数学哲学中的演绎主义（一）

一、简介

2. 动机

3.历史账目

3.1 拉塞尔

3.2 希尔伯特

3.3 帕什

3.4 咖喱

3.5 直觉主义和布劳威尔

4. 意义很重要

5. 可证明性：具体化还是不具体化？

6.非公理数学

7. 回归？

8. 应用

9. 真实完整性

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

演绎主义是十九世纪末二十世纪初流行的一种数学哲学。它理解一个数学句子

s

s 表达这样的主张

s

s 从适当的公理演绎得出。例如，演绎主义者可能会解释“

2

+

2

=

4

2+2=4” 为

这句话“

2

+

2

=

4

2+2=4”从算术公理演绎得出，

或“2 是质数”为

“2 是素数”这句话是从算术公理演绎出来的，

或者，对于一个非算术的例子，“每个组

G

G 恰好有一个单位元”

句子“每个组

G

G 恰好有一个单位元”，这是从群论公理推导出来的。

因此，演绎主义者拒绝数学的表面语法。他们不以“2是素数”来将属性（素数）赋予实体（数字2）；对于他们来说，它指出句子“2 是素数”是从一些公理得出的。

本文将评估演绎主义的优点和缺点，讨论其二十世纪初的鼎盛时期，并将其与当代版本的结构主义进行比较。

2. 动机

演绎主义之所以有趣且重要，有很多原因。首先，它证明了数学中无可争议的最重要的地位。数学家只有在得到证明后才认为结果是成立的。如果我们更进一步并认为数学真理不仅是由（可能尚不知道的）证明的存在而建立的，而且是由其构成的，那么探索会发生什么是很自然的。

其次，许多数学家声称相信演绎主义或类似的东西（Maddy 2022：9）。问数学家他们的主题是什么，至少有些人会回答说这是关于“从公理中可以推出什么”。当然，这样的口号并不是一种成熟的哲学，而且在谈话中比在印刷品中更常见。尽管如此，如果这个口号及其背后的情感指向任何特定的哲学，那么它肯定是演绎主义。此外，数学的大部分部分都被明确地理解为探索规定公理的结果，[1]演绎主义以自己的方式阐明了这些公理，并将其推广到所有数学。不仅如此，正如第 3 节将简要记录的那样，从 19 世纪末到 20 世纪初，许多有影响力的数学哲学家都是或可以被解释为演绎主义者。

第三，这可能在某种程度上解释第二点，演绎主义被视为哲学上的“干净”（Rheinwald 1984：49）或“避免哲学流沙”的一种方式（Maddy 2022：9）。在认识论方面，演绎主义者的主要任务是解释演绎逻辑的认识论——没有进一步的数学认识论的具体问题。从形而上学的角度来看，演绎主义的解释似乎并不预设任何抽象的数学对象，而这些对象通常被视为有问题的。演绎主义更受青睐的一点是，它尊重数学假定的客观性，因为从公理得出的结论是客观的事物，独立于我们。此外，演绎主义似乎提供了一个有前途的应用说明：每当你发现一个满足特定数学分支公理的物理系统时，该分支的定理就必须适用于该系统。 （我们将在下面回到这些所谓的景点。）

第四个也是最后一个原因是演绎主义和结构主义是相关的。事实上，演绎主义被一些人（例如，Bostock 2009：183）视为取消结构主义的句法版本。尽管结构主义有各种形式，也存在各种问题，但它是当今市场上最有吸引力的数学形而上学之一。 [2]

演绎主义和取消结构主义有一些共同特征。粗略地说，两者都理解数学主张

p

p 作为“公理意味着

p

p”（其中“公理”可以理解为数学或其他相关分支的公理——对于演绎主义的不同版本，请参见§4）。演绎主义以演绎方式理解相关含义，消除结构主义以语义方式理解相关含义。对于演绎主义者来说，蕴含或后果的相关概念是句法概念，在逻辑中用“

⊢

⊢”；这么说

γ

⊢

δ

γ⊢δ 就是说这句话

δ

δ 可推导出来

γ

某些特定演绎系统中的 Γ。对于取消结构主义者来说，蕴涵或后果的相关概念是语义概念，在逻辑中用“

⊨

⊨”。例如，消除结构主义者解释“

2

+

2

=

4

2+2=4”作为关于满足算术公理的任何结构中成立的断言。[3]

然而，当我们深入研究细节时，就会发现一些明显的差异。演绎主义者认为数学主张是关于句子的，而取消结构主义者则认为数学主张是对结构的概括。因此，与演绎主义者不同，取消结构主义者欠我们对结构形而上学的解释。消除结构主义者通常也将他们的解释与存在主义断言相结合，即正确类型的结构存在（或可能存在），而演绎主义者经常忽略公理是一致的相应主张。取消结构主义的一个著名版本是模态的，首先由 Putnam (1967b) 提出并由 Hellman (1989) 发展，而演绎主义通常不是模态的。 （尽管请参阅第 5 节了解如何用原始模态运算符来阐明演绎主义。）最后，取消结构主义只是当今结构主义的多种形式之一。其中一些，例如赫尔曼的版本，与最接近演绎主义的排除法有很多共同点。其他的，例如夏皮罗的先物结构主义（Shapiro 1997），则不然。

尽管如此，尽管存在这些差异，两者之间还是存在一些明显的历史和哲学连续性，因此弄清楚演绎主义的缺陷可以帮助我们更好地理解广义结构主义方法的优点。确实如此，在哥德尔 1929 年一阶逻辑的完备性定理（次年以论文形式发表）之前，演绎主义和取消结构主义之间的差异并没有被清楚地理解。这一点将在历史§3中说明。与这个故事相关的还有哥德尔 1931 年的第一不完备性定理，该定理将构成第 9 节中对演绎主义的关键反对的基础。[4]

最后一个联系点是，当背景逻辑可公理化时，消除结构主义和演绎主义提供了对数学真理的外延等效解释。 [5]原因很简单，对于公理化逻辑，例如一阶逻辑，语义蕴涵在外延上等价于演绎推理。因此，假设您受到数学哲学中的取消结构主义的诱惑，并使用一阶逻辑作为您的默认逻辑。 [6]然后你将采取

p

p 与（一阶）演绎主义者一样成为数学真理。避免“陷入演绎主义的语义等价物”正是赫尔曼为其消除结构主义模态版本选择二阶框架的原因之一（Hellman 1989：18-19）。然而，正如所解释的，消除结构主义和演绎主义在任何比这种外延更强烈的意义上并不等同，即使它们共享的背景逻辑是公理化的。

术语注释：演绎主义有时被称为“如果-那么主义”。然而，“如果-那么主义”听起来更像是其句法和语义种类分别是演绎主义和取消结构主义的属。 Rheinwald (1984: 49) 使用“蕴涵主义”这一名称来称呼这一类，为演绎主义保留“句法蕴涵主义”，为结构主义保留“语义蕴涵主义”。该术语成功地涵盖了属和种，并且具有透明度的巨大优点。目前的条目坚持对这两个物种的“演绎主义”和“结构主义”，因为这些名称是今天更常见的名称（并且更短）。

3.历史账目

本节涵盖演绎主义的四种历史记载，分别由罗素（§3.1）、希尔伯特（§3.2）、帕什（§3.3）和库里（§3.4）倡导。前三个是前哥德尔式的；第四个是后哥德尔时代捍卫演绎主义的尝试。

将演绎主义归因于老作家比最初看起来更困难，并且现有文献没有提供以比较方式这样做的尝试。困难是由几个混合因素造成的。主要的一点是，在哥德尔之前，语义后果和句法后果之间没有明确的区别。术语混乱也无济于事：例如，库里将他的演绎主义称为“形式主义”，这个标签通常是为不同的立场保留的。因此，本文的重点是对作者的实质性主张进行分类。与布劳威尔（第 3.5 节）的比较也很重要，布劳威尔强调数学证明，但不是演绎主义者。

3.1 拉塞尔

罗素的《数学原理》出版于 1903 年。该书的第一句话包含了罗素关于数学是什么的信条：

纯数学是所有形式为“的命题的类别”

p

p 意味着

q

q”，其中

p

p 和

q

q 是包含一个或多个变量的命题，两个命题相同，并且两者都不相同

p

普诺

q

q 包含除逻辑常量之外的任何常量 (Russell 1903 [2009: 3])。

这些提议可能看起来很奇怪

p

p 和

q

q 应该包含至少一个变量。然而，根据拉塞尔的说法，即使“

1

+

1

=

2

1+1=2”包含一旦完全明确的变量，即“如果

x

x 是 1 并且

y

y 是一，并且

x

x 不同于

y

y，那么

x

x 和

y

y 是两个”（Russell 1903 [2009：6]）。

罗素的信条是演绎主义或结构主义的一种形式，还是两者的某种混合？在二十世纪之交，没有人明确区分语义和句法，罗素也不例外。这导致普特南声称，用我们的术语来说，罗素真正想要的是取消结构主义。 （普特南将他归因于罗素的结构主义命名为“如果-那么主义”；正如第 2 节中所解释的，这篇条目避免了这个术语。）他敦促：

当然，他的意思并不是所有数学中结构良好的公式都以马蹄铁作为主要连接词！但是数学家的任务是证明，如果有任何结构满足这样那样的公理（例如群论的公理），那么该结构就满足这样那样的进一步陈述（群论的一些定理）或其他）（Putnam 1967a [1975：20]）。

然而，普特南对罗素的结构主义解释是有争议的，尤其是因为结构主义的解读似乎与几个段落的演绎主义措辞明确矛盾（Kraal 2014：1498）。例如，按照上述方式定义的纯数学，罗素继续断言：

[b]借助十个演绎原理和其他十个一般逻辑性质的前提（例如，“蕴涵是一种关系”），所有数学都可以严格而正式地推导；数学中出现的所有实体都可以根据上述二十个前提中出现的实体来定义（Russell 1903 [2009：3]）。

这里的重点显然是演绎。

证明上述推导性主张是《数学原理》(Russell 1903 [2009: xiii]) 的既定目标。和当时的其他人一样，罗素倾向于假设逻辑蕴涵是一种演绎关系。因此，即使他无意严格区分语义和句法（正如他在历史上无法做到的那样），他的信条与逻辑与演绎含义的等式相结合，使他陷入了演绎主义。因此，《原则》的关键学说更合理地被解释为演绎主义的一个版本，而不是取消结构主义的版本。 [7]

3.2 希尔伯特

罗素的其他同时代人也表现出演绎主义倾向。雷斯尼克将希尔伯特 1900 年左右的工作归类为“演绎主义时期”（1980：105）。然而，希尔伯特当时一方面支持现在可以区分为演绎主义的东西，另一方面支持某种形式的原始结构主义。他没有像我们今天那样区分两者，因为他假设完整的公理化和证明系统是可用的。

想想希尔伯特 1900 年的《关于数的概念》。在引言中，希尔伯特宣称他打算将几何学中已知的公理化方法应用于数字的概念（1900a：181）。他将公理化方法与当时文献中常见的临时方法进行了对比。他的公理化方法的目的是实现“我们理解的内容的最终呈现和逻辑确定性”（同上）。他首先为实数提出了十八条公理。为了赋予风味，第一个公理是

从数量来看

一个

一个和数字

乙

b 通过“加”特定数字得到结果

c

c，正式：

一个

+

乙

=

c

a+b=c 或

c

=

一个

+

乙

c=a+b。 （1900a：18）

然后希尔伯特断言，关于实数的命题只有在可以通过有限数量的步骤从公理集合中证明时才有效（gültig）（1900a：184）。

同年他在巴黎国际数学家大会上发表的著名演讲（以《数学问题》出版）解释了这种坚持的原因。希尔伯特在这里表达了“绝对的信念”，即任何数学问题，无论多么困难，都必须“通过有限数量的纯逻辑步骤”来解决（1900b：261）。他坚持认为，这一信念是所有数学家的共同信念，也是动力的主要来源。但他也指出，我们没有证据证明有限可导性主张是正确的（1900b：262）。尽管缺乏这样的证明，他仍认为这一信念是数学家的自然作案方式。在《数学问题》中，希尔伯特还认为，就数学中引入的新概念而言——例如，由于它们在科学解释中的有用性——这些概念需要被公理化以使其可用于演绎：

[他们的引言] 数学的任务是研究与新概念相关的原理，然后将它们固定在一个简单而完整的公理系统中，使新概念及其推导的可用性丝毫不逊色到旧的算术概念。 （1900b：259，我们的翻译和强调）

在强调演绎框架重要性的同时，希尔伯特认可了原始结构主义思想。他提到“思考一个对象系统”，说我们“将这些对象称为数字”并“用 a、b、c 表示它们”（1900a：181）。例如，希尔伯特在一年前与弗雷格的通信中指出：

例如，不要考虑点，而是考虑一个爱、法律、扫烟囱的系统……它满足所有公理；那么毕达哥拉斯定理也适用于这些事情。任何理论总是可以应用于无限多个基本元素系统。 （1899 年 12 月 29 日的信，Frege 1976 [1980: 42]）

希尔伯特依靠完整性假设在演绎主义和原结构主义之间流畅地移动。例如，他在 1899 年 12 月 29 日写给弗雷格的信中指出，如果公理系统中的公理彼此不矛盾，

那么它们就是真的，并且由公理定义的事物存在。这对我来说就是真理和存在的标准。 （1899 年 12 月 29 日的信，Frege 1976 [1980: 42]）

请注意，希尔伯特并不认为公理在有模型的情况下就是正确的——只有公理系统完整时，一致性和模型存在性才是等价的。

当时的希尔伯特坚定地坚持两种观点。两者都根据公理的含义将数学主张理解为正确的。一是数学有效性相当于从有限数量的公理通过有限数量的步骤得出的数学可证明性。第二，数学不是关于特定的对象，而是数学真理（在特定领域）是由公理定义的。

我们还可以观察到罗素和希尔伯特的各种演绎主义之间的差异。通过断言

数学中出现的所有实体都可以根据上述二十个前提中出现的实体来定义，

罗素将演绎主义与公理和定理中的任何非逻辑词汇最终都是可消除的主张紧密联系起来（1903 [2009：xliii]）。因此，罗素将演绎主义与逻辑主义的核心原则结合起来，即非逻辑术语可以由逻辑术语定义。

相比之下，对于世纪之交的希尔伯特来说，我们的推论中的数字和其他非逻辑术语（我们可以这样称呼它们）仍然很原始。但尽管无法消除，但它们是通用的。希尔伯特要求我们想象“一个事物系统，我们称之为数字”（Hilbert 1900a：181）。然后，公理提供了“数字的精确而完整的描述”“相互关系”（Hilbert 1900a：181）。因为正如他令人难忘的说法，“一个人必须能够在任何时候都能够说——而不是点、直线和平面——桌子、椅子和啤酒杯”（Kennedy 1972：133）。在这里，希尔伯特的立场实际上源自帕什。帕什称他的方法为“形式主义”，并坚持认为，如果基本概念被“任何概念或无意义的符号”完全取代，数学证明仍然有效（Schlimm 2010：103）。

3.3 帕什

这让我们想到了莫里茨·帕什本人，他是罗素和希尔伯特的另一位同时代人，他捍卫了演绎主义的风格。帕什 (Pasch) 因其 1882 年出版的《Vorlesungen über neuere Geometrie》中对几何的公理化而闻名。 1882 年第一版中发现的关键段落如下：

事实上，如果几何学要真正进行演绎[deduktiv]，演绎[Deduktion]必须处处独立于几何术语的含义，就像它必须独立于图表一样；仅可以考虑所使用的定理和定义中指定的几何术语之间的关系。在演绎过程中，思考几何术语的含义是允许的，也是有用的，但没有必要；事实上，如果有必要这样做，这会暴露推论中的缺陷，在某些情况下甚至会暴露证明中引用的定理的不足（1882/1926，我们的翻译和强调）。 [8]

这段话做了两件事：它坚持认为几何术语的含义在最严格的几何中不起任何作用；并且它强调证明。因此，它可以被视为提倡演绎主义，或者可能是形式主义。这里的“形式主义”意味着有时被称为“游戏形式主义”，即数学只是根据定义的规则玩符号的论点。然而，帕什语料库中的其他段落支持演绎主义解释：

数学是一个由两部分组成的系统，必须明确区分。第一个部分是真正的数学部分，完全致力于演绎。第二种是通过介绍和阐明一系列见解来使演绎成为可能，这些见解将作为演绎的材料，并在演绎部分需要时准备新材料。第二部分与真正的数学部分相形见绌，可以称为前数学部分，而我可以将另一部分称为刚性部分，因为它形成了一种以其推理规则的绝对严格性为特征的结构。尽管人们很容易忽视这些规则的严格性，但这并不会降低它们的严格性。正如我所说，严格的部分是数学本身。它通过数学证明和数学定义进行。 （Pasch 1918 [2010：51]，我们的重点）

因此，帕什区分了数学和我们所谓的“前数学”。数学完全是演绎性的，而预数学则是为了激发“演绎材料”。数学使前数学“相形见绌”，其特点是“其推理规则绝对严格”，这就是帕什称之为“僵化”（starr）的原因。根据上述段落和其他段落，帕什可以合理地被归类为演绎主义者。

对于演绎主义者可以采用的所有可能的公理集合中的“好”公理集合的特征，帕什的看法与希尔伯特截然不同。希尔伯特对这个问题的回答预示着他未来的形式主义。在《关于数的概念》中，他认为，一旦这组公理被证明是一致的，任何对概念数的存在的进一步怀疑“就失去了所有的理由”（Hilbert 1900a：184）。从经典角度来看，一致性是良好公理集的必要条件，因此所有形式的基于经典逻辑的演绎主义都会采用它。但一致性是否也足够是一个不同演绎主义可能有所不同的问题。从现代的角度来看，我们可以这样思考充分性主张：如果没有完整性证明，一组公理的一致性通常并不意味着它们有一个模型。为了阐明熟悉的论证，令 PA2

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。