科亨-斯佩克定理（二）

3.3 原始的 KS 论证。技术预备。

原始 KS 证明在三维复数希尔伯特空间 H3 上运行。它需要两件事：（1）在 H3 中正交的三重光线集合； (2) 一个约束，即每个正交三元组的一条射线被指定为数字 1，其他两条射线被指定为 0。两者都可以按如下方式实现：

我们考虑 H3 上的任意算子 Q，具有三个不同的特征值 q1、q2、q3，其特征向量 |q1＞、|q2＞、|q3＞ 以及投影在这些向量所跨越的射线上的投影算子 P1、P2、P3。现在，P1、P2、P3 本身就是可观测量（即，Pi 是一个“是-否可观测量”，对应于“系统对于 Q 是否有值 qi？”）。而且，P1、P2、P3是相互兼容的，因此我们可以应用求和规则和乘积规则，从而导出对值分配的约束（证明）：

(VC1) v(P1) + v(P2) + v(P3) = 1，其中 v(Pi) = 1 或 0，

对于 i = 1, 2, 3。

可观测量 Q 的任意选择定义了新的可观测量 P1、P2、P3，它们依次选择 H3 中的光线。因此，强加可观测量 P1、P2、P3 都具有值意味着为 H3 中的光线分配编号，特别是 VC1 意味着通过选择任意 Q 指定的任意三重正交光线（简而言之： H3 中的正交三元组），它的一条射线被指定为 1，其他射线被指定为 0。现在，如果我们引入不同的不相容可观测量 Q、Q′、Q″，……这些可观测量选择不同的H3 中的正交三元组。 KS 定理（实际上是 VD）的假设 (1) 现在告诉我们，这些三元组中的每一个都有三个值，而 VC1 告诉我们这些值必须适用于每个三元组，恰好是 {1, 0, 0} 。 KS 现在表明，对于 H3 中的一组特定的有限正交三元组，将数字 {1, 0, 0} 分配给它们中的每一个（在公共射线中匹配）是不可能的。进一步反思发现，虽然 H3 很复杂，但实际上考虑一个真实的三维希尔伯特空间 R3 就足够了。因为我们可以证明，如果根据 VC1 的值分配在 H3 上是可能的，那么在 R3 上也是可能的。反之，如果分配在 R3 上不可能，那么在 H3 上也是不可能的。因此我们可以满足开始 KS 证明所需的条件，同时将问题简化为 R3 上的一个。现在，R3 中 H3 中的任意正交三元组的等价物又是正交射线的任意三元组（简称：R3 中的正交三元组）。因此，如果 KS 想要证明，对于 H3 中一组特定的 n 个正交三元组（其中 n 是自然数），将数字 {1, 0, 0} 分配给它们中的每一个是不可能的，这就足够了让他们证明，对于 R3 中一组特定的 n 个正交三元组，将数字 {1, 0, 0} 分配给它们中的每一个是不可能的。这正是他们所做的。

需要强调的是，此时R3与物理空间之间并没有直接的联系。 KS 希望表明，对于需要在至少三个维度的希尔伯特空间中表示的任意 QM 系统，与条件 (KS2)（求和规则和乘积规则）结合的值的归属是不可能的，并且为了做到这一点考虑空间R3就足够了。然而，这个空间 R3 并不代表所讨论的量子系统的物理空间。特别是，R3 中的正交性不应与物理空间中的正交性相混淆。如果我们转向位于物理空间中的 QM 系统的示例，同时需要 H3 中的 QM 表示，例如单粒子 spin-1 系统的自旋自由度。给定物理空间中的任意方向 α 和表示方向 α 上自旋分量可观测量的算子 Sα，H3 由 Sα 的特征向量跨越，即 |Sα=1＞、|Sα=0＞、|Sα=−1＞，它们在 H3 中相互正交。对应于一个空间方向上的三个可能测量结果的这三个向量是相互正交的，这一事实说明了 H3 中和物理空间中正交性的不同含义。 （当然，原因在于 QM 的结构，它代表 H3 中不同方向的可观测量的不同值。）

抽象地讲，KS 本身以完全相同的方式进行，但他们用一个确实与物理空间建立直接联系的例子进行了说明。看到这种联系很重要，但也要清楚它是由 KS 的例子产生的，并不是他们的数学结果所固有的。 KS 建议考虑一个单粒子 spin-1 系统，并测量物理空间 Sx2、Sy2、Sz2 中自旋正交方向的平方分量，它们是兼容的（而 Sx、Sy、Sz 本身则不兼容）。 [7 ]自旋平方分量的测量仅确定其绝对值。在这里，他们再次使用求和规则和乘积规则（证明）得出对值分配略有不同的约束：

(VC2) v(Sx2) + v(Sy2) + v(Sz2) = 2，其中 v(Sα2) = 1 或 0，

对于 α = x, y, z。

现在，由于 Sx2、Sy2、Sz2 是兼容的，因此存在一个可观察的 O，使得 Sx2、Sy2、Sz2 都是 O 的函数。因此，选择任意这样的 O 可以固定 Sx2、Sy2、Sz2，并且，因为后者可以与 H3 中相互正交的射线直接相关，再次修复了 H3 中正交三元组的选择。这里产生的问题是将数字 {1, 1, 0} 分配给 H3 中的正交三元组，该正交三元组是通过选择 O 或更直接地选择 Sx2、Sy2、Sz2 指定的。当然，这是我们之前将数字 {1, 0, 0} 分配给这样的三元组问题的镜像，我们不需要单独考虑它。

然而，选择一个特定的O，同时选择可观测量Sx2、Sy2、Sz2，也就选择了物理空间中的三个正交射线，即通过固定一个坐标系±x、±y、±z（它定义了沿着哪个正交射线，自旋分量的平方要在物理空间中测量）。所以现在，通过选择可观察的 O，空间中的方向与 H3 中的方向存在直接联系：H3 中的正交性现在确实对应于物理空间中的正交性。这同样适用于 R3，如果为了给出 H3 的论证，我们考虑 R3。 R3 中的正交性现在对应于物理空间中的正交性。值得注意的是，即使我们坚持认为纯数学事实应该由物理解释来补充，这种对应关系并不是给出论证所必需的——因为我们之前已经看到了一个没有任何对应关系的例子。重点只是我们可以设计一个例子来实现对应。特别是，我们现在可以遵循 R3 中的证明，并一直想象一个位于物理空间中的系统，即自旋 1 粒子，在测量三个物理量时返回三个值，这些值与物理空间中的正交方向（即 v）直接相关。 (Sx2)、v(Sy2)、v(Sz2)，用于 x、y、z 的任意选择。然后 KS 证明表明，不可能（当然给定其前提）为所有这些任意选择分配自旋 1 粒子值。也就是说，KS 论证表明（给定前提）自旋为 1 的粒子不能同时拥有它在不同测量排列中显示的所有属性。

需要提及 KS 论证中已成为惯例的三个进一步特征：

(1) 显然，只要给出 R3 中包含的一个点，我们就可以明确指定 R3 中通过原点的任何射线。因此，KS 用单位球体 E 上的点来识别射线。KS 不需要引用某个点的具体坐标，因为它们的参数是“无坐标”的。然而，为了便于说明，有时我们会提到具体的点，然后 (a) 使用笛卡尔坐标来检查正交关系，以及 (b) 通过不在 E 上的点指定射线。（因此，例如，点的三元组 (0, 0, 1), (4, 1, 0), (1, –4, 0) 用于指定正交射线的三重。）两种用法均符合最近的文献（参见例如 Peres （1991）和克利夫顿（1993））。

（2）我们将值归属的约束（VC1）和（VC2）转化为对点着色的约束。我们可以在（VC1）下将点着色为白色（代表“1”）和黑色（代表“0”），或者在（VC2）下将点着色为白色（代表“0”）和黑色（代表“1”） ”）。无论哪种情况，约束都会转化为相同的着色问题。

(3)KS 通过图来说明射线的正交关系，该图被称为KS图。在这样的图中，每条射线（或指定射线的点）都由一个顶点表示。由直线连接的顶点表示正交射线。然后，着色问题转化为将图的顶点着色为白色或黑色的问题，使得连接的顶点不能同时为白色，并且三角形只有一个白色顶点。

3.4 最初的 KS 论证。证明草图。

KS 分两步进行。

(1) 在第一步（也是决定性的）步骤中，他们表明具有相反颜色的两条光线不能任意接近。他们首先表明，只有当 a0 和 a9 被角度 θ 分开且 0 ≤ θ ≤ sin−1 时，才能构建图 1 中描绘的图 Γ1（暂时我们忽略图中指定的颜色）。 (1/3)（证明）。

图1

图 1：着色不一致的十点 KS 图 Γ1。

现在考虑（归谬法）a0 和 a9 有不同的颜色。我们任意将a0涂成白色，将a9涂成黑色。然后，着色约束迫使我们对图的其余部分进行着色，如图 1 所示，但这要求 a5 和 a6 是正交的并且都是白色的——这是被禁止的。因此，比 sin−1(1/3) 更近的两个点不能具有不同的颜色。反之，不同颜色的两个点不可能比sin−1(1/3)更近。

(2) KS 现在按以下方式构造另一个相当复杂的 KS 图 Γ2。他们考虑了对于角度 θ=18° ＜ sin−1(1/3) 的 Γ1 的实现。现在，他们选择三个正交点 p0、q0、r0 以及它们之间的 Γ1 的空间联锁副本，使得 Γ1 的一个副本的点 a9 的每个实例都与下一个副本的 a0 的实例进行标识。以这种方式，五个联锁副本 Γ1 间隔在 p0 和 q0 之间，并且 a8 的所有五个实例都用 r0 标识（同样，五个这样的联锁副本间隔在 q0 和 r0 之间，用 p0 标识 a8 的所有副本，以及 p0 和 r0 之间，用 q0 标识 a8 的所有副本）。 Γ2 是可构造的，这直接由构造本身所证明。在 a0 的实例之间以角度 θ=18° 间隔开 Γ1 的五个副本，将间隔出 5x18° = 90° 的角度，这正是所需的。此外，从 Γ1 的一个副本到 p0 和 q0 之间的下一个副本相当于副本绕通过原点和 r0 的轴旋转 18°，这显然保留了点 a0 和 a9 之间的正交性。副本和 r0。

图2

图 2：117 点 KS 图 Γ2

（摘自 Kochen 和 Specker 1967 年，第 69 页；经印第安纳大学数学杂志许可）

然而，虽然 Γ2 是可构造的，但它并不是一致可着色的。从第一步我们知道，θ=18° 的 Γ1 副本要求点 a0 和 a9 具有相同的颜色。现在，由于 Γ1 的一个副本中的 a9 与下一个副本中的 a0 相同，因此第二个副本中的 a9 必须与第一个副本中的 a0 具有相同的颜色。事实上，通过重复这个论证，a0 的所有实例都必须具有相同的颜色。现在，p0、q0、r0 被点 a0 标识，因此它们必须是全白或全黑——这两者都与其中一个为白色的着色约束不一致。

如果我们从构建 Γ2 过程中使用的 15 个 Γ1 副本中减去那些相互识别的点，我们最终会得到 117 个不同的点。因此，KS 表明，一组 117 个是-否可观测量不能一致地根据 VC1（或等效的 VC2）分配值。

请注意，在 Γ1 的构造中，即形成 22 个互锁三元组的 10 个点的集合，除了 a9 之外的所有点都出现在多个三元组中。在γ2中，每个点都以多种三元为单位出现。在这里，非上下文性前提对于参数至关重要：我们假设一个任意点会在我们从一个正交三倍移动到下一个时保持其值1或0（即，从一个最大的兼容可观察值集中到另一个最大集合）。

3.5三维中的统计KS参数（Clifton）

回想一下KS的第一步，该步骤确定具有相反颜色的两个点不能任意接近。正是第一步载有争论的全部力量。贝尔以不同的方式建立了它，然后争辩说，在非秘密的HV解释点中，具有相反颜色的解释点必须任意接近。克利夫顿（Clifton）在结合贝尔和KS的想法的论点中利用了第一步。

图3

图3：8点KS-Clifton图γ3具有不一致的着色。

考虑图3中所示的KS图γ3显然是KS的γ1的一部分，但具有满足正交关系的八个点的额外混凝土分配（因此直接证明γ3是可构建的）。从我们以前的着色约束中（连接点不是白色，三角形的点完全具有一个白点），我们立即看到γ3只有最外面的点不是两个白色的（如图3所示，这都需要两个联合点是白色的 - 与约束相反）。此外，我们很容易计算两个最外部点之间的角度为cos -1（1/3）。[8]因此，我们得出的结论是，如果一个人想为所有八个点着色并想为其中一个外部染色，那么另一个必须是黑色。考虑到我们可以在R3中的任意两个点之间插入一个图表，这些图被恰好由角度cos -1（1/3）隔开，并将我们的问题从着色问题转换为KS的示例（约束VC2），我们以约束VC2'：

（vc2'）如果对于自旋1系统，则分配了一个旋转的特定方向x，则分配了一个x'，则任何其他方向x'，其远离x的任何方向x'必须由角度cos-1（1/3）为分配的值1，或在符号中：如果V（SX）= 0，则V（SX'）= 1。

到目前为止，该论点利用了原始的KS条件KS1和KS2。现在，我们还假设对价值分配的任何约束都将显示在测量统计中。尤其：

（3）如果prob [v（a）= a] = 1，而v（a）= a表示v（b）= b，则prob [v（b）= b] = 1。

尽管使用了统计数据，但这种推理与冯·诺伊曼的论点至关重要。冯·诺伊曼（Von Neumann）认为，值之间的代数关系应转移到测量值的统计数据中，因此，对这些统计数据的QM约束应作为其确切的镜像图像作为其确切的镜像图像，这使我们从统计约束中得出了价值约束（对于任意的统计约束）观察值）。相反，在这里，我们从任何统计推理中独立地得出一个值约束，然后得出结论，该约束应转移到测量统计中。[9]

现在，VC2'和统计条件（3）需要：如果prob [v（sx）= 0] = 1，则prob [v（sx'）= 1] = 1。但是，这与从QM得出的统计数据相矛盾，其中prob [v（sx）= 0] = 1。[10]实际上，v（sx'= 0）的概率为1/17。因此，在长期测试中，Spin-1颗粒的1/17将违反约束。

如果我们接受克利夫顿的统计推理，我们将有一个完全有效的KS论点，该论点在HV的QM解释与QM的预测之间建立了矛盾。克利夫顿（Clifton）也提出了一个稍微复杂的13个可观测值的集合，沿着相同的线屈服，统计矛盾为1/3。

克利夫顿的参数使用8（或13）可观察结果，固定其中一个值（SX）的值，并以QM预测为第二个（SX'）衍生出HV预测。因此，如果可以在QM系统肯定具有值V（SX）= 0的情况下产生状态，则可以通过经验测试预测。但是，在实验上解决这样的状态并非易事。因此，克利夫顿的论点取决于可能难以生产或隔离的状态。最近，发现了13个可观察到的构造，该构造允许与州无关的统计论点（Yu and Oh 2012）。

4。功能组成原理

KS定理的关键成分是对（2）中阐明的价值分配的约束：总和规则和产品规则。它们可以源自更一般的原理，称为功能组成原理（FUNC）。[11]原则交易是基于数学事实的，即，对于自我偶像操作员，在希尔伯特空间上操作和任意函数f：r→r（其中r是实数的集合），我们可以定义f（a）和证明它也是一个自动伴侣操作员（因此，我们写F（a））。如果我们进一步假设在那里的每个自我伴侣操作员对应于可观察到的QM，则可以这样制定原则：

func：让A成为与可观察的A相关的自动伴侣运算符，令F：r→r为任意函数，使得f（a）是另一个自动接合操作员，让|φ＞成为任意状态；然后f（a）与可观察的f（a）唯一关联：

v（f（a））|φ＞ = f（v（a））|φ＞

（我们在上面介绍了状态上标，以允许在系统中准备的值对特定量子状态的依赖性。）总和规则和产品规则是func [procip]的直接后果。函数本身不是QM的形式主义衍生的，但是IT的统计版本（称为Stat func）是[证明]：

Stat func：给定a，f，|φ＞，如func所定义的，因此，对于任意的实际数字B：

prob [v（f（a））|φ＞= b] = prob [f（v（a））|φ＞= b]

但是Stat Func不仅源自QM形式主义。它也来自Func [证明]。这可以看作是提供“ Func的合理性论点”（Redhead 1987：132）：STAT FUNC是正确的，就QM的数学而言。现在，如果func是真的，我们可以得出统计量，因此由于func而言，QM的数学的一部分。[12]

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