数学哲学中的演绎主义（三）

道德是，抵扣主义者将不得不接受语言类型。因此，她成为抵扣主义者的动机不能是避免所有抽象对象（即名义主义），因为语言类型是抽象的。因此，她必须激励为什么要接受一些抽象对象，例如可以接受，而承认数学对象不是可以接受的。她可能会指出经济的考虑：语言类型只是抽象领域的一小部分。或者，她可能会在认识论方面争论语言类型更容易知道，因为它们具有具体实例，与数学对象不同。但是，文献并不缺乏拒绝抽象数学对象的人也应该拒绝抽象的语言类型的论点。参见例如Wetzel的2009年书籍类型和令牌。

当然，除了对抽象对象的厌恶之外，其他原因可能是扣除主义者。正如我们在§4中看到的那样，一种扣除主义者可能认为，语义分析揭示了数学陈述的含义是“形式”

p

p从公理上演绎遵循”。将这种观点与接受抽象对象的接受以及根据证据的存在的标准说明是完全一致的。然而，尽管完全连贯，但这种观点似乎缺乏独立动力。

重新化的替代方案显然不是要重新化，最明显的方法是走一条模态路线。扣除主义者可以将可证明的能力视为模态原始性，而不是通过证明兑现可兑现。如今，逻辑上的可能性和必要性通常是从理论上理解的：在某些模型中，陈述在逻辑上是可能的或一致的。在所有模型中都是正确的。扣除主义者必须掩盖这一一致性的说明（她等同于逻辑可能性），这是关于重新引入数学的痛苦。根据流行的模型理论账户，她必须将“从逻辑上讲是可能的”作为原始概念，并在模型方面放弃了其分析（Putnam 1967b）。这样一来，她与所有无法帮助自己建模理论或在元心理中设定理论的反铂主义者坐在同一条船上。这条特殊的船是一条拥挤的船：它不仅拥有淘汰的结构主义者，而且还有各种条纹和名义主义者的形式主义者。例如，名义主义者不相信抽象对象。因此，他们面临着同样的困境 - 他们不能吸引元心理中的模型存在。 Hartry Field（1991）开发了一种名义主义逻辑，将逻辑一致性的概念视为原始，我们可能象征为

⋄

⋄，逻辑上的相关概念是

□

◻。尤其，

⋄

时间

the是理论的说法

时间

t在逻辑上是一致的，逻辑含义的主张是由

□

◻。[12]非规定的扣除主义者可以自己利用这些资源，从而解释

G

⊢

p

g⊢pas

□

（

∧

G

→

p

）

◻（∧G→P）。

这种逻辑后果的“模式主义者”的说法在逻辑学家中的吸引力相当低。许多人几乎没有理由更喜欢它们，而不是对后果的模型理论描述。模式主义者的帐户遇到了表达充足的问题，因为它们无法量化可能性；从理论上讲，它们比通常的模型理论不那么贤惠，因为它们在集合模型的存在和原始一致性事实之间存在原始联系。 Melia（2003）的第4章是对形而上学模式所面临的问题的清晰概述，这些形而上学在逻辑案例中具有对应物。如果扣除主义者采用非言行路线，他们将不得不提出对这些挑战的令人满意的反应。

6。跑步数学

对推论主义的第二个异议是，推翻主义不能说明少量数学。[13]这包括桥术前数学，例如公元前第二个千年的“旧巴比伦”数学，其中从来没有明确说明第一原则（Robson 2008：90）。[14]但它还包括非脱离数学；例如，我们可能希望将18世纪的瑞士数学家欧拉（Euler）归功于通过类比推理获得的结果，对案件的广泛验证等。

将数学知识归因于巴比伦数学家似乎是正确的，他们能够解决特定的二次方程式。尽管如此，挑战可能并不令人担忧。第一原则并不明确并不意味着它们不是隐含的。据推测，巴比伦数学家愿意在没有争论的情况下接受的任何数学原则都应该算作第一个原则或公理。与这一点无关，抵扣主义者还应指出，如果他们跟踪证据会产生的东西，则可以单行的方法产生知识。巴比伦数学家使用的方法可靠地为特定的二次方程式产生解决方案，即使他们无法制定，更少的解决方案，即一般的二次方程。 Euler的方法可靠地跟踪了其结果的证据。如果他们没有，他就不会像他那样正确。这涉及绝大多数此类案件。此外，考虑到残留案件的思考 - 有一些理由认为，即使没有证据，非脱离推理也可以产生数学真理的知识（Paseau，2015年）。

7。回归？

我们现在转向第三个挑战。为了引入它，请考虑是否应推论适用于句子

句子“

2

+

2

=

4

2+2 = 4”演绎地遵循

一个

x

斧头

（像往常一样，我们写

一个

x

斧头在公理的确切所在上保持中立性；有关此处的选项，请参见第4节。在这种情况下，句子“

2

+

2

=

4

2+2 = 4”不应解释为

句子“

2

+

2

=

4

2+2 = 4”演绎地遵循

一个

x

斧头，

而是

句子“句子”

2

+

2

=

4

2+2 = 4’演绎地遵循

一个

x

斧头”演绎遵循

一个

x

′

斧头'。

（在哪里

一个

x

′

AX'可能与

一个

x

斧头 - 这不会影响要点。）现在，如果是扣除主义者要走向这条路线，她还必须像其他任何数学句子一样解释最后一个句子。因此，应该以相同的方式将其掩盖。同样适用于生成的光泽，依此类推，依此类推。显然，我们正在无限退缩。

似乎对于扣除主义者来说，没有有限的句子表述”

2

+

2

=

4

2+2 = 4“。任何这样的表述都必须是无限的，如果它完全结束，则必须以句子结束

s

S是此迭代的“定点”。换句话说，

s

S必须与“句子”相同（不仅在逻辑上等效）

s

s演绎从

一个

x

斧头”（某些人

一个

x

）

斧头）

s

s被推论主义者解释为

这句话

s

s演绎从

一个

x

斧头

这种句子是否存在是高度怀疑的。即使这样做，一个无限长的句子，无限的嵌入，也是一种荒谬的解释方式。

2

+

2

=

4

2+2 = 4“，毕竟是英语的数学最简单句子之一。

刚提出的反对意见是基于以下想法：可供应性主张是数学的。为了支持这一前提，异议的支持者可能会指出，证明理论的结果通常注入数学。我们相信，在演绎系统中可以证明某些陈述通常不是自己执行证据的结果，从公理开始，并应用推论规则来得出定理。相反，它通常来自更抽象的数学推理。

抵扣主义者应该如何回答这一挑战？她可以同意，我们使用数学，有时甚至是相当复杂的数学，以确定某些公理的演绎遵循。这是认识论的观点。但这不会影响她关于什么是数学的论点。对于推扣主义者来说，数学主张的真相

p

p在其为适当的演绎系统的定理中

D

D.我们如何确定什么

D

D的定理可能需要数学（这是将数学应用于证明系统），也许还需要其他机械，但要重复这一点是认识论的观点。事实是

p

P是一个定理

D

D是关于演绎系统的事实，即，从公理开始有一系列公式，并按照系统的规则来得出结论

p

p。正如扣除主义者所看到的那样，正如她必须看到的那样，避免回归 - 即使我们必须使用数学来确定它是否成立，这一事实也不是数学上的。 （比较说一个大流星将在2050年之前降落在地球上的说法：一个物理上的事实，但是我们使用复杂的数学来验证或伪造。）

简而言之，为避免回归，抵扣主义者不应将其解释策略应用于主张后果的主张。对于任何句子

s

S和良好指定的演绎系统

D

D，是否

D

D证明

s

S或不应该被视为确定的事实。这样的事实是她哲学的基石，不应“扣除”。必须以表面价值为本。[15]

8。申请

第四个挑战涉及申请。 §2提到，抵扣主义似乎可以直接说明数学的适用性：如果物理系统满足数学特定分支的公理，则该分支定理必须适用于物理系统。但是，满足公理的系统到底是什么意思？应用程序的最简单帐户是映射或同构帐户。给定物理设置

磷

p，从

磷

p到一些数学结构

中号

m，推论一些事实

中号

m，然后，在相反方向上应用同构，读取有关的相应事实

磷

P. Resnik（1980，125）跟随罗素和普特南（Russell and Putnam），担心这个说法对数学的膝盖深处 - 因为如果不是数学对象，同构是什么？更一般而言，对数学应用的令人满意的描述将必须采用数学来解释数学与物理世界的关系。[16]

这是适用于其他许多哲学的主要问题。所有反铂主义者都必须阐明如何理解用于解释数学适用性的数学本身。消除性结构主义者必须对数学与物理世界有关的数学进行说明。名义主义者同样必须解释如何使对抽象对象承诺的科学理论如何正确地描绘出物理事实，尽管没有抽象的对象。每种特定的反铂主义似乎都面临着这个一般问题的某种版本。允许在元心理中使用数学，使哲学能够将数学与自然世界联系起来。毫无疑问，它似乎会阻碍一种哲学，或者这项挑战所坚持的。

那么，推论主义者可以解释数学的适用性吗？她这样做的最大希望也许是通过一种组合数学科学的“总体”理论，我们可以称为TT。 TT结合了数学的所有公理，以及既定的科学原理和数据。通过数学和科学的结合，TT能够在数学“结构”和物理情况之间提出各种关系，从而解释数学应用（至少尽可能多）。应从TT得出的物理主张的真实条件应以通常的参考方式理解为与物理世界有关。而数学主张的真实条件应该以上的理解为上述，即形式的主张“

p

p可以从TT中推论”。重要的是，对于推论主义者来说，“结构”和“同构”在TT理论中可以演绎地理解。有效地，推翻主义者将模型理论化为演绎框架。

这种响应看起来像是派出了应用程序的挑战。可以在单个总体理论TT中讨论和比较数学和科学。但是，反应具有致命弱点：混合陈述。抵扣主义者以扣除主义的方式来解释数字的谈论，并以直接的字面方式对椅子（Say）进行谈论。那么，她对诸如“我最喜欢的东西是7号和这张椅子”之类的主张是什么？该主张不能从字面上读取，因为它涉及一个数字。也不应以推扣性的方式阅读它，因为它涉及一个具体的实体，特定的椅子。椅子是我最喜欢的事情之一，是带有经验内容的主张，从字面上看。当然，“我最喜欢的东西是7号和这椅”的句子当然是一个玩具示例。该点更广泛地适用，因为数学与普通和（尤其是）科学语言无缝地交织在一起。

因此，抵扣主义者欠我们一个在所有混合陈述中从非数学陈述中切割数学的秘诀。这是其他反铂主义方法所面临的问题，例如，虚构主义者关于玛丽·林（Mary Leng）等数学的问题。[17]他们以应用数学为“扩展小说”，将数学小说与科学相结合，他们从字面上解释了这一点（与物理世界有关）。但是，哪个是我们在哪里绘制界限，以及如何处理混合小说和字面意义的陈述，显然是密不可分的？对于相应的问题，找到相应问题的良好答案对于推翻主义者来说是一个重大挑战，就像虚构主义者一样。

9。真相完整

我们继续采取抵制主义的第五个也是最后的挑战。欠迈克尔·雷斯尼克（Michael Resnik）的一个版本如下。[18]考虑扣除主义者的设定理论

时间

T及其哥德尔句子

G

时间

GT。通过建设，

G

时间

GT无法从

时间

T.因此，推扣主义者无法解释

G

时间

GT。 Resnik的回应：扣除主义者可以简单地挑战反向电位主义者，以解释她如何“看到”的真相

G

时间

GT。无论抗激活者提供什么数学论点，扣除主义者都可以简单地从中提取公理集

时间

+

T+指出

G

时间

GT从

时间

+

T+。异议驳回。

戈德尔的第一个不完整定理确实为推翻主义带来了一个重大问题。但这不是刚刚制定和回应的人。上面的版本侧重于考虑特定理论

（

时间

）

（t），我们应该欣赏其戈德尔句子的真相

（

G

时间

）

（GT）。异议的一种更强大的形式以更全球化的术语施加了戈德尔句子真相的问题。抵扣主义似乎弄错了什么是，它不尊重对数学的大多数部分的根深蒂固的理解：对于任何精确表达的句子

p

p来自真实的数学领域，正是

p

P和NOT-P是正确的。分析和算术是标准被理解为真实性的领域的例子。例如，标准认为，诸如戈德巴赫（Goldbach）的猜想之类的陈述是正确或错误的，即使事实证明这是任何合理的公理，而不仅仅是出现的陈述。[19]但是，从抵扣主义的角度来看，任何正式的算术和分析中的不可决定的句子都是错误的，它们的否定也是错误的，因为两者都不是从公理上遵循的。哥德尔的第一个不完整定理以及对演绎系统的标准限制都有不可决定的句子。[20]因此，推论主义误解了我们对算术，分析和几何形状等数学的真实统计分支的理解。

这种反对似乎影响了我们在§4末尾确定的约束主义的三种变体中的两个：局部抵扣主义和ZFC-否定主义。戈德利亚反对不影响的一种自付主义形式是建构主义的自付主义主义，因为建构主义者不假定数学中的中间定律，因此不要假设真理完整性。但是，正如我们在Brouwer（第3.5节）的讨论中所瞥见的那样，建构主义者倾向于不是抵扣主义者。

坚持经典的辩论主义，其支持者可以通过理想的公理系统或证明系统或两者兼而有之，以应对异议。第一种方法是解释“

2

+

2

=

4

2+2 = 4” as：

句子“

2

+

2

=

4

2+2 = 4”演绎地遵循算术的理想公理

最终的立场本质上是§4中提到的任何意见扣除主义。它为§4中所阐明的位置增加了一些细节，因为根据规定，理想的算术公理会产生完整的系统，以克服当前的异议。 （当然，任何意见的推论主义的非正式版本将完全逃避反对意见，因为它不是基于正式系统。但是批评者会反驳这样做，仅仅是因为其对数学真理的描述本质上是模糊的。）例如，第二种方法可能会采用证明系统来包括无限推理规则，例如欧米茄规则，众所周知，如果添加到一阶Peano算术中，则恢复完整性。[21]

然而，以这两种方式的理想扣除主义不是要营救，而是放弃它。任何一致，额外的完整和强大以捕获数学真相的组合和防护系统都缺乏有效的证明程序，这是Gödel的第一个不完整定理。要看到这一点，请考虑说“定理”的演绎“系统”由算术的所有真实句子组成。[22]假设教会论文论文，那么“定理”列表不能通过任何机械证明程序（即算法）产生。因此，理想化的扣除主义在薄伪装中消除了结构性，因为它提倡将作为捕获公理的结构内容的组合和防护系统，无论是通过加强公理还是“证明”系统或两者兼而有之。如果这个想法是数学家在且仅当这是结构 - 特征的公理的语义内容的逻辑后果时，将句子置于真实的情况下，则应该变得清洁并接受推论主义的语义对应物：消除性结构主义。明确的道德是，将扣除额陷入困境的是它的关注语法。与其像19世纪末和20世纪初那样进行句法转弯，而是“数学上的陈述是基于公理”的想法，而必须采用语义形式。

抵扣主义者可能会尝试另一种防御。我们在§3.4中引用咖喱，认为“所有正式系统都置于标准杆上”。这肯定是一个想法，许多扣除主义者会发现很有吸引力：原则上，任何形式系统都是可以接受的，一个正式系统与另一个系统之间的差异是因为他们中的一个更适合应用程序，或者是一个事实，或者一个事实是系统恰好是

w

e

我们使用，依此类推。因此，对于推扣主义者来说，如果算术的公理

一个

x

我们明确或隐式接受的斧头是不完整的，然后是任何算术句子

p

p不是由他们决定的，也不是虚假的，恰恰是因为它的真实价值相关联

一个

x

斧头。当然，我们可以加强

一个

x

斧头以一种方式得出

p

p，另一种方法是推导不 -

p

p，以及各自的增强

p

P将分别为真和错误。看来，这是库里（Curry）关于扣除主义者应如何应对戈德尔（Gödel）结果的建议。

由此产生的多元化立场是出于原则原因拒绝真理完整性。但是，它仍然拒绝它，这必须算是一个巨大的成本。因为算术的真实性完整是数学的基本承诺，并且渗透到我们对自然数字的大部分思考。 （一个类似的一点适用于许多其他领域。）有些人会说，尊重它是对数学哲学的不可谈判的约束。当然，只有在数学的某些领域中，真实的反对反对意见挑战挑战，特别是那些通常被认为是真理完整的，但不存在演绎完整，一致的公理化。即使在一阶逻辑中，不仅针对有限结构，而且对于某些无限的逻辑，也可以提供完整的理论 - 轴心化。[23]因此，人们仍然可以试图捍卫所有其他领域的推论主义。但是，拥有数学统一的哲学具有很大的价值。更重要的是，鉴于§2中概述的演绎主义动机，很难看到这种折衷的扣除主义可能是什么。

真理完整性向抵扣主义者带来了巨大的挑战。为了满足它，她不能通过坚持一个系统中“ PA是一致的”而不是其他任何算术系统的特权，而在另一个系统中是错误的。戈德利后的意识到，消除结构主义在这里更好的票价 - 因为如果我们转化为不完整的语义后果关系，它允许实现真理完整的可能性，以牺牲结构主义的流行，以牺牲20日的下半年的推翻主义的流行。世纪。

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