阿罗定理（一）

1. 人民的意志？

2. Arrow 的框架

2.1 个人偏好

2.2 多个配置文件

2.3 社会福利职能

3. 不可能

3.1 这些条件……

3.2 …不兼容

4. 再次强调条件

4.1 不受限制的域

4.2 社会秩序

4.3 弱帕累托

4.4 非独裁

4.5 不相关替代方案的独立性

5. 可能性

5.1 域名限制

5.2 更多顺序信息

5.3 更多序数信息：分数和等级

5.4 基本信息

6. 重新解释

6.1 判断聚合

6.2 多标准决策

6.3 总体相似度

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 人民的意志？

社会秩序的一些问题可以从一个简单但重要的例子中看出。假设有 A、B、C 三个选项可供选择。有一组三人 1、2 和 3，他们的偏好决定了这一选择，并要求他们根据自己的喜好对备选方案进行从好到差的排序。他们的个人偏好顺序是：

ABC

BCA

出租车

也就是说，人1比B更喜欢A，比C更喜欢B，比C更喜欢A；与 C 相比，2 号人更喜欢 B，以此类推。现在，我们可能希望以某种方式对替代方案达成一个单一的“社会”排序，以反映所有三个人的偏好。然后，我们可以选择从社交角度来看最好的替代方案，或者，如果有并列第一名，我们可以选择与其他替代方案一样好的替代方案。假设，我们将备选方案一对一地进行投票：如果喜欢一种备选方案的选民多于喜欢另一种备选方案的选民，我们就认为该备选方案在社会上比另一种备选方案更受社会青睐。我们以这种方式确定 A 在社会上比 B 更受欢迎，因为两个选民（1 和 3）比 B 更喜欢 A，但只有一个（选民 2）比 A 更喜欢 B。同样，B 比 C 也有社会偏好。因此，我们可能期望发现 A 在社会上比 C 更受青睐。不过，根据这种推算，情况恰恰相反，因为有两个选民比 A 更喜欢 C。我们没有对选项的社会排序全部。我们有一个循环。从任何替代方案开始，转向社会首选的替代方案，然后从那里到下一个，您很快就会发现自己回到了起点。[1]

这就是“投票悖论”。由孔多塞侯爵（Marquis de Condorcet，1785）发现，它表明，当个人偏好汇总为社会偏好时，理性选择的可能性可能会丧失。投票者 1 在其个人排序的顶部有 A。通过选择 A，可以最大化该选民的偏好。通过选择最大值 B 或 C，也可以最大化 2 或 3 的偏好。不过，成对多数决策不会导致社会最大化。 A 不是一个，因为大多数人更喜欢其他东西，C。同样，B 和 C 也不是社会最大值。个人偏好有助于最大化；但是，由于它们循环，社会偏好却不会。

是否有其他聚合程序比成对多数决策更好，或者不同的聚合程序有自己的缺点吗？孔多塞、与他同时代的让·查尔斯·德·博尔达 (Jean Charles de Borda，1781)、后来的查尔斯·道奇森 (Charles Dodgson，1844) 和邓肯·布莱克 (Duncan Black，1948) 等人都通过研究各种程序并比较其特性来解决这个问题。箭从相反的方向攻击它，开辟了新天地。他从聚合程序可能需要满足的各种要求开始，询问哪些程序可以满足要求。他的要求之一是社会排序，它坚持认为聚合的结果始终是替代方案的排序，而不是循环。在第 2 节介绍了阿罗为研究社会选择而建立的技术框架之后，第 3.1 节列出了他施加的进一步条件。简而言之，这些是： 无限制域，它表明聚合过程必须能够处理任何个人偏好；弱帕累托，要求他们尊重一致的个人偏好；非独裁，排除了社会偏好始终与某人的严格偏好一致的程序；最后是不相关替代方案的独立性，它表示任何两个给定替代方案之间的社会比较仅取决于该对之间的个人偏好。第 3.2 节中所述的阿罗定理告诉我们，除了最简单的情况之外，没有任何聚合过程能够满足所有要求。

阿罗定理的主旨与启蒙运动的政治理想背道而驰。事实证明，孔多塞悖论确实不是一个孤立的异常现象，也不是某种特定投票方法的失败。相反，它体现了一个更广泛的问题，即将许多个人偏好收集到一起的想法。无论如何，从表面上看，在集体决策方面根本不可能存在所有人的共同意愿，以吸收构成社会的所有男女个人的品味和价值观。

有些人追随 Riker (1982)，用阿罗定理来表明民主，被认为是人民意志的政府，是一种不连贯的幻想。其他人则认为该定理的某些条件是不合理的，从他们的角度来看，集体选择的前景看起来要光明得多。在介绍定理本身之后，本文将讨论一些批判性讨论的要点。第 4 节考虑了 Arrow 条件的含义和范围。第 5 节讨论了当并非所有箭头条件都需要满足时，或者当对社会选择的性质做出不同的基本假设时可用的聚合程序。第 6 节总结了在阿罗的技术框架内研究除与他有关的问题之外的某些聚合问题的建议。

阿马蒂亚·森（Amartya Sen）曾对社会选择理论没有像诗歌那样具有在被理解之前就进行交流的和蔼可亲的特征表示遗憾（Sen 1986）。阿罗定理并不是特别难以理解，而且它的很多内容都很容易传达，即使不是用诗歌，至少也可以用简单的英语。然而，非正式的演讲只能到此为止，一旦停止，有时就会产生误解。为了清楚起见，本说明使用了最少的技术语言。

2. Arrow 的框架

正如阿罗所描述的，找到聚合过程的问题出现了，与一些给定的替代方案有关，在这些替代方案之间需要做出选择。这些替代方案的性质取决于正在研究的选择问题的类型。在选举理论中，替代者是可能作为候选人参加选举的人。在福利经济学中，它们是社会的不同状态，例如收入分配和劳动力需求。传统上，替代方案是使用字母表末尾的小写字母作为 x,y,z,…；所有这些选项的集合是 X。其品味和价值观将影响选择的人被假定为有限数量，并且将他们列举为 1,…,n。

那么，只有在一些替代方案和人员得到解决之后，阿罗的问题才会出现。正是为他们寻求聚合程序。但至关重要的是，这个问题是在收集有关人们在替代方案中的偏好的相关信息之前出现的，无论是通过民意调查还是其他一些引出或确定偏好的方法。更准确地说，阿罗定理回答的问题是：有哪些程序可以根据某些给定的人们的偏好来对某些给定的选择进行社会排序，无论这些偏好最终是什么？

与此同时，在实践中，我们有时必须选择一种社会决策程序，而不知道它将用于哪些替代方案和哪些人。例如，在一些公职人员的定期选举中，每次的候选人名单不同，选民群体也不同，无论候选人和选民是谁，我们都必须使用相同的投票方式来确定获胜者。不管有多少。此类程序不能直接用于在 Arrow 框架内进行研究，该框架具有固定的替代方案 X 集和人员 1,…,n。不过，阿罗定理仍然与他们相关。它告诉我们，即使选择和人是固定的，仍然没有“好的”方法来推导社会秩序。现在，如果没有一种好的方法可以针对当时参与的特定候选人和选民进行一次投票，那么大概也不存在可以重复使用的好方法，每次针对不同的候选人和选民。

2.1 个人偏好

阿罗认为，社会秩序（如果有的话）将源自人们偏好的信息。在他的框架中，这些信息只是序数。这是第一节中孔多塞投票悖论所涉及的一种信息，其中每个人将备选方案从好到坏进行排名，但除此之外没有任何关于任何人的偏好有多强烈，或者一个人的偏好如何的信息。与另一个人比较实力。在将聚合程序限制为序数信息时，阿罗认为：

将一个人的效用（他心目中的精神大小）与另一个人的效用相加似乎没有任何意义。 （箭1951[1963]：11）

他的观点是，即使人们确实有更强和更弱的偏好，即使他们偏好的强度可以以某种方式衡量并作为社会决策的基础，但序数信息才是最重要的，因为偏好是“人与人之间无法比较的” 。直观地讲，这意味着，没有说一个人必须对一件事的偏好程度有多强烈，才能弥补其他人的偏好恰恰相反的事实。阿罗认为没有理由向聚合程序提供有关偏好强度的信息，因为他认为它们无法将这些信息用于有意义的用途。

因此，在阿罗的框架中，个人的偏好由备选方案之间的二元关系 Ri 表示：xRiy 意味着个人 i 较弱地偏好备选方案 x 而不是备选方案 y。也就是说，要么我严格地偏爱 x 而不是 y，要么我对它们无所谓，发现它们同样好。每个单独的偏好关系 Ri 被假设为连接的（对于所有选择 x 和 y，xRiy 或 yRix，或两者）和传递的（对于所有 x、y 和 z，如果 xRiy 和 yRiz，则 xRiz）。对于阿罗来说，这些关系具有这些结构属性是它们所代表的偏好的“合理性”问题；欲了解更多讨论，请参阅偏好和经济学哲学的条目。连接的、传递的关系称为弱排序。它们是“弱者”，因为它们允许联系——在这方面，是冷漠的。

偏好配置文件是一组替代方案 X 的弱排序列表 ⟨R1,…,Rn⟩，每个人 1,…,n 一个。投票悖论中的三个个人排序列表是选项 A、B 和 C 以及人 1、2 和 3 的偏好概况的一个示例。概况是每个将被投票的人的个人偏好的表示。在备选方案中进行选择时进行协商。 Arrow 的聚合程序以配置文件的形式接收有关个人偏好的信息。通常写 ⟨Ri⟩ 比写 ⟨R1,…,Rn⟩ 更方便。其他简介写的是⟨R

*

我

⟩， 等等。

在将个人输入限制为备选方案的弱排序时，阿罗忽略了人们可以以序数分数或等级的形式输入有关其偏好的信息的可能性。分级输入可以“逃脱”Arrow 的不可能性，这在第 5.3 节中进行了解释。阿马蒂亚·森（Amartya Sen）扩展了阿罗的框架，不仅考虑了人们在成对的选择中偏好的顺序信息，还考虑了他们从每一种选择中获得的效用的基本信息。通过这种方式，他能够研究除阿罗关于个人偏好的可测量性和人际可比性的其他假设的后果。有关详细信息和参考资料，请参阅第 5.4 节和进入社会选择理论。

2.2 多个配置文件

Arrow 需要聚合程序来从多个个人资料中得出社会排序，代表每个人的实际偏好。在他的框架中，他们必须考虑许多资料，代表人们可能拥有的偏好。

根据阿罗的说法，偏好的多样性是我们评估选择的不同标准的结果。我们的偏好取决于我们在个人消费中的“品味”，但重要的是，对于社会选择，它们也取决于我们面向社会的“价值观”。现在，我们在某种程度上可以自由地拥有不同的品味、价值观和偏好；我们也可以自由地拥有这些彼此独立的东西。那么，任何个人都可以有一系列偏好，并且对于任何给定的人群和替代方案，都有许多可能的偏好配置文件。一份资料⟨Ri⟩代表了这些人在一个可能的世界中的选择中的偏好。另一个简介⟨R

*

我

⟩ 代表同一个人在相同的选择中的偏好，但在另一个可能的世界中，他们的品味和价值观不同。

Arrow 要求聚合程序处理许多配置文件的理由是认知性的。当他提出集体选择问题时，他寻求一种程序，以根据某些特定人的品味和价值观推导某些特定选择的社会秩序。然而，在了解这些品味和价值观到底是什么之前，我们需要寻求它。在阿罗对此事的解释中，要考虑的个人资料的多样性是一种衡量标准，即先验地了解或假设每个人的偏好有多少，也就是说，在这些偏好被引出之前。当了解较少时，可能需要从更多的资料中推导出社会秩序。当知道的越多时，它们的数量就会减少。

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