信仰的正式表述（五）

假设索菲亚对葡萄酒不太了解。根据无差异原则，她对奥地利 Schilcher 葡萄酒是白葡萄酒的置信度和对奥地利 Schilcher 酒是红葡萄酒的置信度都应为 0.5。将此与以下案例进行对比。 Sophia 确信某枚硬币是公平的，即硬币正面朝上的客观概率和朝反面朝上的客观概率都恰好为 0.5。主要原则（Lewis，1980）粗略地要求，以客观机会为条件，一个人的主观概率应该等于客观概率（见 Briggs，2009b）。根据主要原则，她对硬币在下一次旋转时正面朝上的置信度也应该是 0.5。尽管索菲亚在这两种情况下的主观概率相似，但还是有一个重要的区别。在第一种情况下，主观概率为 0.5 表示完全无知。在第二种情况下，它代表了客观机会的确定性。

像这样的例子表明，主观概率论并不能充分解释部分信念，因为它无法区分完全无知和知识，或者至少是关于机会的确定性。我们在第 3.2 节中讨论了对此反对意见的可能回应

3.1.6 审议和行动

部分信念贝叶斯模型的显着优势之一是，它可以随时插入实际审议的突出模型中。决策理论或理性选择理论是一个太大、太庞大的主题，无法在这里有效地涵盖，尽管我们将对其进行粗略的概述。有关精彩的介绍，请参阅 Thoma (2019) 和决策理论条目。就我们的目的而言，只要注意到存在一种成熟的理论，并且不存在可替代的信仰模型的可比理论就足够了。然而，Lin (2013) 和 Spohn (2017a, 2019) 等最近的工作可能会弥补定性信念情况下的不足。

假设您想做一个六个鸡蛋的煎蛋卷。您已将 5 个新鲜鸡蛋打入搅拌碗中。在你的冰箱里翻找，你发现了一颗来源不明的鸡蛋。如果你幸运的话，你可以将可疑的鸡蛋直接打入搅拌碗中；如果你对鸡蛋很警惕，你可能会先把它打碎成碟子，然后再洗碗。

这种决策理论情况有四个基本要素。有一些结果，我们根据这些结果定义了衡量结果的可取性的效用。就煎蛋卷而言，结果是损坏的煎蛋卷或 5-6 个鸡蛋的煎蛋卷，无论是否经过额外清洗。有些状态（通常是行为者未知且不受其控制）会影响决策的结果。在我们的例子中，可疑蛋的可能状态已经耗尽了这些状态：要么好，要么坏。最后，有些行为是在决策者的控制之下的。在我们的例子中，这些行为包括将鸡蛋打入碗或碟中。当然，还有其他可以想象的行为：你可以扔掉可疑的鸡蛋，用 5 个鸡蛋的煎蛋卷凑合；你甚至可以抛硬币来决定要做什么。为了简单起见，我们省略了这些。

为了将其纳入部分信念的框架中，我们假设行为集合 A1,A2,…,划分 W。我们还假设状态集合 S1,S2,…,Sm 划分 W。我们假设主观概率函数为给定每个行为的每个状态分配一个概率。我们假设行为和状态在逻辑上是独立的，因此没有状态排除任何行为的执行。最后，我们假设给定世界状态 Sj 和行为 Ai，恰好有一个结果 Oij 被分配了效用 U(Oij)。理性选择理论的最终建议是，代理人应该只执行那些使预期效用最大化的行为。行为的预期效用定义为：

欧盟(艾)=

米

Σ

j=1

PrAi(Sj)U(Oij),

其中 PrAi(Sj) 大致表示智能体考虑 Sj 的可能性，因为她已经执行了行为 Ai。关于如何定义这个量的困难导致了证据决策理论和因果决策理论之间的分裂（参见 Thoma，2019 年的第 3.3 节）。然而，在许多情况下，包括煎蛋卷的困境，所选择的行为并不影响各州获得成功的概率。用理性选择理论的行话来说，这被称为“行为-状态独立性”。在行为状态独立的情况下，人们普遍认为 PrAi(Sj) 应等于无条件信念程度 Pr(Sj)。

决策理论文献的核心是许多表示定理，表明每个具有满足一组理性假设的定性偏好的主体都可以表示为预期效用最大化者（von Neumann 和 Morgenstern，1944 年和 Savage，1972 年）。这些公理是有争议的，并且有直观的反例。 Allais (1953) 和 Ellsberg (1961) 给出了一些例子，其中看似理性的代理人违反了理性假设，因此即使在原则上也不能被表示为预期效用最大化者。有关 Ellsberg 和 Allais 的挑战的更多信息，请参阅描述性决策理论以及 Buchak (2013) 的条目。

3.2 不精确概率

考虑对 3.1.5 节中的两个示例进行以下修改。在第一个案例中，索菲亚收到了一枚风化且形状不规则的硬币——它是在一座古城的考古挖掘中刚刚发现的。根据概率论，索菲亚必须有一个精确的实值可信度，相信它会在下一次旋转中正面朝上。根据冷漠原则，她对 Heads 的置信度必须恰好为 0.5。在第二种情况下，她收到了一枚欧元硬币，她确信这是公平的——这已经通过大量实验得到证实。在这种情况下，概率论和主要原则也要求她对正面的置信度恰好为 0.5。正如我们已经看到的，以同样的方式对待无知（在第一种情况下）和对待机会的确定性（在第二种情况下）有一些令人不满意的地方。

有几种不同的方法可以阐明这种情况的问题所在。就古钱币而言，索菲亚仅根据一些模糊且不精确的信息就有了精确的可信度。就欧元而言，她有基于精确信息的精确态度。这里的基本直觉是，当索菲亚的证据如此不精确时，从理性角度要求索菲亚有精确的态度是很奇怪的。 Sturgeon（2008）认为，证据和态度必须“在性质上相匹配”，即尖锐的证据需要尖锐的态度，不精确的证据只能需要不精确的态度。根据“人物匹配”论，理性要求索菲亚对古钱币抱有一种不严谨的态度。

Joyce (2005) 以不同的方式阐述了这一困难。他认为证据的分量和平衡之间存在重要差异。就古钱币而言，证据是平衡的（通过对称性），但证据太少，以至于没有分量。就欧元而言，证据是有分量的（因为证据太多）并且是平衡的，因为它同样支持正面和反面。乔伊斯批评精确概率论无法区分证据的分量和平衡。 Skyrms (2011) 和 Leitgeb (2014) 认为这种区别是有代表性的：反映有分量证据的信念在更新时更具弹性 (Skyrms) 或更稳定 (Leitgeb)。对古钱币的几次尝试可能会极大地改变索菲亚的信任，但对欧元来说却不然。

当我们考虑其对决策的影响时，这个问题就呈现出不同的特征。根据标准理论，效用最大化贝叶斯主义者必须发现任何赌注至少有一方面有吸引力。很容易检查，如果成本 $ℓ 并支付 $w 的赌注具有负预期效用，那么成本 $w 并支付 $ℓ 的赌注的另一方具有正预期效用。由于她在这两种情况下的信任是相同的，所以索菲亚在下一次欧元旋转中接受的任何赌注，她也必须在古硬币上接受。因此，尽管她对欧元的信念更加稳定，但这种差异并没有反映在她的投注行为中。但直觉上，完全拒绝押注古钱币似乎是合理的。押注欧元是有风险的：旋转的结果是不确定的，但每个结果发生的机会是不确定的。对古钱币的赌注是不明确的：旋转的结果是不确定的，并且每个结果发生的机会都存在很大的不确定性。许多看似理性的人在决策时都会考虑到这种区别（请参阅不精确概率条目中对埃尔斯伯格决策的讨论）。然而，这种区别无法在标准理论中体现（参见 Buchak (2013)）。

不精确概率论者（van Fraasen，1990，Levi 1974）通过否认单个概率函数可以充分描述代理人的可信度来应对这些困难。相反，他们提出用一组概率函数可以更好地表示信念状态。这个集合代表一种“信用委员会”，其中每个成员代表一种精确化每个命题概率的方式。当新信息到来时，每个成员都会按照通常的方式进行调节更新。 Levi 要求凭证集在凸组合下是封闭的。换句话说，如果 p,q 是您的凭证集的成员，那么对于所有 λ∈[0,1]，λp+(1−λ)q 也必须是您的凭证集的成员。根据莱维的说法，p、q 的凸组合是它们之间“冲突的潜在解决方案”，并且“在悬置竞争系统之间的判断时不应排除潜在的解决方案”（Levi，1980）。然而，以这种方式解决冲突会导致一些不直观的后果。例如，如果 p,q 同意两个事件在概率上是独立的，那么它们的凸组合就不是这样。此外，如果信用委员会的所有成员都同意某些硬币是有偏见的（因为它弯曲），但没有偏向偏见的指导，则要求某些委员会成员认为硬币是公平的。有关如何汇总概率凭据的代理商意见的更多信息，请参见迪特里希（Dietrich）和列表（Dietrich and List）（2016）和第10.4节（2019）。

无论我们是否接受Levi的凸性要求，一组概率功能都为我们提供了将无知与对机会的确定性区分开的资源。如果代理人确定客观的机会，则其信用委员会的每个要素都将分配相同的概率。但是，如果她对某些命题无知，那么她的信用集将在某个间隔[a，b]⊆[0,1]中接受值。索菲亚（Sophia）在对古代硬币的完全无知中，可能会在[0,1]中承认任何价值，因为它将在下一个旋转中降落。但是，由于她知道欧元是公平的，因此信用委员会的每个成员都将.5分配给相应的主张。如果我们类似地重新定义了预期的公用事业，那么如果欧元的价格为1美元，如果欧元降落为2美元，如果它降落的话，则支付了2美元。但是，对古代硬币的类似赌注预计公用事业范围从1美元到2美元不等。这种区别允许对两个下注的不同态度。

有关不精确概率理论的详细说明，请参见Levi（1980），Van Fraassen（1990），Walley（1991）和Kyburg and Teng（2001）。有关出色的介绍，请参见Mahtani（2019），以及不精确的概率及其技术和历史附录的条目。有关一种方法，请参见Weichselberger（2000），该方法通过将信用间隔[a，b]⊆[0,1]直接分配给命题来避免概率函数集。有关信念内容是概率函数集的最新观点，请参见Moss（2018）。

3.2 登普斯特-谢弗理论

Dempster-Shafer（DS）信念功能（Dempster 1968，Shafer 1976）也可以理解为试图正式区分风险与歧义的尝试。像概率函数一样，DS信念函数是实值函数B：A→ℜ令人满意的阳性和单位性。但是，尽管概率函数是加性的，但DS信念函数只是超级添加的，即，对于A：A中的所有命题A，B。

b（a）+b（b）≤b（a∪b）如果a∩b=∅。

尽管所有a∈A的0≤b（a）≤1≤1，但代理对A的信念程度和她对梦的程度不需要总和为1。

根据一种解释（Haenni＆Lehmann 2003），数字B（a）代表了代理商的知识或信念基础支持A的力量。这个基础很可能既不支持A或补充。由于Sophia对古代硬币一无所知，因此她的信仰基础将不支持HA的命题，即它将降落，也不会支持ta的命题。但是，索菲亚很可能确定它不会降落在其边缘。因此，Sophia的DS信念函数B将使得B（HA）= B（TA）= 0，而B（Ha∪ta）= 1。另一方面，索菲亚（Sophia）确定欧元硬币是公平的。因此，如果他是欧元将分别降落头和尾巴的命题，那么她的b将使得b（he）= b（te）=。5和b（he∪te）= 1。通过这种方式，DS信念函数的理论可以区分机会的不确定性和无知。

i（{ai}）= 1 -b（a1） - …-b（an） - …

可以看作是对代理相对于可数分区{ai}的无知的量度。在这个定义上，索菲亚对古代硬币的下一个旋转的结果最大程度地不了解，对欧元而言几乎一无所知。

每个命题A都可以看作是将代理商的知识基础分为三个相互排斥和共同详尽的部分：一个支持A的部分，一个反对A的部分（即支持A），以及一个部分既不反对也不反对A. b（a）量化支持a，b（¬A）的零件量化了支持€的零件，而i（{a，酸A}）= 1 -b（a） -b（¬A）量化不支持A或¬A的部分。

我们可以通过以下方式理解与主观概率理论的关系。主观概率要求理想的杀手剂将其知识基础分为两个相互排斥和共同详尽的部分：一个支持A的说法，一个反对A的说法。负零件。因此，主观概率可以看作是ds信念的功能而不会无知。 （请参阅Pryor（2007，其他Internet资源），其中包括概率理论和Dempster-Shafer理论作为特殊情况的模型。）

DS信念函数通过设置诱导合理性函数P：A→ℜ

p（a）= 1 -b（¬A），

对于A.的所有a，合理性度量化了代理人的知识或信念基础的一部分，即与A支持A的部分以及支持A和既不支持A和A的部分。 Dempster和Shafer称其最高概率的合理性。实际上，人们可以将间隔[B（a），p（a）]解释为代理分配给命题的概率间隔A。古老的硬币将降落，[.5，.5]提出欧元将降落的主张。

Dempster-shafer理论比主观概率理论更一般，因为后者需要添加性，而前者只需要超级依据。但是，大多数作者都认为DS理论不像不精确的概率理论那样一般。原因是DS信念函数可以表示为概率的凸集。更确切地说，对于每个DS信念函数b，都有一组概率p，使得b（a）= min {p（a）：p∈P}和p（a）= max = max {p（a）：p∈ P}（Walley 1991）。由于并非每一组概率集可以表示为DS信仰功能，因此可以说，一组概率可以说是我们到目前为止遇到的最通用的框架。

DS信念功能如何反映在决策中？ DS理论的一种解释，称为替代信念模型（Smets和Kennes，1994年），区分了两个心理层面：信用层面，一个人娱乐和量化各种信念和质感级别，在其中将这些信念用于决策来制定决策。其双重论点是（公平的）下注率确实应该遵守概率，但是这种信念程度与（公平的）下注率不同，而无需。这足以满足较弱的DS原则。这个想法是，每当被迫下注在高质量水平上时，信用级别的信念程度都被用来计算满足概率公理的（公平）下注率。然后，这些依次用于计算代理商对各种行为的预期实用程序。

Dempster-Shafer理论的主要新颖性之一是其信念更新的建模，我们在这里不涵盖。有关Dempster-Shafer理论和其他方面的良好介绍，请参见Kyburg和Teng（2001）的第5.4节。有关Dempster-Shafer理论的荷兰书籍式论证，请参见巴黎（2001）。有关准确的论点，请参见Williams（2012）。

3.3 可能性和合理性理论

让我们总结到目前为止处理的帐户。主观概率理论需要信念程度是加性的。对于任何不连接的A，A中的B，A→A→ℜ必须满足的主观概率函数：

pr（a）+pr（b）= pr（a∪b）。

Dempster-Shafer理论只需要超级添加的信念。对于任何不连接的A，b中的A，A ds信念函数bel：A→ℜ必须满足：

B（a）+b（b）≤b（a∪b）。

但是，还有许多其他方法可以削弱添加性公理。可能性理论（Dubois and Prade，1988）要求信仰程度是最大的，因此是副添加的。对于任何a，b∈A，可能性度量π：a→ℜ必须满足：

π（∅）= 0;

π（w）= 1;

max {π（a），π（b）} =π（a∪b）;

这需要这一点

π（a）+π（b）≥π（a∪b）。

这个想法是，一个命题至少与它所构成的每种可能性一样，而不是“最可能”的可能性。必要度量n的双重概念n：a→ℜ为a中的所有a定义

n（a）= 1 -π（€a），

这意味着这一点

n（a∩b）= min {n（a），n（b）}。

尽管代理在可能性理论中的杀人状态完全由π或n完全指定，但代理人对特定命题A的认知态度仅由π（a）和n（a）共同指定。原因是，与概率理论相反，π（w∖a）不由π（a）确定。

可能的理论灵感来自模糊集理论（Zadeh，1978）。后者旨在适应模糊性的语言现象（参见2014年埃格勒和理发店，2014年拉夫曼，2014年，威廉姆森，1994年，2016年田野，以及模糊性的条目）。对于诸如“高个子”之类的谓词出现了模糊性，其中存在极端，范式和边界案例。我们可能会通过成员函数μT形式地代表这种现象：h→[0,1]，其中μt（h）是高度h∈H属于高个子t的程度。 （1）是所有高度的集合； μ -1（0）是所有短高度的集合； ∪R∈（0,1）μ -1（r）是所有边界高度的集合。由于许多不同的高度很高，因此很明显，为什么此类成员功能不应满足添加性。

模糊集理论将μT（178厘米）解释为“衡量178厘米的人高”的模糊陈述是正确的。真理程度属于语言哲学。他们（尚未）与属于认识论的信仰程度无关。可能性理论的认识论论点是，您的主观程度应反映有关成员程度的语义事实。假设您了解到Sophia很高。然后，您对“ Sophia为178厘米”的说法的可能性应等于μT（178厘米）。这可能会优雅地处理边界高度，但在极端情况下会产生不直觉的后果。由于大概是μT（190厘米）=μT（210厘米）= 1，因此您必须最大地发现索菲亚（Sophia）高190厘米和210厘米。

在“ Chancy”情况下，可能性理论只能做出非常元素的区分。由于索菲亚（Sophia）确定欧元硬币不会降落在其边缘π（h∪t）=π（w）上，因此她必须具有π（h）= 1或π（t）= 1。建模她的态度的最自然方法是设置π（h）=π（t）= 1。由于这些都是最大可能的，因此无法对头部和尾部表达部分态度。

Halpern的合理性措施提供了比可能性或Dempster-Shafer理论更一般的框架（Halpern 2003）。这些是函数pl：a→ℜ，因此对于所有a，b

PL（∅）= 0;

pl（w）= 1;

pl（a）≤pl（b）如果a⊆b。

除了一组概率之外，我们在本节中看到的每个部分信念模型都是合理措施的特殊情况。尽管部分信仰的功能应该遵守Halpern的合理性演算是相当毫无争议的，但他的最低原则是否占据了认识论的任何兴趣，这是值得怀疑的。在任何情况下，由此产生的认识论都非常薄。但是，应该指出的是，Halpern并不打算采取合理的措施来提供完整的认识论，而是一个一般框架来研究更具体的帐户。

有关可能性理论的更多信息，请参见Huber（2009）和Halpern（2003）。有关有条件的可能性措施的方法，请参阅后者。有关部分信念模型的有用分类学，请参阅归纳逻辑条目的附录。

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