亚里士多德的逻辑学（二）

作为该过程的一个例子，我们可以采用亚里士多德的 Camestres 证明。他说：

如果

中号

M 属于每个

氮

N但没有

X

X，那么两者都不会

氮

N 属于任意

X

X. 对于如果

中号

M 不属于

X

X，那么也没有

X

X 属于任意

中号

中号；但

中号

M 属于每个

氮

N;所以，

X

X 不属于

氮

N（因为第一个数字已经出现）。既然私人皈依者，也不会

氮

N 属于任意

X

X.（An. Pr. I.5, 27a9–12）

从这段文字中，我们可以提取出一个精确的形式证明，如下：

步骤证明亚里士多德的文本

1.

中号

一个

氮

曼如果

中号

M 属于每个

氮

氮

2.

中号

e

X

MeX 但没有

X

X,

证明：

氮

e

X

NeX 那么两者都不会

氮

N 属于任意

X

X.

3.

中号

e

X

MeX (2, 前提) 对于 if

中号

M 不属于

X

X,

4.

X

e

中号

XeM(3，转换为

e

e) 那么也没有

X

X 属于任意

中号

中号；

5.

中号

一个

氮

MaN (1, 前提) 但是

中号

M 属于每个

氮

N;

6.

X

e

氮

XeN (4, 5, Celarent) 因此，

X

X 不属于

氮

N（因为第一个数字已经出现）。

7.

氮

e

X

NeX(6，转换为

e

e) 既然私人皈依，他们也不会

氮

N 属于任意

X

X.

“通过不可能”的完成或证明表明，某个结论是从一对前提得出的，通过假设对这一结论的否定作​​为第三个前提，并从它和原始前提之一中进行演绎，否定（或相反）其他处所。这是一个“不可能”的推论，亚里士多德的证明到此结束。一个例子是他在 27a36-b1 中对 Baroco 的证明：

步骤证明亚里士多德的文本

1.

中号

一个

氮

接下来，如果

中号

M 属于每个

氮

尼，

2.

中号

哦

X

MoX但不属于某些

X

X,

证明：

氮

哦

X

NoX 那么有必要

氮

N 不属于某些人

X

X

3.

氮

一个

X

NaX 与期望的结论相矛盾 因为如果它属于所有人，

4.

中号

一个

氮

MaN 重复前提 1 和

中号

M 是每一个的谓词

氮

尼，

5.

中号

一个

X

MaX (3, 4, Barbara) 那么有必要

中号

M 属于每个

X

X.

6.

中号

哦

X

MoX（5与2矛盾）但它被认为不属于某些。

5.3 反证：反例和术语

亚里士多德通过构造反例来证明无效性。这非常符合现代逻辑理论的精神：证明某种形式无效所需要的只是该形式的一个具有正确前提和错误结论的实例。然而，亚里士多德陈述他的结果并不是说某些前提-结论组合是无效的，而是说某些前提对不能“三段论”：也就是说，给定所讨论的一对，可以构造例子，其中该前提对形式为真，四种可能形式中任何一种的结论都是假的。

在可能的情况下，他通过一种聪明而经济的方法来做到这一点：他给出了两个三元组，其中一个使前提为真且普遍肯定“结论”为真，另一个使前提为真且普遍否定“结论”结论”正确。第一个是论证的反例

乙

E 或

氧

O 结论，第二个是论证的反例

一个

一个或一个

我

我的结论。

5.4 数字中的推论（“情绪”）

在先前的分析 I.4-6 中，亚里士多德表明，下表中给出的前提组合会产生扣除，而所有其他前提组合都无法产生扣除。在中世纪以来的传统术语中，这些组合中的每一种都被称为一种语气拉丁语 modus，“方式”，而这又是希腊语 tropos 的翻译。然而，亚里士多德没有使用这个表达方式，而是指“图中的论证”。

在此表中，“

⊢

⊢”将前提与结论分开；可以读作“因此”。第二列列出了与推论相关的中世纪助记符名称（这些仍然被广泛使用，每个助记符实际上都是亚里士多德对相关情绪的证明的助记符）。第三栏简要总结了亚里士多德论证演绎的过程。

形成助记词证明

第一个数字

一个

一个

乙

,

一个

乙

c

⊢

一个

一个

c

Aab,Abc⊢Aac 芭芭拉完美

乙

一个

乙

,

一个

乙

c

⊢

乙

一个

c

Eab,Abc⊢Eac Celarent 完美

一个

一个

乙

,

我

乙

c

⊢

我

一个

c

Aab,Ibc⊢Iac Darii 完成时;也是不可能的，来自Camestres

乙

一个

乙

,

我

乙

c

⊢

氧

一个

c

Eab,Ibc⊢Oac Ferio 完美;也是不可能的，来自凯撒

第二个数字

乙

一个

乙

,

一个

一个

c

⊢

乙

乙

c

Eab,Aac⊢Ebc 切萨雷

（

乙

一个

乙

,

一个

一个

c

）

→

（

乙

乙

一个

,

一个

一个

c

）

(Eab,Aac)→(Eba,Aac)

⊢

C

e

我

乙

乙

c

⊢CelEbc

一个

一个

乙

,

乙

一个

c

⊢

乙

乙

c

Aab,Eac⊢Ebc 摄像机

（

一个

一个

乙

,

乙

一个

c

）

→

（

一个

一个

乙

,

乙

c

一个

）

=

（

乙

c

一个

,

一个

一个

乙

）

(Aab,Eac)→(Aab,Eca)=(Eca,Aab)

⊢

C

e

我

乙

c

乙

→

乙

乙

c

⊢CelEcb→Ebc

乙

一个

乙

,

我

一个

c

⊢

氧

乙

c

Eab,Iac⊢Obc Festino

（

乙

一个

乙

,

我

一个

c

）

→

（

乙

乙

一个

,

我

一个

c

）

(Eab,Iac)→(Eba,Iac)

⊢

F

e

r

氧

乙

c

⊢FerObc

一个

一个

乙

,

氧

一个

c

⊢

氧

乙

c

Aab,Oac⊢Obc 巴洛克

（

一个

一个

乙

,

氧

一个

c

+

一个

乙

c

）

⊢

乙

一个

r

（

一个

一个

c

,

氧

一个

c

）

(Aab,Oac+Abc)⊢Bar(Aac,Oac)

⊢

我

米

p

氧

乙

c

⊢ImpObc

第三个数字

一个

一个

c

,

一个

乙

c

⊢

我

一个

乙

Aac,Abc⊢Iab 达拉普蒂

（

一个

一个

c

,

一个

乙

c

）

→

（

一个

一个

c

,

我

c

乙

）

(Aac,Abc)→(Aac,Icb)

⊢

D

一个

r

我

一个

乙

⊢达拉布

乙

一个

c

,

一个

乙

c

⊢

氧

一个

乙

Eac,Abc⊢Oab Felapton

（

乙

一个

c

,

一个

乙

c

）

→

（

乙

一个

c

,

我

c

乙

）

(Eac,Abc)→(Eac,Icb)

⊢

F

e

r

氧

一个

乙

⊢FerOab

我

一个

c

,

一个

乙

c

⊢

我

一个

乙

Iac,Abc⊢Iab 迪萨米斯

（

我

一个

c

,

一个

乙

c

）

→

（

我

c

一个

,

一个

乙

c

）

=

（

一个

乙

c

,

我

c

一个

）

(Iac,Abc)→(Ica,Abc)=(Abc,Ica)

⊢

D

一个

r

我

乙

一个

→

我

一个

乙

⊢达尔巴→Iab

一个

一个

c

,

我

乙

c

⊢

我

一个

乙

Aac,Ibc⊢Iab 达蒂西

（

一个

一个

c

,

我

乙

c

）

→

（

一个

一个

c

,

我

c

乙

）

(Aac,Ibc)→(Aac,Icb)

⊢

D

一个

r

我

一个

乙

⊢达拉布

氧

一个

c

,

一个

乙

c

⊢

氧

一个

乙

Oac,Abc⊢Oab 博卡多

（

氧

一个

c

,

+

一个

一个

乙

,

一个

乙

c

）

⊢

乙

一个

r

（

一个

一个

c

,

氧

一个

c

）

(Oac,+Aab,Abc)⊢Bar(Aac,Oac)

⊢

我

米

p

氧

一个

乙

⊢ImpOab

乙

一个

c

,

我

乙

c

⊢

氧

一个

乙

Eac,Ibc⊢Oab Ferison

（

乙

一个

c

,

我

乙

c

）

→

（

乙

一个

c

,

我

c

乙

）

(Eac,Ibc)→(Eac,Icb)

⊢

F

e

r

氧

一个

乙

⊢FerOab

图中扣除额表

5.5 元理论结果

在确定了数字中哪些演绎是可能的之后，亚里士多德得出了许多元理论结论，包括：

任何演绎都有两个否定前提

任何演绎都有两个特定前提

具有肯定结论的演绎必须有两个肯定前提

具有否定结论的演绎必须有一个否定前提。

具有普遍结论的演绎必须有两个普遍前提

他还证明了以下元定理：

所有扣除额都可以归结为第一幅图中的两个通用扣除额。

他对此的证明很优雅。首先，他证明了第一个数字的两个特殊演绎可以通过不可能性的证明被简化为第二个数字中的普遍演绎：

（达里）

（

一个

一个

乙

,

我

乙

c

,

+

乙

一个

c

）

⊢

C

一个

米

e

s

t

r

e

s

（

乙

乙

c

,

我

乙

c

）

⊢

我

米

p

我

一个

c

(Aab,Ibc,+Eac)⊢Camestres(Ebc,Ibc)⊢ImpIac(Ferio)

（

乙

一个

乙

,

我

乙

c

,

+

一个

一个

c

）

⊢

C

e

s

一个

r

e

（

乙

乙

c

,

我

乙

c

）

⊢

我

米

p

氧

一个

c

(Eab,Ibc,+Aac)⊢Cesare(Ebc,Ibc)⊢ImpOac

然后他观察到，由于他已经展示了如何将除 Baroco 和 Bocardo 之外的其他图中的所有特定扣除减少到 Darii 和 Ferio，因此这些扣除可以减少到 Barbara 和 Celarent。这个证明在结构上和系统中公理冗余的现代证明上都惊人地相似。

更多的元理论结果，其中一些相当复杂，在 Prior Analytics I.45 和 Prior Analytics II 中得到了证明。如下所述，亚里士多德的一些元理论结果在后分析的认识论论证中得到了运用。

5.6 模态三段论

亚里士多德在处理“图形中的论证”之后，对当我们以各种方式将“必然”和“可能”的限定条件添加到这些图形论证的前提时，对这些图形论证会发生什么进行了更长、也更有问题的讨论。与三段论本身（或者，正如评论家喜欢称之为断言三段论）相比，这种模态三段论似乎不太令人满意，而且肯定更难以解释。在这里，我仅概述亚里士多德对这个主题的处理，并指出一些解释争议的要点。

5.6.1 模式的定义

现代模态逻辑将必然性和可能性视为可相互定义的：“必然P”相当于“不可能不是P”，“可能P”相当于“不一定不是P”。亚里士多德在《论解释》中给出了这些相同的等价物。然而，在先前的分析中，他区分了两种可能性的概念。对于第一点，他认为这是他更喜欢的概念，“可能P”相当于“不一定P，也不一定不是P”。然后，他根据现代等价性承认了可能性的另一种定义，但这在他的系统中只扮演次要角色。

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