信仰的正式表述（六）

3.4 排名理论

排名理论（Spohn 1988，1990，尤其是2012年）直接将数值的难以置信分配给W.中的可能性。一个点等级的排名函数κ：W→N∪{∞}将自然数（或∞）分配给W。这些数字代表了您分配给每种可能性的难题程度。配备了一个方向的排名函数，我们可以生成W：的编号分区

κ -1（0），κ -1（1），κ−1（2），…，κ -1（∞）。

细胞κ -1（∞）是最大化的可能性集。细胞κ -1（n）是一组可能性的可能性。最后，κ−1（0）包含不相信的可能性（尽管这并不意味着他们被相信）。除κ -1（0）外，细胞κ -1（n）可能是空的。由于不能始终如一地不相信所有内容，因此第一个单元格不得为空。

一个点等级的排名函数κ诱导排名函数ϱ：通过设置A→N∪{∞}

ϱ（a）= min {κ（w）：w∈A}，，

对于每个a∈A。换句话说：一组世界仅被认为是最合理的成员。按照惯例，我们设置ϱ（∅）=∞。这需要排名函数（有限）最小，因此是超级添加的。换句话说，对于所有a，b

ϱ（a∪b）= min {ϱ（a），ϱ（b）}。

另外，我们可以将排名函数表征为这些函数ϱ：a→n∪{∞}满足

ϱ（w）= 0;

ϱ（∅）=∞;

ϱ（a∪b）= min {ϱ（a），ϱ（b）}，

对于所有a，b∈A。第一个公理说，没有任何代理人不相信重言式命题。最终的公理在直觉上说，如果不相信两个分离，则应不相信a∪b。但是，最终公理的含义并没有被这种光泽所耗尽（请参见Huber，2020年的第4.1节）。

如上所述，第三个公理称为有限最小。就像在概率理论中一样，它可以加强到可计数的工会，从而产生最小的排名函数。与概率理论不同，有限的最小值也可以降低到任意工会，从而产生了完全最小的排名函数。参见Huber（2006）有关在命题领域定义的排名函数在基本可能性集上诱导的排名函数的条件。

数字ϱ（a）代表命题A中的代理人的难以置信的程度。如果ϱ（a）＞ 0，则代理人对a的态度不信任a。因此，由于不一致的痛苦，她也不能在积极的程度上不相信助心。换句话说，对于A中的每个命题A，至少A中的一个，必须分配等级为0。如果ϱ（a）= 0，则代理不会对a的主体不相信a。但是，这并不意味着她认为a在积极的程度上 - 代理人可以中止判断，并将等级0分配给a和梦。因此，对命题的信念的特征是对其否定。

对于每个排名函数，我们可以通过设置β（a）= ϱ（¬A）−ϱ（a）的所有a来定义相应的信念函数β：a→z∪{±∞}。那些认为被认为不相信的命题的命题的数字，而代理人暂停判决的那些命题的数字为0。每个排名函数ϱ诱导信念集

b = {a∈A：β（a）＞0}

= {a∈A：ϱ（¬A）＞ ϱ（a）}

= {a∈A：ϱ（¬A）＞ 0}。

B是代理商在某种程度上相信的所有命题的集合，或同等程度上，她对她的补充是积极的程度。由A（有限/可计数/完全最小的）排名函数引起的信念集B是一致且可演绎的（在有限/计数/完全含义的情况下）。由于相信具有β（a）＞0的任何命题，因此可以将排名理论视为满足洛克斯论文（请参阅第4.2.2节），而无需牺牲演绎闭合。但是请注意，我们可以定义b以包括所有这些命题A，其中β（a）＞ t在一定的阈值t大于零的情况下。有关这些可能性的探索，请参见RAIDL（2019）。

到目前为止，我们已经讨论了同步结构排名理论对信仰的施加。收到新信息时应如何更新等级？有条件的排名函数ϱ（走气）：基于非条件排名函数a×a→n∪{∞}}通过设置定义

ϱ（a ab）= ϱ（a∩b）−ϱ（b），，

对于所有a，b在a≠∅中。我们采用了所有有限n的∞ -∞= 0和∞ -n =∞的惯例。请注意，这意味着ϱ（¬A∣A）=∞。要求所有b的ϱ（∅b）=∞保证是（非条件）排名函数。有条件的排名函数引起了严格条件化的排名理论：

简单的条件化。

假设ϱ（申机）是您在时间t的排名函数，并且ϱ（a），ϱ（€a）<∞。此外，假设在t和t'之间，您可以确定A的命题，并且在逻辑上没有更强大的命题。然后，您在时间t'的排名函数应为ϱ（走气）。

请注意，与解释贝叶斯条件化有关的所有考虑因素（第3.1.4节中讨论）同样适用于排名理论条件。从条件的定义可以清楚地看出，与贝叶斯的情况一样，材料的等级是条件等级的下限：β（a→b）≤β（b | a）。这样可以确保排名理论更新满足条件化（请参阅第2.1.1节）。它还满足有理单调的版本：如果β（€a）= 0和β（b）＞ 0，则β（b | a）＞ 0。因此，排名理论更新满足AGM更新的“精神”。但是请注意，排名理论在迭代信念修订上没有麻烦：修订将排名函数和证据命题作为输入，并输出新的排名函数。 Moreve，如果将信念的阈值提高到零大于零的阳性，情况会发生变化：在这种情况下，理性单调可能不再满足（请参阅Raidl，2019年）。

普通的条件化仅涵盖新证据获得最大确定性程度时。 Spohn（1988）还定义了对杰弗里（Jeffrey）条件化的排名理论类似物。在这种情况下，新的证据不会获得最大的确定性，而只是改变了各种主张的排名。有关信念更新的排名理论概念的更多信息，请参见Huber（2014，2019）。有关概率理论和排名理论的比较，请参见Spohn（2009，第3节）

为什么不信任的等级应该遵守排名的演算？为什么应该根据排名理论条件化更新排名函数？回想一下，在主观概率理论的情况下，对荷兰书籍论点的呼吁或认识准确性的考虑来回答类似的问题。是否有可能提出类似的论点来支持排名理论？

简短的答案是肯定的：Huber（2007和2020，第5章）证明，遵守排名演算的规范性约束是保持一致性和扣除闭合的必要条件，无论是同步的还是面对新证据。后者又是一种必要但不足以达到始终拥有真正信念和尽可能多的人的终结的手段。与荷兰书籍论点不同，此结果不需要对博彩行为的务实考虑。 Brössel，Eder＆Huber（2013）讨论了该结果的重要性及其贝叶斯角色模型，Joyce（1998，2009）的“非力量”对概率的辩护。

看到任何遵守排名表节的同步要求的代理人（以及根据sactioned更新规则之一的更新）都将保持信念相互一致且封闭的信念，无论哪些新证据到达哪些新证据。令人困惑的是，任何不验证排名演算的特工都必须具有不一致的信念，或者不相信她的某些信念的逻辑后果。换句话说：很明显，排名的计算足以支撑性能，但是为什么需要呢？

要勾勒出必要论点，我们必须介绍一些术语。代理商的命题a的企业统治程度是“独立和最低限度可靠”（MP可靠）的信息来源的数量，说明代理人不相信A.如果代理商不信任，则将需要A.一个开始，她对A的统治程度为0。如果没有有限的信息来源能够使代理人不相信A，则A，她对A的intrumenthments a in c。当然，我们通常遇到的信息来源很少是独立的或MP可靠的。但是，这不是至关重要的。独立，可靠的可靠来源是一种理论构造 - interrencrment和更新之间的连接被称为反事实，因为代理切勿实际遇到此类信息来源。

必要的论点是通过规定统治反映在怀疑程度的情况下进行的。这将代理商的更新行为与她的各种主张的排名联系起来。回想一下，贝叶斯人规定了信仰程度和可接受的下注率之间的类似联系。 Huber（2007，2020）配备了这种连接，证明，如果代理商未能验证排名的演算，那么如果她遇到独立的，可靠的MP可靠的信息来源，她的信念将不会被演绎。这完成了必要论点。

除了决策外，请参见Giang和Shenoy，2000年以及Spohn 2017a，2020年），似乎我们可以使用排名函数来完成所有概率措施的行为。排名理论自然也引起了定性信念的概念，这些概念不会引起彩票式的悖论（请参阅第4.2.2节）。如果我们想与传统认识论保持一致，这可能至关重要。在本文中对排名理论的处理是必要的。有关出色的文章长度简介，请参见Huber（2019）。有关一本可访问的书，请参见Huber（2020）。有关广泛的书面待遇，并在认识论和科学哲学中应用了许多科目，请参见Spohn（2012）。

4. 完全相信和部分相信

4.1 消除主义

有些人否认有任何有趣的原则弥合了完全和部分信仰。这种说服的理论家通常希望消除其中一种态度，或者将其减少到另一种态度。杰弗里（Jeffrey，1970）认为，关于完全信仰的谈论是残留的，将完全被部分信仰和效用所取代：

……我也不对我们普通的信仰观念仅在信仰程度的概念中存在于遗传中的事实。我倾向于认为拉姆齐从普通的概念中吸了骨髓，并用它来滋养更充分的视野。但是也许还有更多的价值。我根本没有清楚地看到它，但是它可能存在所有这些。

像卡普兰（Kaplan，1996）这样的理论家还表明，一旦贝叶斯决策理论的机制就位，对完全信仰的话题是多余的。毕竟，只有部分信念和公用事业在理性审议的贝叶斯框架中起任何作用，而完全不必提及完全信念。那些致力于充分信念的人会表明在不求助于完全信仰的情况下，理性将如何变得更贫穷。卡普兰称此为贝叶斯挑战。 Stalnaker（1984）对信仰的定性观念更加同情，但承认贝叶斯挑战的力量。

的确，没有针对贝叶斯实践审议理论的规范定性类似物。但是，正是充分信念的理论家感到挑战，反之亦然，这可能是历史的偶然事实：如果首先开发了定性的实践审议理论，那么鞋子现在将在另一个脚上。如果定性决策（当然似乎是实施的，情况）比其贝叶斯对应者的认知要求更少。当然，这预计并未立即进行理性定性审议的强大理论。但是，诸如Lin（2013）和Spohn（2017a，2019年）之类的最新工作可能会补救这种不足。例如，Lin（2013）证明了一种野蛮的表示定理，表征了全部信念之间的关系，对可能的结果和对行为的偏好的渴望。通过根据定性信念发展理性行动的理论，林演示了人们如何应对贝叶斯挑战。

另一方面，有充分信念的游击党对部分信仰深表怀疑。参见Harman（1986），Pollock（2006），Moon（2017），Horgan（2017）和Hájekand Lin（2017）中的“坏警察”。其中许多是部分信念没有心理现实的目的，如果他们这样做将太难推理。霍根（Horgan，2017年）甚至说“通常没有Pent在P中的信任性的心理状态”，而贝叶斯认识论是“像炼金术和菲格斯顿理论一样：它与任何真实现象无关，因此也是如此不关心任何真正的规范来控制真实现象。” Harman（1986）认为，我们很少有明确的部分信念。根据哈曼的说法，推理理论只能涉及明确的态度，因为这些是唯一可以在推理过程中弄清楚的态度。因此，贝叶斯认识论虽然也许是对行动的倾向的描述，但并不是推理的指南。然而，部分信念可能是我们完全信念的系统隐含的，因为它们可以从我们的性格中重建以修改它们：

我们应该如何解释明确信念的各种优势？我倾向于假设这些不同的优势隐含在人们以“是/否”方式接受的信念体系中。我的猜测是，由于修订规则的运作，应将它们解释为一种epiphenomenon。例如，如果p比停止相信Q更难相信P，可能会比Q更强烈地相信P，也许是因为它需要对停止相信P而不是停止相信Q的观点更需要修改。 （第22页）。

在这张照片上，我们几乎所有明确的信念都是定性的。部分信念不是对命题的评级信念态度，而是对我们的全部信念的倾向。根据哈曼（Harman）的说法，正确的部分信仰理论与参数命令有关（请参阅第2.2.2节）或对理论信念的排名（请参阅第3.4节），而不是与概率相比。其他明显的部分信念态度也被解释为对客观概率的全部信念。因此，在有一万张门票的公平彩票的情况下，代理商不认为这是第n张门票不会获胜的，而是完全相信客观上不可能赢得胜利。

Frankish（2009）对Harman的观点的反对，要求代理人完全相信我们对我们有一定信念的任何主张：“这肯定是错误的。我对明天会下雨的主张有一定程度的信心（不到50％），但我不相信它会下雨，至少不是按照日常的标准来平坦的信念。” Harman可能会回答说Frankish只是完全相信明天的降雨的客观可能性。 Frankish声称，这条逃生路线对Harman关闭，因为单个事件“没有客观概率”，但此事几乎没有解决。

Staffel（2013）举了一个例子，在这种例子中，具有更高信念程度的命题显然比信仰程度较低的命题要少得多。假设您将从一个充满红色和黑色大理石的大罐子里绘制一组200万颗大理石。您不知道什么比例是红色的。考虑以下情况：

（1）您抽了二十颗黑色和一颗红色。您相信您要画的最后一个大理石是黑色的是.95。

（2）您绘制了一百万个大理石，其中90万是黑色的。您相信您要画的最后一个大理石是黑色是19/20 = .90。

Staffel认为，您对第一种情况的信念程度要高于第二种情况，但在第二种情况下比第一案更加根深蒂固。因此，信仰程度不能降低为根深蒂固的程度。然而，在大理石的情况下，同样的gambit向哈曼开放 - 他可以声称，在这两种情况下，您都完全相信对客观机会的主张。有关与Harman（1986）的更广泛参与，请参见Staffel（2013）。

4.2 桥梁理论

任何允许存在充分和部分信仰的人都会继承一个棘手的问题：与部分信仰有关的全部信念如何？这个看似无辜的问题导致了一个危险的寻找桥梁原则，将理性特工的部分信念与她的全部信仰联系起来。从事寻找桥梁原则的理论家通常认为一套合理的理性原则，这些原则及其修订，例如AGM理论或非单调推理的竞争对手系统。理论家通常也认为，部分信念应该通过概率功能来表达贝叶斯理性的风味。面临的挑战是提出额外的理性假设，即管理理性代理人的部分信念如何与她的全部信念相处。在本节中，我们将在大多数情况下接受接受的智慧，并假设正统的贝叶斯主义是部分信仰及其更新的正确模型。我们将对完全信念及其理性修订的建模更加开放。

在本节中，我们将再次对集合的命题成为信念的对象。和以前一样，邀请读者将W视为一组粗粒，相互排斥的，可能的现实世界方式。我们编写B表示代理人相信并使用B（a）作为a∈B的速记的一组命题。我们还将需要一些符号来进行定性的命题信念变化。对于所有e⊆w，写作是为代理商在学习E而没有更强有力的命题的一系列命题中写的。我们还将将b（a | e）作为a∈Be的速记写。按照惯例，b = bw。如果f是一组命题，我们让bf为集合{be：e∈F}。 BF集代表代理商的性格来更新她的定性信念。

对完整信念B的以下规范限制B在下面的内容中起着很大的作用。

演绎性的。信念集B是一致的，并且仅当∩B⊆B时，B∈B。

换句话说，演绎说服力意味着存在一个单一的、非空的命题∩B，它是主体所相信的逻辑上最强的命题，包含了她所有其他的信念。

我们所看到的用于更新定性信念的所有理性规范都有命题类似物。以下是第 2.2.1 节中的年度股东大会原则的命题类似物。

（闭包）BE=Cn(BE)；

（成功）E∈BE；

（包含）BE⊆Cn(B∪{E});

（守恒）若 ØE∉Cn(B)，则 B⊆BE；

（一致性）BE 是一致的，当且仅当 E≠∅；

（外延性）如果E=F，则BE=BF。

（合取包含）BE∩F⊆Cn(BE∪{F});

（合取守恒）如果 ØF∉Cn(BE) 则 Cn(BE∪{F})⊆BE∩F。

假设对于所有 E⊆W，BE 满足演绎说服力，前六个假设减少为以下三个。

（成功）∩BE⊆E；

（包含）∩B∩E⊆∩BE；

（保留）如果∩B⊈ØE，则∩BE⊆∩B∩E。

包容性和保存性共同表明，只要信息 E 与当前信念 ∩B 一致，

∩BE=∩B∩E。

如果 F 是命题的集合，并且对于所有 E∈F，信念集 B,BE 满足 AGM 原则，我们说 BF，即代理人在给定 F 的信息的情况下更新其定性信念的倾向，满足基本 AGM 原则。

我们将使用 Pr(⋅) 来表示代表主体部分信念的概率函数。当然，Pr(⋅) 是在 W 子集的 σ 代数上定义的。通常情况下，当 W 有限时，我们可以将幂集 P(W) 作为相关的 σ 代数。为了更新部分信念，我们采用标准概率建模。对于 E⊆W 使得 Pr(E)＞0，Pr(⋅|E) 是学习 E 所得的部分置信函数。我们有时会使用 PrE 作为 Pr(⋅|E) 的简写。几乎总是，部分信念是通过标准条件反射来更新的。如前所述，APr 是根据 Pr 具有正概率的命题集合。

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