数学哲学中的演绎主义（二）

3.3 帕什

这让我们想到了莫里茨·帕什本人，他是罗素和希尔伯特的另一位同时代人，他捍卫了演绎主义的风格。帕什 (Pasch) 因其 1882 年出版的《Vorlesungen über neuere Geometrie》中对几何的公理化而闻名。 1882 年第一版中发现的关键段落如下：

事实上，如果几何学要真正进行演绎[deduktiv]，演绎[Deduktion]必须处处独立于几何术语的含义，就像它必须独立于图表一样；仅可以考虑所使用的定理和定义中指定的几何术语之间的关系。在演绎过程中，思考几何术语的含义是允许的，也是有用的，但没有必要；事实上，如果有必要这样做，这会暴露推论中的缺陷，在某些情况下甚至会暴露证明中引用的定理的不足（1882/1926，我们的翻译和强调）。 [8]

这段话做了两件事：它坚持认为几何术语的含义在最严格的几何中不起任何作用；并且它强调证明。因此，它可以被视为提倡演绎主义，或者可能是形式主义。这里的“形式主义”意味着有时被称为“游戏形式主义”，即数学只是根据定义的规则玩符号的论点。然而，帕什语料库中的其他段落支持演绎主义解释：

数学是一个由两部分组成的系统，必须明确区分。第一个部分是真正的数学部分，完全致力于演绎。第二种是通过介绍和阐明一系列见解来使演绎成为可能，这些见解将作为演绎的材料，并在演绎部分需要时准备新材料。第二部分与真正的数学部分相形见绌，可以称为前数学部分，而我可以将另一部分称为刚性部分，因为它形成了一种以其推理规则的绝对严格性为特征的结构。尽管人们很容易忽视这些规则的严格性，但这并不会降低它们的严格性。正如我所说，严格的部分是数学本身。它通过数学证明和数学定义进行。 （Pasch 1918 [2010：51]，我们的重点）

因此，帕什区分了数学和我们所谓的“前数学”。数学完全是演绎性的，而预数学则是为了激发“演绎材料”。数学使前数学“相形见绌”，其特点是“其推理规则绝对严格”，这就是帕什称之为“僵化”（starr）的原因。根据上述段落和其他段落，帕什可以合理地被归类为演绎主义者。

对于演绎主义者可以采用的所有可能的公理集合中的“好”公理集合的特征，帕什的看法与希尔伯特截然不同。希尔伯特对这个问题的回答预示着他未来的形式主义。在《关于数的概念》中，他认为，一旦这组公理被证明是一致的，任何对概念数的存在的进一步怀疑“就失去了所有的理由”（Hilbert 1900a：184）。从经典角度来看，一致性是良好公理集的必要条件，因此所有形式的基于经典逻辑的演绎主义都会采用它。但一致性是否也足够是一个不同演绎主义可能有所不同的问题。从现代的角度来看，我们可以这样思考充分性主张：如果没有完整性证明，一组公理的一致性通常并不意味着它们有一个模型。为了阐明熟悉的论证，令 PA2 为二阶皮亚诺公理集，Con(PA2) 为 PA2 的一致性声明。然后

聚酰胺2

∪

{

Ø

骗局

（

聚酰胺2

）

}

PA2∪{ØCon(PA2)} 是一致的，只要 PA2 是，因为

聚酰胺2

⊬

骗局

（

聚酰胺2

）

PA2⊬Con(PA2) 根据哥德尔第二不完备定理。然而，

聚酰胺2

∪

{

Ø

骗局

（

PA

2

）

}

PA2∪{ØCon(PA2)} 缺乏模型，因此，在传统的语言世界图景下，公理系统的语言不会挑选出世界上的任何东西。但对于一个声称只有一致性才重要的演绎主义者来说，所谓缺乏成功的参考是没有意义的。

帕什的演绎主义与希尔伯特的演绎主义的区别在于，帕什同时保持了关于公理的经验主义（Schlimm 2010：95-96）。他认为公理要有独立的经验基础（上面的“前数学部分”）。例如，帕什承认几何学存在其他一致公理集的可能性，但坚持认为，如果没有经验基础，这样的系统仅构成“假设几何学”（1917 [2010：46]）。特别是，Pasch 认为，在这种几何中导出的假设句子可能缺乏适用性（1917 [2010：46]；Schlimm 2010：101）。

3.4 咖喱

哈斯克尔·柯里 (Haskell Curry) 在其 1951 年的《形式主义数学哲学纲要》中为演绎主义的更新版本进行了辩护。在他看来，“数学是形式系统的科学”（1951：56）。对于柯里来说，形式系统应该被演绎地理解——它们由形式语言、公理和称为“程序规则”的推理规则组成（1951：11-13）。在发现不完整性之后，库里写道：

不完备性定理[…]表明，找到一个包含通常理解的所有数学的单一形式系统是不可能的。此外，构成形式系统原始框架的定义的任意性表明，至少在原则上，所有形式系统都是平等的。因此，数学的本质不在于任何特定类型的形式系统，而在于形式结构本身。 （库里 1951：56）

库里称他的构想是形式主义的。但柯里所说的形式主义只是指在形式系统中可以推论出什么的科学。形式主义和演绎主义（如本条目中所理解的）的相似之处在于它们都关注语法而不是语义。然而，演绎主义认为数学主张具有真值条件，这与游戏不同。它只允许逻辑推论，而形式主义者原则上可以容忍任何符号推导实践。根据演绎主义而非形式主义的解释，库里在他的著作中广泛使用了真理的概念，并拒绝将形式系统视为游戏的观点：

必须有一个客观的真理标准，数理逻辑学家的首要任务就是找到它。本书的第一个论点是可以找到这样的定义。 （1951：3）

在我们继续讨论数学的形式主义定义之前，有必要考虑其基本概念的定义，即形式系统的定义。 [……]这里阐述的概念与通常的概念表面上有所不同，因为这样的系统不是被视为游戏，而是被视为一组命题。 [……]第一点是，下文中使用的“命题”、“真”、“谓词”等词语是在普通话语的意义上。 […][一个命题]表明验证的某些条件；当命题被断言（被视为正确）时，这意味着这些条件得到满足，因此验证过程本质上决定了命题的含义。 （1951：8）

出于数学的目的，有一个标准来识别形式系统本身并确定哪些命题是正确的。 （1951：31）

根据库里的说法，这种观点的主要优点之一是缺乏形而上学的推测——这是演绎主义的一个关键动机（见§2）：

因此，数学的形式主义概念没有形而上学的偏见，因此实际上与任何类型的哲学都是兼容的。这是迄今为止提出的唯一具有这种特征的概念。 （1951：58；我们的重点）

3.5 直觉主义和布劳威尔

直觉主义有时与演绎主义相提并论。例如，库里坚持认为

事实上，如果我们从直觉主义中减去它的形而上学，那么它与形式主义在数学真理的定义上的区别就只是表面的。形式主义者和直觉主义者都强调构造方法——希尔伯特的“有限 Einstellung”——递归定义和数学归纳法。 （1951：58）

布劳威尔的直觉主义与演绎主义相关，但又以有趣的方式有所不同。简而言之，它们的相似点和不同点是什么？

在他的剑桥讲座中，布劳威尔拒绝“通过逻辑公理进行数学创造”（1981：7）。事实上，对他来说，“所有公理都变得虚幻”（1981：92）。布劳威尔在这里的目标是他所说的“旧形式主义学派”，对他来说，这个学派包括戴德金、皮亚诺、罗素和希尔伯特，他竭力与这些学派保持距离。对于布劳威尔来说，“数学断言的真假标准”不是演绎，而是“数学活动本身”（Brouwer 1981：92）。相关活动是提供构造的过程。因此，对于直觉主义者来说，真理和虚假被直觉上可接受的构造的存在或不存在所取代或兑现（Brouwer 1981：92）。

构造是一系列的心理活动；因此，它们与作为适当链接的句子序列的证明不同。对于布劳威尔来说，直觉主义的第一个行动就是将“数学与数学语言完全分离，从而与理论逻辑描述的语言现象分离”（1981：4）。对于布劳威尔来说，任何语言铭文或话语都无法传达直觉构造的真实本质。数学与语言和逻辑的分离是布劳威尔直觉主义的基石，使其与演绎主义截然不同。

也就是说，直觉主义确实与演绎主义有一些相似之处。值得注意的是，用基于验证的方法取代了数学中通常对真理的参考描述：演绎主义通过证明来做到这一点，直觉主义通过构造来做到这一点。直觉逻辑的发展揭示了演绎主义的一个重要事实：演绎主义不依赖于任何特定的形式系统。它可以基于经典逻辑，或海廷的直觉主义形式系统，或第三种替代方案。 [9]

4. 意义很重要

我们在第 3 节中概述了演绎主义的一些历史支持。在第 5-9 节中，我们考虑了它面临的一些挑战。在本节中，我们的目标是更清楚地阐明演绎主义者提出的语义主张。

第一点是，我们将演绎主义描述为“理解”或“解释”或“呈现”数学句子

p

p 为“

一个

x

⊢

p

Ax⊢p”这种表征在两个更精确的读数之间故意保持中立。一是演绎主义者用他们的解释来捕捉通常所说的数学陈述的含义。 [10]另一个是他们的目标不是做这样的事情，而是希望提供符合哲学标准的数学重建。其中一个标准可能是接近通常理解的数学论述，但通常这不会是一个压倒一切的因素。其他标准包括提供有吸引力的形而上学、认识论和数学应用的说明。本文将在这一点上保持中立，但应该指出的是，第一种方法面临相当大的举证责任：没有明显的理由认为我们实际上是在以演绎主义的方式说话。

第二点是演绎主义者必须提供的不仅仅是一个数学句子的简单断言

p

p 应被解释为“

一个

x

⊢

p

斧⊢p”。一方面，她的数学语义（意义捕获或重构）不能局限于句子层面，而必须也适用于单词。例如，扣除主义者必须给出数字“ 2”的语义说明，而谓词“是Prime”与她的“ 2是Prime”的约束兼容的语义说明

一个

x

⊢

2

ax⊢2是Prime”。

对于另一个人，她必须对涉及数学陈述的语音行为进行描述。自然可以假设她认为“ 569是Prime”的主张是“

一个

x

⊢

第569章

AX⊢569是Prime”。同样，大概对于许多命题态度：对于推翻主义者来说，我们通常会形容为怀疑569是否是主要的，应该理解为想知道公理是否演绎地暗示569是主要的；通常，我们可能会认为569是主要的，应该理解为怀疑公理表明569是主要的。等等。然后，暂定建议可能是扣除主义者应采取“

一个

x

⊢

ax⊢”具有狭窄的范围，而不是强制操作员（断言，奇迹，怀疑等）。

这些任务都没有（为数学语言提供单词级的语义和涉及数学句子的语音行为的说明）似乎完全直接。至于第一个，抵扣主义者对数学语言的描述必须允许其在经验环境中的使用来直接提出字面的主张。例如，“观众中有569人”应该不应该被理解为公理的秘密含义，而应被认为是关于身体状况的字面意义。那么，对于扣除主义者而言，这与纯粹的数学使用是“ 569”的不同用途。 §8讨论了抵扣主义者的申请问题（尽管在句子而不是单词级别）。

至于第二个，尚不清楚扣除主义者始终希望应用“

一个

x

⊢

Ax⊢” - 以相同的机械方式进行纳罗 - 核心策略。以假设为例，我们首先假设

p

1

P1和推断

p

n

PN通过

p

2

,

……

,

p

n

-

1

P2，…，PN -1。我们的最初假设

p

1

P1可能是

米

m是一个奇怪的完美数字，最后一行

p

n

PN可能是一些有趣的事实

米

米。在这里“假设”的范围很大并不明显，并且“

一个

x

⊢

ax⊢”范围狭窄。如果这样做，“假设

p

1

P1”将被解释为“假设

一个

x

⊢

p

1

ax⊢p1”，这是一个不同的主张。一种更具技术性的看法是因为

米

m在

一个

x

斧头，似乎我们可以概括地获得“

一个

x

⊢

∀

米

p

1

ax⊢∀mp1”。如果是这样，“假设

一个

x

斧头证明了这一点

米

m是一个奇怪的完美数字”，这意味着“假设

一个

x

斧头证明了每一个

米

,

米

m，m是一个奇怪的完美数字”。但是后一个假设是一个完全的虚假主张。一种更有希望的方法是迈出假设的第一步

p

1

P1到公理集，然后将第二行解释为“

一个

x

+

p

1

⊢

p

2

AX+P1⊢P2”（或通过扣除定理等效的“等效”

一个

x

⊢

p

1

→

p

2

ax⊢p1→p2”），第三行，“

一个

x

+

p

1

⊢

p

3

ax+p1⊢3”（或“

一个

x

⊢

p

1

→

p

3

ax⊢p1→p3“），依此类推。总而言之，在这方面，有效的推论主义者可以将这些想法阐明为连贯的理论。

第三点是基于帕森斯（2008：55n。35）之间的区别，所谓的反思性和反射性扣除主义之间的区别。根据本条目定义的反射性，自付主义是反身的，因为它解释了

p

p作为“

一个

x

⊢

p

ax⊢p”。相比之下，不反思性的扣除主义解释

p

p为“如果

∧

一个

x

然后

p

p”（

∧

∧是连接公理集的所有元素的操作员），并断言该条件是演绎逻辑真理。 Rheinwald（1984：50）像我们一样选择了前者的反身形式。帕森斯倡导对莱茵瓦尔德的评论，而是采用后者，不反思的形式。因为，正如他所看到的那样，反身形式引入了反思的不必要的要素（解释公理，都提到了公理 - 他认为他们所缺乏的数学陈述的内容。帕森斯有一个观点，尤其是如果扣除主义是为了捕捉意义。即便如此，当公理集是无限的时候，此条目仍需要反思主义，以避免不反思性的推翻主义所面临的问题，因为例如，如果是一阶Peano Axioms。在这种情况下，句子“如果

∧

一个

x

然后

p

p“无限长，所以不是普通语言。相比之下， ”

一个

x

⊢

p

ax⊢p”是（数学）英语的普通句子，其中“

一个

x

AX”是表示相关公理集的名称。也就是说，可能是不反思性的扣除主义可以更好地处理一些扣除主义面临的问题。

第四点也是最后一点。到目前为止，此条目对公理的中立保持中立

一个

x

斧头”中的扣除主义是。如§1所示，一种“局部”自付主义者在分支公理上演绎了数学分支的定理，例如，在Peano Arithmetic的公理上，算术定理。 ZFC集理论说，另一种抵扣式可能是根据特定所谓的数学基础的公理有条件的。因此，ZFC-DeDuctivist了解数学主张

p

p作为“

p

p从ZFC公理角度遵循”。 ZFC的选择不是必不可少的：如果抵扣主义者的首选基础不是ZFC，而是其他一些集合理论，或者是拓扑理论，或者是其他东西，那么他们可以基于此基础。与此相比，第三种，相似但更松散的抵扣形式被称为“任何扣除主义”。从这种角度来看，构成数学真理的公理可易待性不是特定的集合，例如ZFC公理，而是更含糊地描述：它们是证明数学定理所需要的任何公理。这个最后一个版本比第二个不绑定可证明性的第二版具有优势。但是，它以相当不重点为代价来实现这一目标。[11]简而言之，不同形式的扣除主义是由于对“

一个

x

斧头”在推论主义的规范陈述中。

5。可供应：重新进行还是不重新验证？

本条目的其余部分研究了五个挑战的推论主义挑战，第5-9节中的一个。首先介绍了可兑现性的概念。由于推翻主义声称数学是关于某些公理系统可证明的，因此提供了可预订的说明至关重要。问题是是否要根据证据的存在来兑现可兑现性。简而言之，要重新恢复还是不重新进行？

首先采用改用方法。它读到“

p

P可以证明

一个

x

斧头”为“有证据

p

p来自公理

一个

x

斧头”（在特定的演绎系统中）。这是对可预订性的最自然和最标准的理解。在这种方法上，说一个系统

时间

T是一致的，只是说没有公式

φ

ϕ用语言

时间

t可以证明

φ

从

时间

T和证明

Ø

φ

从

时间

T.但是，某些公式和证明太长了，无法具有具体的物理实例。一个简单的示例将是涉及极大数字的数值方程式的证明。即使是具有具体实例化的公式，也不应与其中一种或具有其实例化类别的类别来识别。换句话说，此处理解的证据是类型而不是令牌：符合演绎系统规则的抽象字符串，这些规则与语音中的任何物理实例有关，或者在白板，纸张或屏幕上都存在。的确，如果扣除主义者希望保持理论的能力，那么她肯定会想要的，那么无论如何，她都必须接受语言类型。 （比较类似现场的名义主义者，他们也必须指科学和数学理论，即使他们试图避免参考数学对象。）

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