信仰的正式表述（八）

到目前为止，我们只探讨了休谟提案的共时性内容。它支持什么样的定性信念更新原则？ Leitgeb 证明了 AGM 修订原则与休谟命题之间的密切关系：每个满足 AGM 原则以及洛克命题的弱版本的代理也必须满足休谟命题。所以如果你认为AGM理论是理性定性信念更新的正确理论（并且你认为高度的部分信念是完全信念的必要条件）你也必须接受休谟命题。更准确地说，Leitgeb 证明了以下内容：

假设BAPr满足所有AGM假设并且对于所有EεAPr，仅当Pr(A|E)＞r时AεBE。那么，对于所有 E∈APr，⟨BE,PrE⟩ 满足 HTr。

因此，任何违反休谟理论的代理人要么无法满足年度股东大会的假设，要么无法满足高概率的要求。请注意，反之亦然：如果所有对 ⟨BE,PrE⟩ 满足休谟命题，则 BAPr 必须满足 AGM 假设，情况并非如此。为了证明这一点，假设 ⟨B,Pr⟩ 满足休谟命题，且 ∩B⊂E 对于某些 E∈APr。如果我们令 BE={E}，则 ⟨BE,PrE⟩ 满足休谟命题。然而，这样的代理人显然违反了理性甚至谨慎的单调性。有关 AGM 理论与休谟理论之间关系的更详细处理，请参阅 Genin (2019) 的第 6.3 节。有关完整的治疗方法，请参阅 Leitgeb (2017)。

4.2.4 信念追踪理论

Lin 和 Kelly (2012) 提出定性信念更新应该跟踪部分信念更新。在他们的想象中，部分和全部信念是由并行认知系统维持和更新的。第一个系统受贝叶斯一致性和调节的概率规范控制，精确、缓慢且认知成本高。该系统用于需要大量精确度且没有太多时间压力的重要审议，例如退休计划。第二种以某种方式维持和更新完整的信念，速度更快，认知负担也更轻。该系统负责普通的规划：杂货购物，或为部门活动选择餐厅。 （对于两个系统观点的反对，请参阅 Staffel (2018)。）是什么使这两个并行系统彼此同步？

Lin 和 Kelly（2012）研究了接受规则，这些规则指定了一种优雅地过渡到定性系统和概率系统之外的机制。接受规则 α 将每个部分信念状态 Pr 映射到与其一致的唯一定性信念状态 α(Pr)。例如，一旦我们指定阈值，强洛克理论就会确定接受规则。另一方面，休谟命题未充分确定接受规则，仅对可接受的对 ⟨B,Pr⟩ 施加约束。代理的定性更新跟踪她的概率更新，当且仅当

α(Pr)E=α(PrE),

每当 Pr(E)＞0 时。换句话说：接受后进行定性修正会产生与概率修正后接受相同的信念状态。

这是理解跟踪要求的一种方法。假设，尽管代理人保持潜在的概率信念状态，但她的大部分认知生活都花在推理和更新定性信念上。典型的一天就这样过去了，根本不需要使用概率系统。假设星期一是典型的一天。令 ⟨α(Pr),Pr⟩ 为她周一醒来时的信念状态：她的全部信念和部分信念是和谐的。令E为她醒来后获得的总信息。由于定性信念会动态更新，因此她会以定性信念状态 α(Pr)E 入睡。一夜之间，她的概率系统完成了贝叶斯条件反射的艰巨工作，并计算部分信念状态 PrE，以防她在周二遇到任何复杂的决策问题。在醒来之前，她从概率系统 PrE 过渡到定性信念状态 α(PrE)。如果她未能满足跟踪要求，她可能会在周二早上醒来时带着一种定性信念状态，这种状态与她周一晚上入睡时的状态截然不同。如果她跟踪，那么她根本不会注意到任何差异。对于这样的代理人来说，不需要任何机制（除了记忆）就能在周二早上使她的全部和部分信念恢复和谐。假设我们通过在所有新信息 E 上调节之前的部分信念状态 Pr 来进入概率系统，并通过接受 α(PrE) 退出，跟踪可确保进出概率系统的转换不会引起定性信念的任何剧烈变化。 跟踪的代理根本不会注意到任何差异。不进行跟踪的智能体可能会发现她的全部和部分信念永远不同步，需要许多昂贵的接受操作才能使它们恢复和谐。

跟踪可能是一个理想的特性，但是有没有任何架构可以展示它？ Lin 和 Kelly (2012) 对这个问题给出了肯定的回答。由于贝叶斯条件被认为是理所当然的，林和凯利必须指定两件事：定性修正操作和共同跟踪条件的接受规则。我们现在讨论他们提案的细节。像往常一样，令 W 为一组世界。问题 Q 是将 W 划分为可数的相互穷举命题 H1,H2,… 的集合，它们是 Q 的完整答案。部分置信函数 Pr 是在 Q 生成的命题 A 的代数上定义的。令 ≺ 为对 Q 的答案有充分根据的、严格的偏序。（严格的偏序是有充分根据的，当且仅当该顺序的每个子集都有一个最小元素。）这被解释为合理性排序，其中 Hi≺Hj 意味着 Hi严格来说比 Hj 更合理。每个合理性顺序 ≺ 都会通过让 ØHi∈B≺ 产生一个演绎上有说服力的信念状态 B≺，当且仅当存在某个 Hj 严格地比 Hi 更合理，并在逻辑结果下结束。换句话说，∩B≺是合理顺序中最小元素的析取。

首先我们指定接受规则。林和凯利提出了赔率阈值规则。置信度函数 Pr 用于通过设置来确定合理性顺序

Hi≺pHj 当且仅当

Pr(高)

Pr(Hj)

＞t，

其中t是大于1的方差，且Pr(Hi)，Pr(Hj)＞0。这通过设置α(Pr)=B≺p来确定接受规则。由于赔率阈值规则确定了合理性顺序≺p，并且任何合理性顺序≺都会产生演绎上有说服力的信念状态B≺，因此避免了彩票悖论。换句话说：任何有理数 ⟨B,p⟩ 都通过 B=α(Pr) 相关的桥梁原理确保 B 具有演绎说服力。此外，在稳定性理论排除的情况下，赔率阈值规则允许非平凡的定性信念。回想一下医生的例子。考虑赔率阈值 210−1。考虑到这个阈值，约伯将恰好存活 1 个月的假设严格来说比他将在任何 n≥10 时至少存活 n 个月的命题更合理。这个阈值让人完全相信乔布最多能存活 10 个月。然而，就彩票而言，赔率阈值规则排除了任何重要的信念。 （Kelly 和 Lin 提出的内容相关阈值规则（即将发布）可能允许在彩票情况下存在非平凡的信念。）参见 Rott (2017) 和 Douven 和 Rott (2018)，了解形成非信念的相对可能性的广泛比较。 -关于赔率阈值和稳定性建议的琐碎定性信念。

仍有待指定定性修订操作。 Lin 和 Kelly 采用了 Shoham (1987) 提出的操作。通过将与 E 不兼容的每个答案设置为严格地比与 E 兼容的每个答案更不合理，在证据 E 上更新合理性顺序 ≺，否则保持顺序不变。让 ≺E 表示此更新操作的结果。我们使用更新的合理性顺序通过设置 BE=B≺E 来定义置信修正规则。那么，对于所有 E,F⊆W，BE 具有演绎说服力并满足：

（成功）∩BE⊆E；

（包含）∩B∩E⊆∩BE；

（谨慎单调）如果 ∩B⊆E 则 ∩BE⊆∩B。

然而，它不一定满足保存。要看到这一点，假设 Q={H1,H2,H3} 且 H1≺H2，但 H3 未与 H1 或 H2 排序。那么∩B=H1∪H3。然而∩B-H1=H2∪H3⊈∩B，即使∩B∩-H1≠∅。

Lin 和 Kelly 证明了 Shoham 修正和基于赔率阈值的接受共同跟踪调节：

设≺等于≺p，且令BE=B≺E。那么BP(W)满足演绎说服力、成功、谨慎单调和包容性。此外，对于所有 E∈APr，BE=α(Pr)E=α(PrE)。

换句话说：接受赔率阈值并随后进行 Shoham 修正会产生与贝叶斯条件作用后接受赔率阈值接受相同的信念状态。 （Kelly和Lin（即将到来的）建议修改Lin和Kelly（2012）中提出的赔率 - 阈值规则。 ）概率。这表明至少有一些体系结构毫不费力地使概率和定性推理系统保持和谐。

AGM的粉丝将遗憾的是，Shoham修订版不满足AGM保存（理性单调）。 Lin和Kelly（2012）证明，跟踪条件的“明智”接受规则无法满足包容性和保存。我们在此处省略了明智规则的技术定义。有关摘要，请参见Genin（2019）中的第6.4节。

4.2.5认知决策理论

到目前为止，我们已经看到的所有桥梁原则都具有以下相同的共同点：代理人的全部和部分信念是否仅仅是全部和部分信念的问题。为了评估信念状态，没有必要提及偏好或公用事业。源自Hempel（1962）并在Levi（1967a）中接受古典表达的另一种传统，它吸收了“决定”对贝叶斯决策理论模型的“决定”的问题。至关重要的是，这些作者并不致力于在哪些特工从字面上决定要相信什么的图片 - 他们声称代理人的信念与实际决策相同的规范性评估。对这一传统的当代贡献包括Easwaran（2015），Pettigrew（2016）和Dorst（2017）。此处介绍的是Levi（1967a）的一个简化版本，以命题而不是句子为信仰对象。

像往常一样，让W成为一组可能的世界。该代理被认为有兴趣回答问题Q，该问题是W分配到有限的相互详尽答案{H1，H2，…Hn}的有限集合中。李维（Levi）称这种情况为“通过真正的信念取代不可知论的努力”，对皮尔斯（Peirce）的主题呼应（1877年）：

怀疑是一种不安和不满意的状态，我们努力释放自己并进入信仰状态。尽管后者是一个平静而令人满意的状态，我们不希望避免，或者改变对其他任何事物的信念。相反，我们坚持不懈地坚持，不仅是相信，而且要相信我们所相信的。

代理的部分信念由概率函数PR表示，该概率函数PR至少在该问题生成的代数A上定义。 Levi建议采用以下程序来确定哪些命题完全相信：不加入所有具有最大预期认知效用的Q的元素，然后在演绎后果下关闭。假设h∈A的预期认知效用定义为：

e（h）：= = pr（h）话说（h）+pr（¬h）话说（h），

如果u（h）是接受h在真实时接受h的认知效用，而u（h）是在错误时接受h的效用。 u（h），u（h）如何确定？李维（Levi）受到以下原则的指导。

真正的答案比虚假答案具有更大的认识效用。

与不可知论的真实答案相比，不可知论的不可知论的救济性具有更大的认识效用，而不可知论的救济程度更大。

带来不可知论的高度缓解的虚假答案比虚假答案获得了更大的认识效用，而虚假答案可以减轻不可知论的程度。

很容易反对这些原则。第一个原则确立了对真实信念的词典偏好。可以想象的是，相反，这是一个有益的虚假信念，即近似真实的信念应该具有更大的认知效用，而不是一个不知情的真实信念。第一个原则排除了针对真相的交易内容。还可以想象的是，反对第三个原则，一个人宁愿是错误的，但不太自明，而不是错误和自以为是。唯一的不可感受的原则似乎是第二个。

为了衡量不可知论的救济程度，在曲霉的元素上定义了概率函数m（申机），m（m（话说）没有衡量信仰程度，而是不信息的程度。 h∈A提供的不可知论的救济程度（也称为h中的内容量）被定义为无信息的补充：cont（hi）= m（¬hi）。李维（Levi）认为，Q的所有元素都应分配相同数量的内容，即m（hi）=

1

n

因此，cont（hi）=

n−1

n

对于每个Hi∈Q。 Levi建议满足以下条件的一组认知效用功能：

u（h）= 1 -q·康（€h）;

u（h）= - q·康（€h），

其中0

∩{€hi∈Q：pr（€hi）＞1 -q·cont（¬hi）}。

从这个公式可以将Levi的建议视为洛克斯论文的问题依赖性版本，其中适当的阈值是内容的函数。但是，Levi竭尽全力确保此操作的结果是演绎的，因此避免了彩票类型的悖论。

当代对决策理论传统的贡献与列维的不同。最近的工作并不是说认识论主要是内容的函数。这些建议中的大多数并不是指上下文中的问题。许多提案，例如Easwaran（2015），Dorst（2017），相当于洛克斯论文的版本，其中阈值由代理商分配给真实和错误信念的实用程序确定。由于这些本质上是洛克斯的建议，因此它们受到彩票式悖论的约束。

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