学哲学中的柏拉图主义（三）

4。在物体现实主义和数学柏拉图式之间

对象现实主义说存在抽象的数学对象，而柏拉图主义则增加了独立性，它说数学对象独立于智能代理及其语言，思想和实践。最终部分调查了一些轻巧的物体现实主义形式，这些形式停止了成熟的柏拉图主义。这种中间观点吸引了越来越多的兴趣。

4.1如何理解独立性

独立的自然光泽是以下反事实条件：

反事实独立。

如果没有任何智能代理，或者他们的语言，思想或实践是正确的不同，那么仍然存在数学对象。

大多数分析哲学家接受了这种反事实的条件。要了解为什么，请考虑数学在我们的推理中所扮演的角色。我们经常推荐有关实际不是实际情况的场景。我们是要在这个峡谷上建造一座桥梁，例如，要承受强大的风能，必须有多强大？可悲的是，以前的桥倒塌了。如果钢梁的厚度是厚的两倍，它会这样做吗？关于反事实情景的这种推理形式对于我们的日常审议和科学都是必不可少的。这种推理的允许性具有重要的结果。由于在我们的反事实推理中可以自由地吸引纯数学的真理，因此这些真相是反事实与我们人类的反合独立的，以及所有其他聪明的生活。也就是说，没有聪明的生活，这些真理仍然保持不变。

在这方面，纯数学与普通的经验真理大不相同。如果聪明的生活永远不存在，那么本文就不会被撰写。更有趣的是，纯数学也与各种社会惯例和构造形成鲜明对比，有时将其与之相比（Hersh 1997，Feferman 2009，Cole 2013）。如果聪明的生活永远不存在，就不会有法律，合同或婚姻，而数学真理将保持不变。

因此，如果仅将独立性理解为反事实独立，那么任何接受对象现实主义的人也应该接受柏拉图主义。

然而，令人怀疑的是，这种对独立性的理解完全捕捉了论文的预期内容。因为独立是为了证实数学对象和普通物理对象之间的类比。就像电子和行星独立存在一样，数字和集合也是如此。就像对电子和行星有关的对象以及这些对象的完美客观属性的陈述也是真实或错误的一样，关于数字和集合的陈述也是如此。 （请参阅Dummett 1978b和Maddy 1990年的报价。）简而言之，我们有以下论文：

强大的独立性。

数学对象与普通物理对象形而上。

现在让我们考虑一些拒绝强大独立性论文的观点。因此，这些观点是对象现实主义的轻巧形式，这些形式停止了成熟的柏拉图主义。

4.2全体柏拉图式

对象现实主义的一种轻巧的形式是Balaguer 1998的“全血柏拉图主义”。这种观点的特征是一个充实的原理，表明实际上存在可能存在的任何数学对象的效果。例如，由于连续假设独立于集合理论的标准公理化，因此有一个集合的宇宙，其中假设是真实的，而另一个宇宙是错误的。而且，这两个宇宙都没有形而上学特权（Hamkins 2012）。相比之下，传统的柏拉图主义断言，有一个独特的集合，其中连续假设是确定性的，要么是确定性的。[15]

这种全体观点所谓的好处是数学认识论。如果每个一致的数学理论对于某些数学对象的宇宙都是正确的，那么从某种意义上说，数学知识将很容易获得：只要我们的数学理论是一致的，那么它们对某些数学对象的宇宙是正确的。

但是，“全血柏拉图主义”受到了很多批评。 Colyvan and Zalta 1999批评它破坏了对数学对象的参考可能性，以及Restall 2003，因为缺乏对观点所基于的宽容原则的精确和连贯的表述。马丁（Martin，2001）提出，将不同的集合宇宙融化以产生一个最大的宇宙，这将通过比其他任何集合的宇宙都更好地拟合我们的设置概念来获得特权。

Linsky＆Zalta 1995和一系列其他文章开发了不同版本的全体柏拉图式。 （例如，参见Linsky＆Zalta 2006及其中引用的其他文章。）传统的柏拉图主义通过“在物理对象模型上的抽象对象的想法”出错（Linsky＆Zalta 1995，p。533），包括在内特别是这样的物体是“稀疏”而不是全体的想法。 Linsky＆Zalta基于第二作者的“对象理论”开发了另一种方法。对象理论的主要特征是一个非常通用的理解原理，它断言了大量抽象对象的存在：对于任何属性的集合，都有一个精确地“编码”这些属性的抽象对象。此外，在对象理论中，两个抽象对象是相同的，以防它们完全编码相同的属性。对象理论的理解原则和身份标准被认为“提供了我们的理解认知能力与抽象对象之间的联系”（同上，第547页）。 （有关关键讨论，请参见Ebert＆Rossberg 2007。）

4.3轻巧的语义值

假设对象现实主义是真实的。为了方便起见，还假设经典语义。这些假设确保了数学语言的单一术语和量词是指抽象对象的范围和范围。鉴于这些假设，一个人也应该是数学柏拉图主义者吗？换句话说，数学句子所指并通过满足独立论的任何一个版本的对象？

以更中立的术语重述我们的假设将很有用。我们可以通过调用语义价值的概念来做到这一点，该语义价值在语义和语言哲学中起着重要作用。在这些领域中，人们普遍认为，每个表达式对表达式发生的句子的真实价值做出了一定的贡献。该贡献称为表达的语义值。人们普遍认为（至少在延伸环境中）单一术语的语义价值只是其指南。

现在，我们的假设可以中立地说明数学奇数术语具有抽象的语义值，并且其量词的范围远比用作语义值的项目。让我们关注有关单一条款的主张。这种说法的哲学意义是什么？特别是它支持某种版本的独立性吗？答案将取决于数学单词具有语义价值所需的内容。

一些哲学家认为，不需要太多（Frege 1953，Dummett 1981，Dummett 1991a，Wright 1983，Hale＆Wright 2000，Rayo 2013和Linnebo 2012和2018）。这足以满足

t

t对发生的句子的真实价值做出明确的贡献。语义价值概念的全部目的是代表这种贡献。因此，对于一个单一的术语，它具有具有适当贡献的语义价值，就足够了。

这甚至可能为数学对象的非估计性还原主义形式开辟了道路（Dummett 1991a，Linnebo 2018）。尽管数学单词术语是完全正确的

t

T具有抽象的对象作为其语义价值，该真理可能以更基本的事实获得，而这些事实不提及或涉及相关的抽象对象。例如，一个单一的术语可能是指与适当定向的线相关联的方向，并受身份标准的标准，指出两行指定一个线和同一方向，以防它们是平行的。因此，尽管该术语是指抽象对象的确是完全正确的，但该真理是由于一些不提及或涉及该抽象对象的更基本的事实而获得的。 Linnebo（2018，第11章）认为，这种数学对象的方法仍然验证了反事实独立性。

但是，没有理由为什么应该采取这种方法来实现强大的独立性。相反，这种方法需要在数学和物理对象之间进行一些重要的分离。例如，为了使一个方向存在，就足够了，存在一个适当的方向线，以指定方向。由于该线可以位于任何地方，因此方向的存在不会对时空的任何特定区域施加任何约束。相比之下，物理对象的存在对物体所在的时空特定区域施加了重大约束。

简而言之，如果对语义价值的一些轻巧的描述是可以辩护的，那么我们可以接受对象现实主义和反事实独立性，而无需承诺自己的柏拉图主义形式。

4.4亚里士多德的灵感

我们通过描述了对象现实主义的轻巧形式的两个示例，这些示例拒绝了数学对象和普通物理对象之间的柏拉图式类比。这两个例子均受亚里士多德的启发。

首先，也许数学对象仅以潜在的方式存在，这与普通物理对象的实际存在方式形成鲜明对比。这个想法是潜在无穷大概念的核心（Lear 1980，Linnebo＆Shapiro 2019）。根据亚里士多德的说法，自然数量可能是无限的，从某种意义上说，我们已经产生的数量很大（通过在物理世界中实例化），可以产生更大的数字。但是亚里士多德否认自然数量实际上是无限的：这需要物理世界是无限的，他认为这是不可能的。

跟随Cantor，大多数数学家和哲学家现在捍卫自然数量的实际无穷大。这部分是通过否认亚里士多德的要求，即每个数字都需要在物理世界中实例化。当否认这一点时，自然数的实际无穷大不再需要物理世界的实际无穷大。

然而，关于集合层次结构的一种潜在主义形式继续获得大量支持，尤其是与迭代概念有关（Parsons 1977，Jané2010，Linnebo 2013，Linnebo 2013，Studd 2013）。无论已经形成了多少套，都可以形成更多。如果是真的，这意味着集合具有一种潜在的存在形式，可以将它们与普通物理对象区分开来。[16]

其次，也许数学对象在本体论依赖或衍生物上以区分它们与独立现有物理对象的方式。根据Rosen（2011）所说的“合格现实主义”，数学事实基于其他不涉及数学对象的事实。例如，自然数量存在，但是它们的存在以及其性质和关系的基础比算术的基础更为基础，例如实际上关于可证明性或结构性的可能性。也可以通过采用简单的算术真理来依靠相关数字实例化的众多多个多元化，从而使这种观点具有更高的旋转（Schwartzkopff 2011，Donaldson 2017）。例如，

2

+

2

=

4

2+2 = 4均基于任何事实，关于一对和不相交的两倍。该视图的其他版本也是如此。例如，Kit Fine（1995）和其他人认为一套在本体论取决于其元素。 （这种观点也与上述的固定理论潜在主义密切相关。）

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