信仰的正式表述（四）

理性主体的信念程度通过某种概率条件的影响而更新。

前两个原则是贝叶斯理论的共时性要求；第三个原则涉及历时更新行为。大多数贝叶斯主义者也会同意以下原则的某些版本，这些原则将主观概率与深思熟虑和行动联系起来：

世界的可能状态（结果）被分配了一个效用：反映该结果的可取性或不可取性的正实数或负实数。

理性主体只执行那些最大化预期效用的行动

贝叶斯主义如此强大的原因在于，除了提供对理性信念及其更新的解释之外，它还提供了对理性行动和深思熟虑的解释。没有其他理论可以对信仰的所有这三个方面进行完善、细致的解释。下面我们将简要阐述贝叶斯图的一些技术细节。

3.1.1 形式结构

引入 [0,1] 区间的信念度来量化信念态度的强度。出于我们的目的，我们将把命题作为部分信念的对象。也可以为正式语言中的句子分配置信度，但在大多数情况下，我们选择的方法无关（参见 Weisberg，2011）。因此，设 A 是一组 W 可能性上的命题域。函数 Pr：从 A 到实数集 ℜ 的 A→ℜ 是 A 上的（有限加性和非条件）概率测度当且仅当对于 A 中的所有命题 A,B：

Pr(A)≥0

Pr(W)=1

Pr(A∪B) =Pr(A)+Pr(B) 如果 A∩B=∅

满足这三个原则的三元组⟨W,A,Pr⟩称为（有限加性）概率空间。从这些原理可以推导出许多有启发性的定理。例如，分配给矛盾命题的置信度必须为零。此外，如果E蕴含F，则Pr(E)≤Pr(F)。最后，对于任何命题 E∈A，我们有 0≤Pr(E)≤1。

假设 A 在可数交点下也是封闭的（因此是一个 σ 场）。假设 Pr 对于 A 中的所有命题 A1,...An,... 还满足，

Pr(∪

无穷大

我=1

艾）=

无穷大

Σ

我=1

Pr(Ai)，如果 Ai∩Aj=∅，且 i≠j。

那么，Pr 是 A 上的 σ 或可数加性概率测度（Kolmogorov 1956，第 2 章，实际上给出了不同但等效的定义；参见 Huber 2007a，sct. 4.1）。在这种情况下 ⟨W,A,Pr⟩ 是 σ- 或可数加性概率空间。

可数可加性并不像看起来那么无辜：它排除了任何主体对可数无限组互斥可能性漠不关心的可能性。 De Finetti (1970, 1972) 提出了著名的观点，即我们应该拒绝可数可加性，因为可以想象上帝可以“随机”且以相等（零）的概率挑选出一个自然数。再举一个例子，假设您对命题 ØB 的置信度为 50%，即并非所有观察到的乌鸦都是黑色的。设 ØBi 为命题，第 i 个观察到的乌鸦是第一个出现的非黑乌鸦。那么 ØB=∪

无穷大

我=1

ØBi。可数可加性意味着对于所有 ϵ>0 都有一个有限的 n 使得 p(∪

n

我=1

ØBi)=1/2−ϵ。所以你几乎可以肯定，如果不是所有的乌鸦都是黑色的，那么第一只非黑色的乌鸦将出现在前 n 只乌鸦中。但是，对于第一只非黑乌鸦何时必须出现，你必须坚持己见，这真的是理性的要求吗？为所有 ØBi 分配相等概率的唯一方法是通过为所有 i 设置 p(ØBi)=0 来违反可数可加性。该解决方案有其自身的缺点。在贝叶斯更新的所有标准模型上，即使您看到一只白色的乌鸦，也无法确信第 i 只乌鸦确实不是黑色的。有关可数可加性的更多信息，请参阅 Kelly (1996) 的第 13 章。

A 上的概率测度 Pr 是正则的，只要对于 A 中的每个非空或一致命题 A 的 Pr(A)>0 即可。令 APr 为 A 中所有命题 A 的集合，且 Pr(A)＞0。 A 上的条件概率测度 Pr(⋅∣−):A×APr→ℜ（基于 A 上的非条件概率测度 Pr）对于 A 中的所有命题 A 和 APr 中的 B 的所有命题对定义为：

Pr(A∣B)=

Pr(A∩B)

Pr(B)

。

（Kolmogorov 1956，第 1 章，§4）。 B 的条件化将所有可能性限制为与 B 兼容的可能性，并通过 B 的概率进行重新归一化以确保幺正性成立。 Pr(⋅∣−) 的第二个参数位置的域被限制为 APr，因为如果 Pr(B)=0，则比率 Pr(A∩B)/Pr(B) 未定义。请注意，Pr(⋅∣B) 是 A 上的概率度量，对于 APr 中的每个命题 B。一些作者将条件概率测度 Pr(⋅,给定 −):A×(A∖{∅})→ℜ 作为原语，并将（非条件）概率测度定义为 Pr(A)=Pr(A,给定 W）对于 A 中的所有命题 A（参见 Hájek 2003）。条件概率通常被假定为 Popper-Rényi 测度（Popper 1955、Rényi 1955、Rényi 1970、Stalnaker 1970、Spohn 1986）。 Spohn (2012, 202ff) 批评 Popper-Rényi 措施缺乏完整的动态性（哈珀 (Harper, 1976) 已经指出了这一特征），并且批评它们缺乏合理的独立性概念。相对概率（Heinemann 1997，其他互联网资源）据称不会受到这两个缺点的影响。

3.1.2 解释

如果说索菲亚对于维也纳明天将是晴天这一命题的主观概率等于 0.55，这意味着什么？这是一个很难的问题。让我们首先回答一个不同的问题。我们如何衡量索菲亚的主观概率？在一个传统的账户中，索菲亚对 A 的主观概率是通过她对 A 的投注比率来衡量的，即她愿意为投注支付的最高价格，如果 A 则返回 1 美元，否则返回 0 美元。在一个稍微不同的帐户中，Sophia 对 A 的主观概率是通过她对 A 的公平投注比率来衡量的，即该数字 r=b/(a+b)，这样她就认为以下投注是公平的：如果 A，则 $a，并且$−b 否则（a,b≥0 且至少有一个不等式）。

对于索菲亚来说，愿意与你打赌 5.5 至 4.5 美元，赌维也纳明天将是晴天，但不愿意与你打赌 550 至 450 美元，赌这个命题是正确的，这不一定是非理性的。她甚至可能拒绝 200 至 999 美元的赌注。这是因为除了她的信念程度之外，还有其他因素影响她的赌商。索菲亚可能厌恶风险，例如如果她不能冒每月预算减少 200 美元的风险。其他人可能容易冒险。例如，赌场中的赌徒容易冒险：他们为玩轮盘赌支付的费用高于根据合理的主观概率获得的公平货币价值。如果赌博的快感本身就是一种补偿，那么这可能是完全合理的。请注意，如果说索菲亚对 A 的公平投注比率是 r=b/(a+b) ，因此她认为以下投注是公平的，这并没有帮助： $1−r=a/(a+b) 如果A，并且 $−r=−b/(a+b) 否则（a,b≥0，且至少有一个不等式）。正如 200 美元的赌注可能太高而无法进行测量一样，1 美元的赌注也可能太低。

当提议本身对代理人来说是一个重要的个人问题时，就会出现另一个复杂的情况。假设如果自由党在下次选举中赢得多数席位，索菲娅会非常不高兴，但她认为这种可能性很小。尽管如此，如果他们愿意，她可能愿意为 100 美元的赌注支付 20 美元，否则为 0 美元。想象一下，她正在购买一种保险单，以应对痛苦的失望。在这种情况下，她的下注比例并不能明显反映她对 FPÖ 获胜的信念程度。

Ramsey（1926）通过以效用而不是金钱来定价赌注，避免了第一个困难。他通过预先假设至少存在一个“道德中立”命题（该命题的真假无关紧要）来避免第二个困难，代理人认为该命题为真的可能性与她认为为假的可能性一样大参见条目第 3.5 节关于概率的解释。然而，前面的例子表明，公平投注比率和主观概率很容易分开。主观概率通过（公平）投注比率来衡量，但并不完全相同。后者是可操作定义和可观察的。前者是不可观察的理论实体，根据 Eriksson & Hájek (2007)，我们将其视为原始实体。

3.1.3 理由

主观概率理论并不能准确描述实际人类的行为（Kahneman et. al., 1982）。它是一种规范理论，旨在告诉我们应该如何管理我们的认知生活。概率论认为一个人的信念程度应该满足概率公理。但他们为什么要这样做呢？

传统的答案是，在某种意义上，违反概率公理的代理人将自己暴露在一个保证一定会损失的赌注系统中。这种风格的答案被称为荷兰书论证。该论点的务实版本假定信念程度与投注行为之间存在紧密联系。论证的结论是证明了一个定理，即代理人将进入一个保证一定损失的下注系统，前提是她的信念程度违反了概率计算。但是，正如我们所看到的，我们有理由怀疑信念程度和投注行为之间的联系是否真的如务实的荷兰书籍论证所要求的那样紧密。这使得这个论点缺乏说服力。该论点的去实用主义版本假定了信仰程度和认为投注系统公平的倾向之间的联系，但不一定要进入它们（Armendt 1993 Christensen 1996，Ramsey 1926，Skyrms 1984）。最后，它证明了一个本质上相同的定理，即代理人会认为如果她的信念程度违反了概率计算，保证一定损失的投注系统是公平的。去实用化的荷兰书论证是概率论更有希望的辩护。然而，参见 Hájek (2005; 2008)。有关更广泛的讨论，请参阅有关荷兰书籍论证的条目。

一些认识论者发现荷兰书中的论点缺乏说服力，要么是因为他们否认信仰程度和赌商之间存在任何适当的联系，要么是因为他们否认关于赌博这样务实的事物的任何事实都可能具有规范的认识论力量。 Joyce (1998) 试图通过考虑信念程度的准确性来证明概率论。这里的基本思想是，如果存在一个替代的置信度函数，该置信度函数至少在每个置信度函数中都同样准确，并且在某些可能的世界中严格地更准确，则置信度函数是有缺陷的。世界w中命题A的置信度b(A)的准确性用b(A)与w中A的真值之间的距离来确定，其中1代表真值，0代表假值。例如，对一个真命题的置信度越高，则越准确——如果它等于 1，则完全准确。世界 w 中置信度函数 b 的总体准确度由个体置信度 b(A) 的准确性。乔伊斯能够证明，给定一些关于如何测量距离或不准确性的条件，当且仅当不存在至少在每个方面都至少同样准确的替代置信度函数时，置信度函数服从概率计算。在某些可能的世界中更准确（Joyce 1998 中没有明确提及唯一如果部分，但在 Joyce 2009 中出现）。因此，置信度应该服从概率计算。

Bronfman（2006，其他互联网资源）观察到，乔伊斯关于不准确度量的条件并不决定单个度量，而是决定整个不准确度量家族。乔伊斯的所有措施都同意，一个其信念函数程度违反概率公理的代理人应该采用概率信念函数程度，该概率信念函数至少在每个可能的世界中都同样准确，并且在某些可能的世界中更准确。然而，这些措施对于代理应采用哪种特定概率措施的建议可能有所不同。事实上，对于每个可能的世界，遵循一种措施的建议将使代理根据其他一些措施而不太准确。那么，布朗夫曼反对说，为什么理想的信仰主体首先应该从其非概率程度的信念函数转变为概率度量呢？ Maher (2002) 以及最近的 Easwaran 和 Fitelson (2012) 中阐述了其他反对意见。 Joyce（2009 年和 2013 年（其他互联网资源））和 Pettigrew（2013 年、2016 年）解决了这些问题。 Leitgeb 和 Pettigrew (2010a; 2010b) 提出了将不准确度测量范围缩小到所谓的二次评分规则的条件。这使他们能够逃脱布朗夫曼的反对。有关详细处理，请参阅概率论的认知效用论证条目。

对于概率论的其他论证，请参见 Cox (1946) 和测量论的表示定理 (Krantz et al., 1971)。对于后者的批评，请参见 Meacham & Weisberg (2011)。有关分区不变性的概率论的最新证明，请参阅 Leitgeb（即将出版）。

3.1.4 更新规则

概率论将共时条件强加于信念程度。但是当收到新信息时，主观概率应该如何更新呢？更新规则是历时条件，告诉我们在收到新信息时如何修改主观概率。有两个标准更新规则。当新信息获得最大程度的信任时，就会应用严格的条件化。杰弗里条件化允许这样的情况：当获取新信息时，没有命题升级为完全确定性。在第一种情况下，概率论被扩展为

严格条件化

如果 Pr(⋅) 是你在时间 t 的主观概率，并且如果在 t 和 t′ 之间你确定 A∈APr 并且没有逻辑上更强的命题，那么你在时间 t′ 的主观概率应该是 Pr(⋅∣A)。

严格条件化是指，只要 A 具有正的先验概率，代理人在确定 A 后对命题 B 的新主观概率应该等于她在 A 条件下对 B 的旧主观概率。这是迄今为止最标准的部分模型信念更新。

挑剔的读者可能会反对，我们的严格条件化声明中有一个被抑制的其他条件相同的条款。根据预期的解释，在 t 和 t′ 之间，你的主观信念状态的唯一外部变化是你对 A 变得确定。此外，你不会忘记任何事情，不会对先前的信念产生怀疑，也不会获得任何新概念。最后，在 t 和 t′ 之间没有时间 t′′ 可以让你对 A 的置信度提升到 1，但在你的其他主观概率能够“赶上”之前。如果存在，则 t'' 和 t' 之间在概率上会不一致。根据预期的解释，虽然你获得了 t 和 t′ 之间的信息，但你的主观概率在 t′ 之前保持不变，此时新信息被同化为 holus-bolus。这些考虑因素同样适用于我们在本文中讨论的其他形式的调节，包括第 3.4 节中的那些。有关解释条件化的困难的详细讨论，请参见 Spohn (2012, p. 186-8)。

如果新信息不能使任何命题确定，而只是改变某些命题的主观概率怎么办？ Jeffrey (1983a) 对这个问题给出了最广泛接受的答案。粗略地说，杰弗里条件化说，理想的信念代理人应该保持固定的“推理信念”，即所有假设的概率都以任何证据命题为条件。

杰弗里条件化

假设 Pr(⋅) 是时间 t 时的主观概率，并且在 t 和 t′ 之间，分区 {Ai:1≤i≤n}⊆APr（并且没有更精细的分区）中的主观概率更改为 pi∈[0， 1] 其中 Σipi=1。那么，你在时间 t′ 的主观概率应该是 Pr′(⋅)=ΣiPr(⋅∣Ai)pi。

Jeffrey 条件化表示，在主体对分区元素的主观概率更改为 pi 之后，主体对 B 的新主观概率应等于她对 Ai 条件下的 B 的旧主观概率的加权和，其中权重是新的分区元素的主观概率 pi。

为什么我们应该根据严格条件化或杰弗里条件化来更新我们的主观概率？ Teller (1973) 和 Lewis (199) 给出了荷兰书籍风格的严格条件化论证，并在 Armendt (1980) 中扩展到 Jeffrey 条件化。有关更多信息，请参阅《Skyrms》（1987 年、2006 年）。 Leitgeb 和 Pettigrew (2010b) 提出了严格条件化的准确性论证（另见 Greaves 和 Wallace，2006）以及 Jeffrey 条件化替代方案的论证。有关概述，请参阅有关概率论的认知效用论证的条目。

其他哲学家提供了反对严格（和杰弗里）条件化的论据：van Fraassen（1989）认为理性不需要采用特定的更新规则（但请参见 Hájek，1998 和 Kvanvig，1994）。 Arntzenius (2003) 使用自我定位信念的“转变”性质来反对严格的条件化，以及反对范弗拉森的反思原则（参见范弗拉森 1995；关于反思原则的启发性讨论和荷兰书论据参见 Briggs 2009a)。 Arntzenius (2003) 使用的第二个特征称为“传播”，对于自我定位信念来说并不特殊。 Weisberg (2009) 认为，杰弗里条件化无法处理他称之为感知破坏的现象。参见 Huber (2014) 对 Jeffrey 条件化的辩护。

出于我们的目的，重要的是要指出条件概率始终是材料条件概率的下限。换句话说，

p(H|E)≤p(E→H)，

每当 p(E)＞0 时。我们可以将其视为我们在 2.1.1 节中讨论的条件化定性原则的定量版本。无论贝叶斯智能体在更新 E 后对 H 变得多么有信心，她都必须至少同样确信 H 是 E 的物质结果。 Popper 和 Miller (1983) 认为这一观察结果“对于归纳解释来说是完全毁灭性的”。概率计算。”有关波普尔-米勒辩论的历史，请参阅 Earman (1992) 的第 4 章。 Jeffrey 调节也具有类似的特性（Genin 2017，其他互联网资源）。

3.1.5 无知

主观概率论通过将 0.5 的概率分配给 A 及其补码 ØA 来模拟对命题 A 的无知。更一般地，当且仅当 Pr(Ai)=1/n 时，具有主观概率 Pr 的智能体被认为对于分区 {A1,…,An} 是无知的。冷漠原则要求一个信念代理人在粗略地缺乏相关证据的情况下以这种方式分配她的主观概率。 Leitgeb 和 Pettigrew (2010b) 给出了冷漠原则的精确论证。然而，如果所讨论的分区不固定，该原则会导致矛盾的结果。举一个简单的例子，假设索菲亚不知道某种大理石的颜色。那么，她几乎可以肯定那不是Blue。在这种情况下，对一件事的无知意味着她对另一件事非常固执己见。但想必她也不知道颜色是否是蓝色。有关这方面的更多信息，请参阅 Kneale (1949) 中对 Bertrand 悖论的讨论以及概率解释条目的第 3.1 节。冷漠原理的一个更谨慎的版本是最大熵原理，如果分区包含可数无穷个元素，也适用。它要求代理采用这些概率度量 Pr 之一作为她对可数分区 {Ai}（生成的 σ 场）的置信度函数，以最大化数量 −ΣiPr(Ai)logPr(Ai)。后者被称为 Pr 相对于分区 {Ai} 的熵。参见巴黎（1994）。

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