信仰的正式表述（七）

4.2.1 作为极值概率的信念

第一个桥梁原则是，完全信念只是部分信念的最大程度。用概率来表达，它表示在任何时候，理性主体的信念和部分信念都可以由一对 ⟨B,p⟩ 表示，满足：

极值概率。 A∈B 当且仅当 Pr(A)=1。

Roorda (1995)将此称为完全信念和部分信念应该如何相互作用的公认观点。 Gärdenfors (1986) 是这种观点的代表，van Fraasen (1995) 和 Arló-Costa (1999) 也是如此，尽管后两者接受了部分信念的稍微不标准的概率模型。对于推理说服力的爱好者来说，以下观察应该支持所接受的观点。

如果 ⟨B,p⟩ 满足极值概率，则 B 演绎上是有说服力的。

Gärdenfors (1986) 证明了以下观点。

假设⟨BE,PrE⟩满足所有E∈APr的极值概率。那么 BAPr 满足年度股东大会的假设。

换句话说：如果代理人的部分信念验证了概率公理，她通过贝叶斯条件进行更新，并完全相信所有且仅那些具有极值概率的命题，她的定性更新行为将满足所有 AGM 假设（至少在定义贝叶斯条件时）认为年度股东大会修订假设是理性信念更新的必要条件的读者将认为这对于所收到的观点来说是个好消息。

Roorda (1995) 对现有观点提出了三点批评。考虑以下三个提议。

米勒德·菲尔莫尔是美国第十三任总统；

米勒德·菲尔莫尔 (Millard Fillmore) 曾任美国总统；

米勒德·菲尔莫尔要么是美国总统，要么不是美国总统。

当然，我并不像我对（3）中表达的同义反复的真实性那样确信菲尔莫尔是第13任总统。然而，说我完全相信（1）、（2）和（3）中的每一个似乎并没有什么错。然而，如果极值概率是正确的，那么完全相信（1）、（2）和（3）中的每一个而不给它们分配相同的置信度是不合理的。

罗达的第二个反对意见诉诸于信仰程度和实际决策之间的标准联系。假设我完全相信（1）。根据对赌商的信念程度的标准解释，如果（1）为真，我应该接受一个赌注，如果（1）为真，我应该支付一美元，如果（1）为假，我应该花费一百万美元。事实上，如果我真正将单位概率分配给（1），那么如果（1）为真，我应该接受几乎所有能保证一定正回报的赌注。然而，完全相信（1）并且不接受这样的赌注似乎是完全理性的。如果我们接受贝叶斯决策理论，极值概率似乎会让我做出各种奇怪且看似非理性的投注行为。

罗达对极值概率的最后挑战诉诸可修正性，根据可修正性，有理由相信，根据新信息，至少我的一些信念可能需要被放弃。然而，如果通过贝叶斯条件更新部分信念，我永远不会停止相信我的任何完整信念，因为如果 Pr(A)=1 则对于所有 E 来说 Pr(A|E)=1 使得 Pr(E)＞0。如果我们相信贝叶斯条件，极值概率似乎意味着我无法根据新信息修改我的任何完整信念。

4.2.2 洛克阈值

对公认观点的困难的自然反应是放弃完全确定性。也许完全信念对应于高于某个阈值但缺乏确定性的部分信念。弗利（Foley，1993）在洛克《人类理解论文》（169​​0/1975）第四卷中发表了一些明显类似的言论后，将这种观点称为洛克论点。到目前为止，洛克的论点实际上是模棱两可的。在所有情况下，可能有一个对所有代理合理规定的单一阈值。或者，每个代理人可能有自己适用于所有情况的阈值——该阈值可以表征代理人在形成定性信念时的“大胆”或“追求风险”程度。一个更弱的论点认为阈值可以根据上下文确定。我们将强的、与上下文无关的洛克论题（SLT）与较弱的、与上下文相关的论题（WLT）区分开来。量词的域可以被视为特定代理可能发现自己所处的所有信念状态⟨B,Pr⟩的集合，或者作为所有信念状态的集合。

(SLT) 存在一个阈值 s∈(

1

2

,1) 使得所有有理⟨B,Pr⟩满足

B(A) 当且仅当 Pr(A)≥s。

(WLT) 对于每个有理数 ⟨B,Pr⟩ 都有一个阈值 s∈(

1

2

,1) 这样

B(A) 当且仅当 Pr(A)≥s。

大多数对洛克论点的讨论都考虑到了强有力的论点。最近的工作，尤其是 Leitgeb (2017)，采用了较弱的论文。强有力的论文未指定正确的阈值。当然，对于每个 s∈(

1

2

,1) 我们可以制定一个具体的论文 SLT，据此强论文是正确的。例如，SLT.51 是论文的一个非常宽松的版本，而 SLT.95 和 SLT.99 则更为严格。还可以进一步明确薄弱的论点。例如，Leitgeb（2017）认为，上下文确定的阈值应该等于分配给完全相信的最强命题的信念程度。根据演绎说服力，这对应于拼写上笨拙的 WLTPr(∩B)。

强有力的洛克理论引发了著名的彩票悖论，最初由 Kyburg (1961, 1997) 提出。彩票的教训是，强有力的论点与演绎的说服力是紧张的。假设 s 是普遍正确的洛克阈值。现在考虑一张有 N 张彩票的公平彩票，其中 N 选择足够大，使得 1−(1/N)≥s。由于彩票是公平的，似乎可以完全相信某张彩票是中奖者。将置信度 1/N 分配给“第 i 张票是赢家”形式的每个命题似乎也是合理的。根据洛克理论，这样的代理人应该完全相信第一张票是输家，第二张票是输家。这张票是输家，第三张是输家，等等。由于说服力要求信念在合取下关闭，她应该相信所有的票都是输家。但现在她相信每张彩票都是输家，而有些彩票是赢家，这违反了说服力。由于 s 是任意的，我们已经证明，无论我们设置的阈值有多高，都有一些彩票，代理人必须要么违反洛克理论，要么违反演绎说服力。根据基伯格的说法，这个悖论告诉我们应该放弃演绎的说服力：完全的信念不一定会在合取下被封闭。许多其他人从彩票中得到的教训是，强有力的洛克论点是站不住脚的。

几位作者（Pollock (1995)、Ryan (1996)、Douven (2002)）试图通过对高度信念何时需要完全信念进行限制来修改强有力的洛克论点。从广义上讲，他们认为高度的信念足以保证完全的信念，除非某些失败条件成立。例如，Douven（2002）说，除非命题是概率自我破坏集的成员，否则它是足够的。集合 S 在概率上是自我破坏的，当且仅当对于所有 A∈S，Pr(A)＞s 且 Pr(A|B)≤s，其中 B=∩(S∖{A})。显然，该提案将禁止完全相信某张彩票会输。

所有此类提案都因 Korb (1992) 的以下示例而无效。令 A 为任何置信度高于阈值但缺乏确定性的命题。令 Li 为命题，即第 i 张彩票（有 N 张彩票的大彩票）将会输​​掉。考虑集合 S={ØA∪Li|1≤i≤N}。 S 的每个成员都高于阈值，因为 Li 高于阈值。此外，集合 S∪{A} 满足 Douven（以及 Pollock 和 Ryan）的失败条件。因此，这些建议禁止完全相信任何信念程度缺乏确定性的命题。 Douven 和 Williamson（2006）概括了这种例子，使一整类类似的正式提案变得微不足道。

Buchak（2014）认为，什么是部分信念才算是完全信念，不能仅仅取决于部分信念的程度，还必须取决于它所基于的证据类型。根据布查克的说法，这意味着这个问题不能有仅仅正式的答案：部分信念的哪些条件对于完全信念来说是必要和充分的？下面的例子可以追溯到 Thomson (1986)，它说明了这一点。您停放的汽车在半夜被一辆公共汽车撞了。该巴士可能属于蓝色巴士公司或红色巴士公司。考虑以下两种情况。

(1) 您知道蓝色公司运营该地区 90% 的巴士，红色巴士公司只运营 10%。您认为蓝色巴士是罪魁祸首的置信度为 0.9。

(2) 红、蓝公司运营的公交车数量相同。 90% 可靠的目击者证明一辆蓝色巴士撞上了您的车。您认为蓝色巴士是罪魁祸首的置信度为 0.9。

Buchak（2014）认为，在第一种情况下完全相信蓝色公交车是罪魁祸首是合理的，但在第二种情况下则不然。在第一种情况下，你只有统计证据，而在第二种情况下，一系列事件的因果链将你的信念与事故联系起来（另见 Thomson (1986)、Nelkin (2000) 和 Schauer (2003)）。布查克观察到，这些直觉反映在我们的法律实践中：纯粹的统计证据不足以定罪。如果您发现布查克的观点令人信服，那么您将对大多数提议的关于完全信念和部分信念应该如何对应的解释感到不满意（参见 Staffel (2016)）。

尽管公共汽车和彩票存在困难，但在强有力的论文下定性信念的动态独立研究是有趣的。例如，van Eijk 和 Renne（2014 年，其他互联网资源）将具有阈值的洛克的信念逻辑公理化

1

2

Makinson 和 Hawthorne (2015) 研究了 Lockean 代理验证了哪些非单调逻辑原理。在转向提出彩票悖论的解决方案之前，我们对定性洛克修正进行了一些观察，这主要受到 Shear 和 Fitelson (2018) 的启发。

Pr(H|E)≤Pr(E→H)是概率演算定理。因此，如果在给定 E 的情况下，H 被分配了高度的置信度，则实质条件 E→H 必须在事前被分配至少同样高的置信度。很容易看出，这是非单调逻辑条件化原则的概率类似物，或者等效地，AGM 包含原则。该观察结果如下：洛克主义者在条件反射后产生的任何信念，她都可以通过将证据添加到她先前的信念中并在逻辑结果下结束而得出。因此Lockean更新满足AGM包容性原则。此外，从定义可以看出，Lockean 更新满足成功性和外延性。

设理。 假设 s∈(

1

2

,1).对于所有 E∈APr，令 BE={A:Pr(A|E)≥s}。那么，BAPr满足包容性、成功性和外延性。

在第 2.2 节中，我们认为包容和保留体现了年度股东大会修订的精神。如果洛克修正也满足保存性，那么除了演绎说服力之外，我们将彻底清除年度股东大会原则。然而，这不能普遍成立。可以构建这样的示例：Pr(ØE)＜s、Pr(H)≥s 并且 Pr(H|E)＜s。对于洛克代理来说，这意味着有可能失去信念，即使是在修改未被怀疑的命题时也是如此。

回想一下 2.1.1 节中爱丽丝、鲍勃和福特的例子。令 W={a,b,c} 对应于爱丽丝拥有福特、鲍勃拥有福特并且办公室里没有人拥有福特的世界。假设概率函数

Pr(a)=

6

10

,Pr(b)=

3

10

且 Pr(c)=

1

10

抓住了我的部分信念。对于区间 (.75,.9] 中的洛克阈值，我的全部信念被 B={{a,b},W} 耗尽。现在假设我要知道爱丽丝不拥有福特。这与所有对 B 的信念，但由于 Pr({a,b}|{b,c})=

3

4

根据洛克理论，{a,b}∉B{b,c}。因此，洛克主义总体上并不验证保护论。至少对于那些同情波洛克对非单调逻辑的批评的人来说，好消息是洛克的论点允许削弱先前信念的失败。

然而，Shear 和 Fitelson（2018）也为年度股东大会和洛克论文的粉丝带来了一些好消息。如果两个量的比率与其总和与两个量中较大者的比率相同，即对于 a＞b＞0，如果

a+b

一个

=

一个

乙

然后

一个

乙

= 。黄金比例是一个约等于 1.618 的无理数。其倒数 phi−1 约为 0.618。希尔和菲特尔森证明了以下有趣的结果。

设理。 假设 s∈(

1

2

, ψ−1]。对于所有 E∈APr，令 BE={A:Pr(A|E)≥s}。设D={E∈APr:BE 演绎上有说服力}。那么 BD 满足 AGM 的六个基本假设。

这表明，对于相对较低的阈值，洛克更新满足所有 AGM 假设——至少当我们限制在演绎上有说服力的信念集时。有关黄金比例为何在这种情况下出现的解释，请参阅 Genin (2019) 中的第 6.2 节。

4.2.3 信念稳定性理论

对于许多人来说，牺牲演绎的说服力对于桥梁原理来说代价太高了，即使是像强大的洛克论文这样简单直观的原理。这种情况需要寻找可以与演绎说服力相协调的桥梁原则。 Leitgeb (2013, 2014, 2017) 和 Arló-Costa (2012) 提出的一项建议认为，理性的完全信念对应于稳定的高度信念，即即使在对新信息进行调节后仍然保持较高的信念程度。莱特格布将这种观点称为休谟命题，因为休谟将信仰视为一种超凡的活力和超凡的稳定性的观念。有关休谟信念概念中稳定性主题的详细发展，请参见 Loeb (2002, 2010)。 Leitgeb (2017) 形式化了休谟的定义，阐述了以下版本的论文：

(HT) 对于所有有理对 ⟨B,Pr⟩ ，存在 s≥1/2 使得

B(A) 当且仅当 ØB∉B 意味着 Pr(A|B)＞s。

换句话说：每个完整的信念都必须具有稳定的高条件信念程度，至少在以当前未被怀疑的命题为条件时。由于完全信念发生在双条件的两侧，因此显然这并不是将完全信念还原为部分信念，而是每个理性主体必须满足的约束。休谟理论没有指定精确的阈值 s。当然，对于每一个

1

2

＜s＜1，我们可以制定一个特定的论文HTs，据此该论文是正确的。例如，HT.5 要求当以当前未被怀疑的命题为条件时，每个完全相信的命题仍然比其否定更有可能。

某种形式的稳定性被广泛认为是知识的必要条件。苏格拉底在《美诺》中提出了这样的观点。 Paxson Jr. 和 Lehrer（1969）在 Gettier（1963）之后的认识论文献中支持这种观点。然而，稳定性通常不被认为是信仰的条件。 Raidl 和 Skovgaard-Olsen (2017) 声称 Leitgeb 的稳定性条件更适合知识分析，但对信念的条件过于严格。休谟命题的捍卫者可能会说，每一个理性信念都可能是知识的一个实例。由于知识必然是稳定的，因此不稳定的信念事实上是未知的。

Leitgeb 证明了休谟命题、演绎说服力和弱洛克命题之间的以下关系。

假设⟨B,Pr⟩满足HT和∅∉B。那么，B 具有演绎说服力，⟨B,Pr⟩ 满足 WLTPr(∩B)。

因此，如果一个代理人满足休谟命题并且不“完全”相信矛盾的命题，那么她的定性信念在演绎上是有说服力的，此外，她满足弱洛克命题，其中阈值由分配给∩B的信念程度设定，她认为逻辑上最强的主张。 Leitgeb 还证明了以下部分逆命题。

假设B 具有演绎说服力且⟨B,Pr⟩ 满足WLTPr(∩B)。那么，⟨B,Pr⟩满足HT

1

2

和∅∉B。

这两个定理共同表明，休谟命题（阈值为 1/2）相当于演绎说服力，而弱洛克命题（阈值为 Pr(∩B)）。因为总是可以满足HT

1

2

莱特格布为我们提供了一种巧妙的方法来调和演绎的说服力与洛克论文的一个版本。

回想一下彩票的例子。设 W={w1,w2,…,wN}，其中 wi 是第 i 张票获胜的世界。无论彩票中有多少张彩票，休谟经纪人都不能相信任何一张彩票都会丢失。假设对于一个矛盾，她相信 W∖{w1}，即第一张票会输的命题。现在假设她得知 {w1,w2}，除了第一张和第二张票之外的所有票都会输。这与她最初的信念是一致的，但她更新后第一张票会输的信念程度必须是 1/2。这与休谟理论相矛盾。所以她不能相信任何一张票都会丢失。在这种彩票情况下，代理人不能完全相信任何重要的提议。这个例子还显示了休谟提议对细粒度的可能性有多么敏感。如果我们将 W 粗化为可能性集合 W={w1,w2}，其中 w1 是第一张票获胜的世界，w2 是其他票获胜的“世界”，那么代理可以相信在不违反休谟理论的情况下，第一张票将会输掉。

如果 Buchak（2014）是正确的，那么任何代理人都不应该相信彩票命题——这些信念必然是在纯粹的统计证据的基础上形成的。 Kelly 和 Lin（2019）给出了另一种场景，其中休谟智能体似乎极度怀疑，但情况显然没有问题。假设不幸的约伯去做体检。在彻底检查的基础上，医生对他的健康状况做出了以下可怕的看法：她对约伯能活过 n 个月的信念程度是

1

2n

。 因此，她对乔布无法活过这一年的信念程度是

1

2

+

1

4

+⋯+

1

212

>.999。令人震惊的是，休谟理论阻止医生形成任何重要的信念。令 ≤n 为约伯最多能存活 n 个月的命题，令 ≥n 为约伯至少能存活 n 个月的命题。设 B 为医生认为最强的命题。假设对于一个矛盾，B 包含约伯剩余月份数的某个最小上限，即对于某些 n，B 包含 ≤n，并且对于任何 n′

Pr(n)

Pr(≥n)

=

1

2

对于所有的n.但由于 ≥n 与 B 兼容，休谟命题要求 Pr(B|≥n)>

1

2

。矛盾。

医生的例子表明，休谟主义的代价是一种相当极端的怀疑主义形式：在许多情况下，休谟代理人根本没有不平凡的完整信念。这种批评在 Rott (2017) 以及 Douven 和 Rott (2018) 中得到了广泛的阐述。医生还说明了休谟提议如何允许部分信念的任意小扰动反映为完整信念的巨大差异。假设医生稍微更有信心乔布无法存活一个月，即她的存活概率下降为

1

2

+ε,

1

4

,

1

8

-ε,

1

16

,

1

32

，……。现在医生可以相信约伯将在两个月内死亡，而不会与休谟理论相冲突。

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