阿罗定理（二）

即使提前完全了解人们的实际偏好，使用许多配置文件还有其他原因。 Serge Kolm (1996) 认为，当我们证明某些给定程序的使用合理时，反事实偏好是相关的。敏感性分析用于管理输入错误的不确定性，并确定哪些信息在输出开启的意义上至关重要，也要求程序处理一系列输入。

由于许多配置文件正在发挥作用，因此聚合过程中可能存在“配置文件间”条件。它们同时协调多个配置文件的聚合结果。在阿罗定理中起着至关重要作用的条件之一是不相关替代方案的独立性。它要求，只要每个人对两个选项的偏好在一个配置文件中与在另一个配置文件中相同，就这些选项而言，两个配置文件中的集体排序也必须相同。即使人们的品味和价值观发生变化，社会秩序之间仍然存在如此多的相似性。第 3.1 节和第 4.5 节更详细地讨论了这一有争议的要求的含义，以及将其强加于汇总程序的合理程度。

Ian Little 在早期讨论（Arrow 1951）中提出了以下反对意见：

如果口味发生变化，我们可能会期望所有可想象的状态都有新的排序；但我们并不要求新旧排序之间的差异与已经发生的品味变化有任何特定的关系。可以说，我们拥有一个新世界和新秩序；我们并不要求世界的变化与秩序的变化之间存在对应关系（Little 1952：423-424）。

利特尔显然同意阿罗的观点，即如果人们的品味不同，可能会有不同的社会秩序，但与阿罗不同的是，他认为它不必以任何特殊方式与实际或当前的秩序相似。利特尔的反对意见被认为是支持艾布拉姆·伯格森（Abram Bergson，1938）和保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson，1947）对社会福利判断的“单一概况”方法，并且存在关于他们的方法还是阿罗的方法最好的争论。可以说，这场辩论中的问题不是——也不应该是——聚合程序是否必须处理多个偏好配置文件，而是是否应该对不同配置文件的输出进行任何协调。 Sen (1977) 以及 Fleurbaey 和 Mongin (2005) 等人都提出了这一点。如果他们是对的，那么利特尔的反对意见的实质内容就可以通过不施加任何配置文件间的约束来容纳在阿罗的多配置文件框架内。尽管如此，Arrow 的框架目前仍占主导地位。

2.3 社会福利职能

有时，在得出每个人的偏好之前，就已经了解了一定程度的信息。与已知信息相一致的个人资料代表了人们可能拥有的偏好，并且可能实际上拥有，而我们希望从这些“可接受的”个人资料中得出社会秩序。从技术上讲，在 Arrow 的框架中，域是一组可接受的配置文件，每个配置文件都涉及相同的选项 X 和人 1,…,n。社会福利函数 f 为某个域中的每个配置文件 ⟨Ri⟩ 分配 X 上的二元关系 f⟨Ri⟩。直观上，f 是一个聚合过程，f⟨Ri⟩ 代表它从 ⟨Ri⟩ 派生的社会偏好。阿罗的社会福利函数有时被称为“宪法”。

阿罗将进一步的要求纳入社会福利函数的概念中，即 f⟨Ri⟩ 始终是替代方案集 X 的弱排序。非正式地说，这意味着社会福利函数的输出必须始终是对备选方案从好到差的排序，或许还存在联系。它可能永远不会是一个循环。这一要求将出现在这里，就像在阿罗定理的其他当代表述中一样，作为社会福利函数可能需要满足的社会秩序的一个单独条件。参见第 3.1 节。这样，我们就可以在不改变框架任何基本部分的情况下考虑放弃这个条件的后果。参见第 4.2 节。

阿罗建立了一个至今仍被广泛遵守的惯例，即使用“R”来表示源自“⟨Ri⟩”的社会偏好。在他的符号中，用于推导它的社会福利函数是隐含的。用“f⟨Ri⟩”代替“R”的一个优点是，当我们在下一节中陈述不可能性定理的条件时，社会福利函数将在其中明确地体现出来。这清楚地表明，这些条件限制的是个人偏好和社会偏好之间的函数关系。将注意力集中在这一点上是 Arrow 方法的一个重要创新。

3. 不可能

概念框架现已到位，第 3.1 节列出了阿罗对社会福利函数施加的“条件”或约束，第 3.2 节阐述了定理本身。第四节更全面地解释了这些条件，讨论了阿罗给出的施加这些条件的理由，并考虑这样做是否合适。

阿罗的条件通常被称为公理，他的方法被认为是公理化的。这可能会被认为具有误导性。与逻辑或几何公理不同，阿罗的条件不应该表达或多或少不容置疑的真理，或者构成研究对象的隐含定义。阿罗本人认为它们是有问题的“价值判断”，“以非常普遍的形式表达了公民主权和理性的学说”（Arrow 1951 [1963]：31）。事实上，正如我们将在第 4 节中看到的那样，正如阿罗本人所认识到的那样，有时社会福利函数满足不可能性定理的所有条件甚至是不可取的。

阿罗重申了第二版《社会选择和个人价值观》（Arrow 1963）中的条件。它们以从那时起就已确定的规范形式出现在这里。

3.1 这些条件……

第一个要求是社会福利函数 f 可以处理任何个人偏好的任意组合：

无限制域 (U)：f 的域包括 X 的 n 个弱排序的每个列表 ⟨R1,…,Rn⟩。

条件 U 要求为每个“逻辑上可能”的个人偏好配置文件定义 f。第二个要求是，在每种情况下，f 都会产生替代方案的排序，可能带有联系：

社会排序（SO）：对于域中的任何轮廓⟨Ri⟩，f⟨Ri⟩是X的弱排序。

请注意，正如第 1 节中的投票悖论所示，如果至少有三个选项可供选择，并且三个人的偏好将被确定，那么这两个条件 U 和 SO 本身就已经排除了通过成对多数决定来聚合偏好考虑到。

为了陈述下一个要求，使用一些速记是很方便的。对于任何给定的单独排序 Ri，如果 xRiy 而不是 yRix，则令 Pi 为 Ri:xPiy 的严格或不对称部分。直观上，xPiy 意味着我确实更喜欢 x 而不是 y，因为我在它们之间并非无差异。类似地，令 P 为 f⟨Ri⟩ 的严格部分。阿罗定理的下一个条件是：

弱帕累托 (WP)：对于 f 域中的任何轮廓 ⟨Ri⟩，以及任何替代项 x 和 y，如果对于所有 i，xPiy，则 xPy。

WP 要求 f 尊重一致的严格偏好。也就是说，只要每个人都严格选择一种选择而不是另一种选择，f 得出的社会秩序就必须一致。成对多数决定满足 WP.[2]许多其他著名的投票方法（例如 Borda 计数）也满足它（参见第 5.2 节）。所以WP要求f在这个程度上与它们相似。

下一个条件确保社会偏好不完全基于任何一个人的偏好。如果对于任何替代项 x 和 y，并且对于 f 域中的任何轮廓 ⟨…,Rd,…⟩：如果 xPdy，则 xPy，则人 d 是 f 的独裁者。当独裁者严格地偏爱一件事而不是另一件事时，社会也会这样做。其他人的偏好仍然可以影响社会偏好。替代方案的“非福利”特征也可以如此，例如，就社会国家而言，人们平等的程度、他们的权利受到尊重等等。但只有当独裁者对两种选择漠不关心、对其中一种方式没有严格偏好时，所有这些才能产生影响。现在的条件很简单：

非独裁（D）：f没有独裁者。

为了说明这一点，选择某个人 d，可以是任何一个人，然后从域中的每个配置文件⟨Ri⟩ 中获取代表 d 偏好的排序 Rd。现在，在每种情况下，让社会偏好如此。换句话说，对于每个轮廓⟨Ri⟩，令f⟨Ri⟩为Rd。这种社会福利函数 f 的社会秩序完全基于其独裁者 d 的偏好。从直觉上看，这是不民主的，D 排除了这种可能性。

为了说明阿罗定理的最后一个条件，另一种速记法很方便。对于任何给定的关系 R 和任何集合 S，令 R|S 为 R 对 S 的限制。它是 R 的部分，仅涉及 S 的元素。[3] ⟨R1,…,Rn⟩ 对 S 的限制，写作 ⟨R1,…,Rn⟩|S，就是 ⟨R1|S,…,Rn|S⟩。以第 1 节中投票悖论的概况为例：

ABC

BCA

出租车

它对备选方案集{A,C}的限制是：

交流电

CA

CA

现在可以陈述剩下的条件：

不相关替代方案的独立性 (I)：对于 X 中的所有替代方案 x 和 y，以及所有轮廓 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R

*

我

⟩ 在 f 的定义域中，如果 ⟨Ri⟩|{x,y}=⟨R

*

我

⟩|{x,y}，则 f⟨Ri⟩|{x,y}=f⟨R

*

我

⟩|{x,y}。

我说每当两个轮廓 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R

*

我

⟩ 是相同的，就某些替代方案 x 和 y 而言，社会偏好关系 f⟨Ri⟩ 和 f⟨R 也必须相同

*

我

就 x 和 y 而言，⟩ 是相同的。例如，考虑配置文件：

巴克

出租车

BCA

它对{A,C}对的限制与投票悖论的轮廓的限制相同。假设社会福利函数的范围包括这两种情况。那么，为了满足 I，它必须从 A 和 C 中的每个人中得出相同的社会偏好。从这个意义上说，A 和 C 中的社会偏好“独立于”他们中的任何一个以及其余“这同样适用于域中的任何两个配置文件，以及从所有替代方案的集合 X = {A, B, C} 中获取的任何其他对。有些投票方法不能满足 I（参见第 5.2 节），但成对多数决策可以。要通过这种方法了解 x 是否比 y 更受社会偏好，您只需看看 x 和 y 之间的个人偏好即可。

3.2 …不兼容

阿罗发现，除了最简单的情况外，第 3.1 节的五个条件是不相容的。

阿罗定理：假设有两个以上的选择。那么没有社会福利函数 f 满足 U、SO、WP、D 和 I。

阿罗（Arrow，1951）给出了这个“不可能”定理的原始证明。请参阅 Kelly 1978、Campbell 和 Kelly 2002、Geanakoplos 2005 和 Gaertner 2009 的许多其他著作，了解变体和不同的证明。

4. 再次强调条件

单独来看，阿罗定理的条件似乎并不严格。显然，他们要求聚合程序只是为了无论每个人都喜欢什么（U和SO），它都会提出社会偏好排序，它将在某些方面类似于某些民主安排（WP和I），并且它将与某些不民主的安排在其他方面并不相似（D）。但总的来说，这些条件排除了产生社会偏好的所有可能性。现在是更仔细地考虑它们的时候了。

4.1 不受限制的域

阿罗的域条件 U 表示社会福利函数的域包括 X 的 n 个弱排序的每个列表。例如，假设备选方案是 A、B 和 C，人员是 1、2 和 3。是三个备选方案的 13 个弱排序，因此无限制域包含 A、B 和 C 的 2197 个（即 133）个弱排序列表。这些备选方案的社会福利函数 f 和如果满足 U，人们就会将这些“逻辑上可能的”偏好配置文件中的每一个映射到 A、B 和 C 之间的集体偏好上。

在阿罗的描述中，域中的不同配置文件代表了人们可能拥有的偏好。根据他的认知原理，强加 U 相当于假设他们可能有任何偏好：只有当他们的偏好可以是任何东西时，要求社会福利函数为一切做好准备才有意义。阿罗写道支持U：

如果我们不希望在指定我们的社会福利函数之前要求对个人品味有任何先验知识，则必须为每个逻辑上可能的个人排序集定义该函数。 （箭1951[1963]：24）

曾经有过误解。一些人认为，U 要求社会福利函数能够处理“任何旧的”替代方案。它没有做任何类似的事情。它所要求的是，社会福利函数能够在所有可供选择的选项中处理尽可能广泛的偏好，而这些选项是否恰好有很多或只有少数都不是重点：即使X中只有两种选择，社会福利函数也可以完全不受限制。维持对 U 的这种非正统理解的一种方法也许是，将阿罗的 x,y,z... 视为正确的替代方案——不是选举、社会国家或其他什么中的候选人——而是将其视为名称或标签，代表这些在不同的场合供选择。然后，可能会认为，可以附加标签的替代方案之间的多样性将产生聚合过程可能期望处理的配置文件之间的多样性。布莱克比等人。 (2006) 曾一度考虑过这个想法，但他们很快就把它搁置一边。文献中似乎没有对此进行探讨。

当然，没有什么可以阻止任何人以他们喜欢的任何方式重新解释阿罗的基本概念，包括替代方案 X。定理就是定理，无论给出什么解释。然而，重要的是要认识到，将 x,y,z,... 解释为标签并不标准，而且只能使阿罗定理所产生的许多社会选择理论变得毫无意义。 [4]

阿罗已经知道 U 是比不可能结果所需的更强的域条件。自由三重性质和链性质是在某些版本的阿罗定理中取代 U 的较弱条件（Campbell 和 Kelly 2002）。从逻辑的角度来看，这些版本信息更丰富，也更好。但是，u比其领域条件更简单，并且可能会发现更直观。请注意，较弱的域条件在概况之间仍然需要很多种类。箭头式不可能定理的典型证明要求该域相对于三个替代方案不受限制。在这种情况下，总是有一个偏好概况，就像第1节中投票悖论有关的偏好概况，成对多数决策从中得出了一个周期。

是否明智地将U或任何其他领域的条件强加于社会福利功能，这在很大程度上取决于所研究的选择问题的细节。有时，在所考虑的替代方案的性质上，以及确定他们之间的个人偏好的方式，施加您当然是不合适的。例如，如果替代方案是在某些人之间划分馅饼的不同方式，并且在选择社会福利功能之前已经知道这些人是自私的意识到需要一个合适的功能，它可以处理某些人宁愿自己比拥有更多的案例。由于永远不会出现的简单原因，因此永远不会要求社会福利功能处理此类案例。 Arrow提出了这一点，如下所示：

在福利经济学中经常假定或暗示，每个人都仅根据其下面的消费来重视不同的社会状态。如果是这种情况，我们只需要为所描述类型的那些单个订单组定义我们的社会福利功能；只能接受这种情况（Arrow 1951 [1963]：24）。

第5.1节考虑了当无需考虑所有“逻辑上可能”的个人偏好时开放的一些可能性。

4.2社会秩序

条件因此要求汇总个人偏好的结果始终是替代方案的弱排序，它们之间的二元关系既是传递和连接的。从直觉上讲，结果必须是替代方案的排名，从更好到更糟，也许与联系。在第1节中，永远不会有一个社会偏好的循环，例如投票悖论中成对多数派决定所获得的。

箭头没有说明是一个单独的条件。他将其建立在社会福利职能的概念中，认为如果要“反映理性的选择”，则必须是秩序的结果（Arrow 1951 [1963]：19）。 Buchanan（1954）批评第二版的社会选择和个人价值观中的Arrow将个人选择的特性转移到集体选择中，给出了不同的理由。他在那儿认为，传递性很重要，因为它可以确保集体选择独立于对他们所采取的道路（Arrow 1951 [1963]：120）。他没有进一步发展这个想法。

查尔斯·普罗特（Charles Plott，1973）阐述了一个合适的路径独立概念。假设我们通过他所说的鸿沟和征服来得出我们的选择：首先，我们将替代方案分为一些较小的集合，例如，因为这些设置更易于管理 - 我们从每个组中选择。然后，我们将我们从较小的集合中选择的所有替代方案聚集在一起，然后在其中再次选择。有很多方法可以进行初始划分，如果我们最终所提供的选择独立于我们从哪个部门开始（Plott 1973：1080），则认为选择程序是独立的。在Arrow的帐户中，通过最大化社会顺序r：从s中的选择C（S）从S中的选择C（s）中，社会选择是由某些给定的可行替代方案做出的。 XRY。不难看出R的不激进性会导致路径依赖性。再次考虑第1节投票的悖论。A在B上方严格偏爱，B高于C；但是，与传递性相反，c在A上方严格偏爱A。从分区开始{{a，b}，{b，c}}}，我们从{a，b，c}中的选择将是{a};但是，从{{a，c}，{b，c}}开始，我们将在{b}最后到达。

PLOTT的分析揭示了一个微妙的。因此，不需要全部强度来确保选择的路径独立性。社会偏好是一种（完整的）准传播关系，具有传递性的严格组成部分，但可能不是传递性的组成部分。 Sen（1969：定理V）证明了这种弱需求与Arrow所有其他条件的兼容性，但指出他提出的聚合功能通常不会被认为很有吸引力。它没有吸引力并非偶然。艾伦·吉巴德（Allan Gibbard）表明，他所说的是，艾莉（Allan）的唯一社会福利职能是通过允许社会冷漠的不突出性，同时保留艾罗（Arrow）的其他要求，就是他所说的利比特·否决权（Gibbard）（Gibbard 1969，2014）。在每种情况下，都有一组个人，寡头，因此，如果所有寡头都严格偏爱，社会总是更喜欢另一个替代品，而不是另一个替代品，但是如果那会违背任何寡头的偏爱，就永远不会这样做。[5]从箭头来说，独裁统治是一个自由的否决权。因此，通过将传递性要求限制为严格的社会偏好而放松，因此，尽管存在Arrow的定理，但还是可以接受的社会福利功能，这似乎并不是一种有前途的方法。

4.3弱小的帕累托

条件WP要求，每当每个人都严格地排名一个替代方案时，社会秩序就会同意。长期以来，这是福利经济学的基本假设，似乎完全没有争议。阿罗（Arrow）与赔偿有关，社区应该更喜欢一个社会状态，而不是每个人都会在每个人时都偏爱另一个社会状态，这是“不可争议的，除非可能是系统地否认人们想要的任何东西的哲学”（Arrow 1951 [1963]：34）。

但是WP并不像看起来那样无害，并且与您结合使用，它严重限制了社会选择的可能性。从森（Sen，1970）的演示中可以明显看出，这两个条件与每个人都有一个个人事务状态的想法相冲突，在与他人发生冲突的情况下，他的偏好必须占上风。同时，“心脏自由主义者”的这个重要问题具有其自身的文献。有关进一步的讨论，请参阅“入门社会选择理论”。

我们可能会认为WP是森所谓的痕迹：

福利主义：替代状态的相对善良的判断必须仅基于这些州各个公用事业的各个公用事业集合的越来越多的功能（Sen 1979：468）。

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