科亨-斯佩克定理（一）

一、简介

2. KS定理的背景

3. KS定理的陈述与证明

3.1 KS定理的陈述

3.2 四个维度的快速 KS 论证（Cabello 等人）

3.3 原始的 KS 论证。技术准备

3.4 最初的 KS 论证。证明草图

3.5 三维的统计 KS 论证（克利夫顿）

4. 函数式组合原则

5. 摆脱 KS 争论

5.1 没有一般价值确定性

5.2 否定价值现实主义

5.3 情境性

6. 实证检验问题

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

量子力学具有一个特殊的性质，即量子力学状态通常意味着对测量结果只有统计限制。自然得出的结论是，这些状态是量子系统的不完整描述。因此，QM 是不完整的，因为单个系统的典型 QM 状态描述可以用 HV 理论的更完整描述来补充。在系统的 HV 描述中，QM 概率将自然地解释为普通统计力学中出现的那种认知概率。这样的 HV 描述可能实际上没有用，但人们很容易认为它至少在原则上是可能的。然而，有两个强有力的定理表明这种描述受到严格的限制：鉴于某些至少表面上合理的前提，QM 不能由 HV 理论来补充。这两个定理中最著名的是贝尔定理，该定理指出，在给定局部性的前提下，HV 模型无法匹配 QM 的统计预测。反对 HV 理论的第二个重要的不可行定理是 Kochen 和 Specker (KS) 定理，该定理指出，给定非上下文性的前提（目前将进行解释），某些 QM 可观测量集根本不能一致地被赋值（甚至在出现了它们的统计分布问题）。

在详细了解 KS 定理的工作原理之前，我们必须澄清为什么它对科学哲学家如此重要。 HV 解释的明确前提（如下文所述）是价值确定性之一：

(VD) 为 QM 系统定义的所有可观察量始终具有确定的值。

（请注意，对于通常被视为 QM 的 HV 解释的玻姆力学，这种说法必须经过限定。） [1] VD 的动机是对实验结果的一个明显无害的假设，这反映在引用量子实验的习惯中作为“测量”，即这些实验揭示了独立​​于测量而存在的值。 （请注意，我们不需要在这里假设这些值是通过测量忠实地揭示的，而只是它们存在！）这提出了第二个看似无害的假设，即非上下文性：

(NC) 如果 QM 系统拥有一个属性（可观察值），那么它的实现与任何测量上下文无关，即与该值的最终测量方式无关。

当应用于可以在不同的不兼容测量中测量的特定属性时，NC 表示这些属性在这些不同的测量情况下是相同的。

现在，假设我们采用量子系统属性的通常关联，即是/否可观测量，以及系统希尔伯特空间上的投影算子。

(O) 量子系统的性质与系统希尔伯特空间上的投影算子之间存在一一对应关系

KS定理建立了VD+NC+O与QM之间的矛盾；因此，接受 QM 从逻辑上迫使我们放弃 VD、NC 或 O。

如果满足这些条件的 HV 理论是可行的，我们将对 QM 的统计特征有一个自然的解释，并且有一种优雅的方法来解决困扰所有 QM 解释者的臭名昭著的测量问题（参见量子力学的条目和关于量子力学的部分）有关详细信息，请参阅量子理论中的哲学问题条目中的测量问题）。 KS 定理表明，满足这些条件的最直接的 HV 理论并不是一种选择。 HV 程序只剩下违反这些条件中的一个或多个条件的选项；请参阅有关波姆力学和量子力学模态解释的条目。

2. KS定理的背景

在下文中，我们将假设您熟悉基本的 QM 概念，如“状态”、“可观察”、“值”及其数学代表“向量”、“（自伴随）运算符”和“特征值”[请参阅量子力学详情]。我们通常会在适当的希尔伯特空间上识别可观测量和代表它们的算子；如果需要区分运算符和可观察量，我们将运算符加下划线并用粗体书写。 （因此运算符 A 代表可观察的 A。）

本节阐述 KS 定理的历史和系统背景的一些要素。最重要的是，必须考虑冯·诺依曼（1932）的论证、格里森（1957）的定理以及对两者的批判性讨论以及贝尔（1966）后来的论证。冯·诺依曼 (Von Neumann) 在其 1932 年出版的著名著作《量子机械的数学原理》(Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik) 中，对为量子力学提供 HV 基础的可能性提出了质疑。他给出了一个可归结为以下内容的论点：考虑数学事实，如果 A 和 B 是自伴算子，则它们的任何实数线性组合（任何 C = αA + βB，其中 α、β 是任意实数） ) 也是一个自伴运算符。 QM 进一步规定：

如果 A 和 B（由自伴算子 A 和 B 表示）是系统上的可观测量，则同一系统上存在可观测量 C（由如前定义的自伴算子 C 表示）。

如果对于任何 QM 状态，A 和 B 的期望值由 ＜A＞ 和 ＜B＞ 给出，则 C 的期望值由 ＜C＞=α＜A＞ + β＜B＞ 给出。

现在如上所述考虑 A、B、C，并假设它们具有确定的值 v(A)、v(B)、v(C)。考虑一个“隐藏状态”V，它决定 v(A)、v(B)、v(C)。然后，我们可以从 V 中导出微不足道的“期望值”，它们只是拥有的值本身：＜A＞V = v(A)，依此类推。[2]当然，这些“期望值”通常不等于 QM 值：＜A＞V ≠ ＜A＞（我们确实会认为后者是不同隐藏状态 V 的前者的平均值！）。然而，冯·诺依曼要求＜A＞V 与 ＜A＞ 一样，符合 (2)。这自动意味着值本身必须符合与 (2) 平行的条件，即：

v(C) = αv(A) + βv(B)。

然而，这一般来说是不可能的。一个例子很容易说明（3）是如何被违反的，但由于它的简单性，它也表明了论证的不足。 （这个例子不是冯·诺依曼本人提出的，而是贝尔提出的！[3]）设 A = σx 且 B = σy，则算子 C = (σx + σy)/√2 对应于自旋分量沿平分 x 和 y 的方向。现在，所有自旋分量（在适当的单位中）仅可能具有±1的值，因此，HV支持者被迫将±1归于A、B、C作为值，从而作为“期望值”。但现在显然不能满足(3)，因为±1 ≠ (±1 + ±1)/√2。

这个例子说明了为什么冯·诺依曼的论点不能令人满意。对于兼容的可观测量，即根据 QM，在一种安排中可联合测量的可观测量，没有人质疑从 (2) 到 (3) 的转变。然而，上述 A、B、C 的选择使得它们中的任何两个都是不相容的，即不是共同可观察的。对于这些，我们不想要求任何 HV 解释来满足 (3)，而只需要 (2)。隐藏值一般不需要符合(3)，只需一系列测试中它们值的平均值必须符合(2)。冯·诺依曼论证的权威性来自于以下事实：对于 QM 状态，要求（1）和（2）是 QM 形式主义的结果​​，但这本身并不能证明将这些要求扩展到假设的隐藏状态。事实上，如果（3）不受限制地为真，那么在存在隐藏值的情况下，这可以很好地解释为什么（2）为真。冯·诺依曼显然认为 HV 支持者致力于这种解释，但这似乎是一个令人难以置信的限制。

KS 定理弥补了这一缺陷，因此加强了反对 HV 理论的理由，因为它假设 (3) 仅适用于全部相互兼容的可观测量集 {A, B, C}。该定理要求仅对于兼容的可观测量，假设 (3) 必须成立。

格里森定理（Gleason 1957）提供了导致 KS 定理的第二条独立思路。该定理指出，在维度大于或等于 3 的希尔伯特空间上，唯一可能的概率测度是测度 μ(Pα) = Tr(Pα W)，其中 Pα 是投影算子，W 是表征系统的实际状态，Tr是跟踪操作。[4] Pα 可以理解为代表是-否可观察量，即“生活”在这样的希尔伯特空间中的 QM 系统是否具有属性 α 的问题，并且每个可能的属性 α 都与向量 |α＞中唯一相关联。空间——因此，任务是明确地为空间中的所有向量分配概率。现在，QM 测度 μ 是连续的，因此格里森定理实际上证明了三维希尔伯特空间中所有可能属性的每个概率分配都必须是连续的，即必须将空间中的所有向量连续映射到区间 [0, 1]。另一方面，HV 理论（如果以 VD + NC 为特征）意味着我们可以说系统是否具有每个属性。这产生了一个简单的概率函数，它将所有 Pα 映射到 1 或 0，并且，假设值 1 和 0 都出现（这可以从将数字解释为概率得出），这个函数显然必须是不连续的（参见 Redhead 1987） ：28）。

格里森定理的证明极其复杂。然而，值得注意的是，格里森定理的这个推论可以通过比格里森证明中使用的方法简单得多的方法更直接地获得。 Bell (1982: 994, 1987: 164) 认为 J. M. Jauch（1963 年）引起了他对格里森定理的注意，并指出它意味着冯·诺依曼结果的强化，仅对通勤可观测量提出了可加性要求。然后贝尔继续以基本的方式证明了结果，没有使用格里森的证明（Bell 1966）。贝尔不知道的是，斯佩克已经得出了这个结果，在斯佩克 (1960) 中提到（但没有提出），作为元素几何论证。 [5] Kochen 和 Specker (1967) 提出了这一论点。贝尔的证明和科亨-斯佩克证明在 3 维希尔伯特空间中使用类似的结构，尽管它们在细节上有所不同。 Kochen 和 Specker 继续显式地构建了一组有限的投影，这些投影不能在 A 和 B 通勤时受到可加性要求 (3) 的约束而被分配值。尽管贝尔没有这样做，但人们可以很容易地从贝尔的构造中获得一组有限的可观测量，这些可观测量不能被分配受通勤可观测量的可加性约束约束的值（参见 Mermin 1993）。

在提出了他反对格里森定理中高压理论的论证变体后，贝尔继续批评它。他的策略与对抗冯·诺依曼的策略类似。贝尔指出，他自己反对两个相反值点任意接近的格里森式论证预先假定了非通勤可观测量值之间的非平凡关系，只有在给出非上下文性（NC）假设的情况下，这种关系才是合理的。他提出，作为对问题所在的分析，他自己的论点“默认假设可观察到的测量必须产生相同的值，独立于可能同时进行的其他测量”（1966：9）。与冯·诺依曼相反，格里森型论证导出了对值分配的限制，例如（3）仅适用于兼容可观察量的集合；但同一个可观察量仍然可以是不同交换集的成员，并且对于参数而言，重要的是可观察量在两个集合中被分配相同的值，即值分配对上下文不敏感。

3. KS定理的陈述与证明

3.1 KS定理的陈述

KS 定理的明确表述如下：

令 H 为维度 x ≥ 3 的 QM 状态向量的希尔伯特空间。H 上存在一组 M 可观测量，包含 y 个元素，因此以下两个假设是矛盾的：

(KS1) M 的所有 y 成员同时具有值​​，即明确映射到实数（对于可观察量 A、B、C、...，由 v(A)、v(B)、v(C)、... 指定） 。

(KS2) M 中所有可观测量的值符合以下约束：

(a) 如果 A、B、C 全部兼容且 C = A+B，则 v(C) = v(A)+v(B)；

(b) 如果A、B、C 全部相容且C = A·B，则v(C) = v(A)·v(B)。

该定理的假设 KS1 显然与 VD 等价。假设 KS2 (a) 和 (b) 在文献中分别称为求和规则和乘积规则。 （读者应该再次注意，与冯·诺依曼的隐含前提相反，这些规则仅与兼容可观测量的值相关。）两者都是称为函数组合原理（FUNC）的更深层次原理的结果，而该原理又是（以及其他假设）NC 的结果。 NC、FUNC、求和规则和乘积规则之间的联系将在第 4 节中明确说明。

KS 定理声称存在一个具有特定属性的集合 M（即 KS1 和 KS2 矛盾）[6]，并且针对 x 和 y 的不同选择，通过显式地呈现这样一个集合来进行证明。在原始 KS 证明中 x=3 且 y=117。最近，Peres (1991, 1995)（以及其他许多人）针对 x=3 和 y=33 给出了涉及较少可观测量的证明，Kernaghan (1994) 针对 x=4 和 y=20 以及 Cabello 等人给出了涉及较少可观测量的证明。 (1996) x=4 且 y=18。众所周知，KS 证明非常复杂，我们只会在 3.4 节中对其进行概述。佩雷斯证明以非常简单的方式充分证明了 KS 结果，而且，由于它在三个维度上运行，因此以直观易懂的方式；我们请读者参考佩雷斯（Peres，1995：197-99）。 Kernaghan 和 Cabello 等人的证明。每个都在四个维度上建立了矛盾。当然，这些结果比 KS 定理更弱（因为 3 维中的每个矛盾也是更高维中的矛盾，但反之则不然）。然而，这些其他证明非常简单且具有启发性。此外，可以证明（Pavičić et al. 2005）y=18 是 KS 定理成立的最小数，因此我们首先在 3.2 节中介绍 Cabello 及其同事的证明。最后，在第 3.5 节中，我们解释了 Clifton (1993) 的一个论证，其中 x=3 且 y=8，并且附加的统计假设产生了一个简单且有启发性的 KS 论证。

3.2 四个维度的快速 KS 论证（Cabello 等人）

一个特别简单的 KS 论证在四维希尔伯特空间 H4 中进行。我们将使用以下内容，这将在下一节中证明：

(1) 从KS2我们可以导出对投影算子赋值的约束，即对于每组投影算子P1、P2、P3、P4，对应于可观测Q的四个不同特征值q1、q2、q3、q4在 H4 上，以下成立：

(VC1′) v(P1) + v(P2) + v(P3) + v(P4) = 1，其中 v(Pi) = 1 或 0，i = 1, 2, 3, 4。

（(VC1′) 是 (VC1) 的变体，我们将在下一节中明确证明它。）这实际上意味着，H4 中的每组 4 条正交射线中，只有一条被分配为数字 1，其他为 0。

(2) 虽然定理中提到的希尔伯特空间为了适合 QM 必须是复数，但为了证明主张 KS1 和 KS2 的不一致，考虑一个相同维数的实希尔伯特空间就足够了。因此，我们考虑一个真实的希尔伯特空间 R4，而不是 H4，并将 VC1′ 转换为以下要求：在 R4 中的每组正交射线中，恰好有一个被分配数字 1，其他为 0。像文献中通常那样，我们将所有这就引出了下面的着色问题：在 R4 中的每组正交光线中，必须有一组必须被着色为白色，其他光线必须被着色为黑色。然而，这是不可能的，如下表所示（Cabello et al. 1996）：

0,0,

0,1 0,0,

0,1 1,−1,

1,−1 1,−1,

1,−1 0,0,

1,0 1,−1,

−1,1 1,1,

−1,1 1,1,

−1,1 1,1,

1,−1

0,0,

1,0 0,1,

0,0 1,−1,

−1,1 1,1,

1,1, 0,1,

0,0 1,1,

1,1 1,1,

1,−1 −1,1,

1,1 -1,1,

1,1

1,1,

0,0 1,0,

1,0 1,1,

0,0 1,0,

−1,0 1,0,

0,1 1,0,

0,−1 1,−1,

0,0 1,0,

1,0 1,0,

0,1

1,−1,

0,0 1,0,

−1,0 0,0,

1,1 0,1,

0,−1 1,0,

0,−1 0,1,

−1,0 0,0,

1,1 0,1,

0,−1 0,1,

−1,0

该表中有 4 x 9 = 36 个条目。这些条目取自一组 18 条光线，每条光线出现两次。很容易验证表中的每一列都代表一组四个正交射线。由于有 9 列，因此表中的条目数必须为奇数，颜色为白色。然而，由于每次将其中一条射线涂成白色时，每条射线都会出现两次，因此我们致力于将偶数个条目涂成白色。由此可见，白色的表条目总数必须是偶数，而不是奇数。因此，根据VC1'对这18条光线进行着色是不可能的。 （请注意，供将来参考，参数的第一部分——“奇数”的参数——仅使用 VC1′，而第二部分——“偶数”的参数——本质上依赖于 NC，假设在不同的列分配相同的编号！）

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。