图表（一）

一、简介

2. 作为表示系统的图表

2.1 欧拉图

2.2 维恩图

2.3 皮尔士的推广

2.4 图表作为形式系统

2.5 重温欧拉圆

3. 图的空间属性的后果

3.1 图解表示和推理的限制

3.2 图表的功效

4. 几何图形系统

4.1 对公元前 4 世纪至公元 20 世纪欧几里得图的看法

4.2 曼德斯的精确/共精确区分和一般性问题

4.2.1 精确/共精确的区别

4.2.2 欧几里得构造的一般性问题

4.3 形式系统FG和Eu

5.图表与认知、应用

5.1 其他一些图表系统

5.2 图表作为心理表征

5.3 图表的认知作用

概括

参考书目

参考

相关文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

图表或图片可能属于人类最古老的交流形式之一。它们不仅用于表示，还可以用于执行某些类型的推理，因此在逻辑和数学中发挥着特殊的作用。然而，句子表示系统（例如一阶逻辑）在现代逻辑史上一直占据主导地位，而图表在很大程度上被视为仅具有边缘意义。图表通常被用作探索证明的启发式工具，但不作为证明的一部分。 [2]哲学家、逻辑学家、认知科学家和计算机科学家最近发起了一场关注不同类型表示系统的运动，并且许多研究特别集中在图解表示系统上。

为了挑战长期以来对图解表示的偏见，那些致力于多模态推理的人采取了不同类型的方法，我们可以将它们分为三个不同的组。研究的一个分支是心灵哲学和认知科学。由于语言形式的局限性对于那些一直致力于心理表征和推理的人们来说是显而易见的，一些哲学家和认知科学家热情地接受了多模态推理这一新方向，并探索了涉及非语言形式的人类推理和心理表征。 （Cummins 1996；Chandrasekaran 等人，1995）。关于图解推理的另一项研究表明，就逻辑状态而言，符号系统和图解系统之间没有本质区别。一些逻辑学家提出了案例研究来证明图解系统可以与符号系统一样健全和完整。此类结果直接驳斥了人们广泛持有的假设，即图表本质上具有误导性，并废除了对在证明中使用图表的理论反对意见（Shin 1994；Hammer 1995a）。计算机科学家已经采取了多模态推理的第三个方向，他们的兴趣比其他群体的兴趣更加实际。毫不奇怪，那些在计算机科学许多领域工作的人——例如知识表示、系统设计、可视化编程、GUI 设计等等——在“异构系统”这个新概念中发现了新的、令人兴奋的机会，并实现了图解化其研究领域的代表性。

我们对此条目有以下目标。首先，我们想让读者熟悉一些特定图表系统的细节。同时，该条目将通过探索图形表示和推理的表达能力和正确性的本质来解决理论问题。第二部分的案例研究不仅可以满足我们的第一个目标，而且可以为我们在第三部分中进行更理论和一般性的讨论提供坚实的材料。第四部分介绍了另一个案例研究，并根据第三部分的一般性讨论对其进行考虑。如上所述，图表主题引起了广泛关注，许多不同研究领域都取得了重要成果。因此，我们的第五部分旨在介绍不同领域采用的各种图解推理方法。

为了进一步讨论，我们需要澄清“图表”一词的两个相关但不同的用法：作为内部心理表征的图表和作为外部表征的图表。以下引用自 Chandrasekaran 等人。 (1995: p. xvii) 简洁地总结了内部与外部图表表示之间的区别：

外部图表表示：这些是由代理在外部世界的介质（纸张等）中构建的，但意味着代理的表示。

内部图表或图像：这些包括（有争议的）内部表示，这些表示被认为具有某些图形属性。

正如我们将在下面看到的，逻辑学家关注的是外部图解系统，心灵哲学家和认知科学家之间的意象争论主要是关于内部图解，而图解认知作用的研究涉及这两种形式。

2.图表作为表示系统

句子表示系统在现代逻辑史上的主导地位掩盖了有关图解系统的几个重要事实。其中之一是，在现代逻辑时代之前，有几种著名的图表系统可以作为启发式工具。欧拉圆、维恩图和刘易斯·卡罗尔平方已广泛用于某些类型的三段论推理（Euler 1768；Venn 1881；Carroll 1896）。另一个有趣但被忽视的故事是，现代符号逻辑的创始人查尔斯·皮尔斯（Charles Peirce）不仅修改了维恩图，还发明了一种图形系统“存在图”，它已被证明相当于谓词语言（Peirce 1933；Roberts） 1973；泽曼 1964）。

这些现有的图表启发了那些最近引起我们对多模态表示的关注的研究人员。参与该项目的逻辑学家以两种不同的方式探索了这个主题。首先，他们的兴趣完全集中在外部绘制的表征系统上，而不是内部的心理表征。其次，他们的目的是通过测试选择性表示系统的正确性和表达能力来建立系统的逻辑状态，而不是解释其启发力。如果一个系统无法证明其健全性，或者其表达能力过于有限，那么逻辑学家对该语言的兴趣就会消失（Sowa 1984；Shin 1994）。

在本节中，我们以欧拉图和维恩图的历史发展为案例，说明以下几个方面：首先，这个过程将向我们展示一个数学家对图解三段论推理的简单直觉如何逐渐发展成为一种形式化的表示系统。其次，我们将观察图解系统的扩展和修改的不同阶段的不同侧重点。第三，与此相关的是，这一历史发展说明了图表系统的表达能力和视觉清晰度之间有趣的张力和权衡。最重要的是，读者将见证逻辑学家解决是否存在任何内在原因可以为我们提供严格的证明的句子系统（而不是图解系统）的问题，以及他们成功地以否定的方式回答了这个问题。

因此，读者不会对 Barwise 和 Etchemendy 所得出的以下结论感到惊讶，Barwise 和 Etchemendy 是第一位对逻辑中的图解证明进行探究的逻辑学家，

使用文本的推理形式和使用图表的推理形式之间没有原则上的区别。人们可以拥有基于图表的严格的、逻辑上合理的（且完整的）形式系统。 （巴威斯和埃切曼迪 1995：214）

这种信念对于他们的创新计算机程序 Hyperproof 的诞生是必要的，该程序采用一阶语言和图表（在多模态系统中）来教授基本逻辑课程（Barwise & Etchemendy 1993 和 Barwise & Etchemendy 1994）。

2.1 欧拉图

18世纪数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)采用闭合曲线来说明三段论推理(Euler 1768)。他所表示的四种范畴句如图1所示。

四种情况：第一个标记为“All A are B”的标记为“A”的内圆完全位于标记为“B”的外圆内；第二个标记为“No A is B”有两个不重叠的圆圈，一个标记为“A”，另一个标记为“B”；第三个标记“Some A is B”有两个重叠的圆，重叠部分标记为“A”，一个圆的非重叠位标记为“B”；标记为“Some A is not B”的第四种情况有两个重叠的圆圈，其中一个的非重叠位标记为“A”，另一个的非重叠位标记为“B”

图 1：欧拉图

对于这两个全称陈述，系统以直观的方式采用圆之间的空间关系：如果标记为“A”的圆包含在标记为“B”的圆中，则该图表示所有A都是B的信息。如果有两个圆之间没有重叠部分，则该图传达了没有 A 是 B 的信息。

这种表示法受以下约定约束：[3]

域中的每个对象 x 都被分配一个唯一的位置，例如 l(x)，在平面中，使得 l(x) 在区域 R 中当且仅当 x 是区域 R 表示的集合的成员。

这种表示的强大之处在于，作为集合成员的对象很容易被概念化为落在集合内的对象，就像页面上的位置被认为落在绘制的圆圈内部或外部一样。该系统的强大之处还在于，不需要额外的约定来建立涉及多个圆的图表的含义：集合之间的关系通过代表它们的圆之间的相同关系来断言。 “所有 A 都是 B”和“没有 A 是 B”这两个普遍陈述的表述说明了该系统的优势。

转向两个存在主义陈述，这种清晰度没有得到保留。欧拉证明了“有些A是B”的图，说我们可以直观地推断出A中的某些东西也包含在B中，因为区域A的一部分包含在区域B中（Euler 1768：233）。显然，欧拉本人认为，在这种情况下以及在全称陈述的情况下都可以使用相同类型的区域之间的视觉包含关系。然而，欧拉的信念并不正确，这种表述引起了破坏性的歧义。在此图中，不仅圆 A 的一部分包含在区域 B 中（如欧拉所描述），而且以下情况也成立： (i) 圆 B 的一部分包含在区域 A 中 (ii) 圆 A 的一部分不包含在区域 A 中圆 B (iii) 圆 B 的一部分不包含在圆 A 中。也就是说，第三个图可以读作“有些 B 是 A”、“有些 A 不是 B”和“有些 B 不是 A”以及“有些 A 是 B”。为了避免这种歧义，我们需要建立更多的约定。[4]

欧拉自己的例子很好地说明了他的图表系统的优点和缺点。

示例 1. 所有 A 都是 B。所有 C 都是 A。因此，所有 C 都是 B。

三个同心圆，最里面的一个标记为“C”，下一个标记为“A”，最外面的一个标记为“B”

示例 2. 没有 A 是 B。所有 C 都是 B。因此，没有 C 是 A。

左边是一个标记为“A”的圆，右边是两个同心圆，内侧一个标记为“C”，外侧一个标记为“B”

在这两个例子中，读者都可以轻松推断出结论，这从视觉上说明了欧拉图的强大功能。然而，当存在主义陈述被表达时，事情变得更加复杂，如上所述。例如：

示例 3. 没有 A 是 B。有些 C 是 A。因此，有些 C 不是 B。

没有一个图可以代表这两个前提，因为集合 B 和 C 之间的关系无法在一个图中完全指定。相反，欧拉提出了以下三种可能的情况：

三种情况：情况1左侧有两个重叠的圆，重叠部分标记为“C”，第一个圆的非重叠部分标记为“A”；右侧单独的是第三个圆圈，标有“B”。情况2有三个圆，其中两个圆重叠，重叠部分标记为“C”，第一个圆的非重叠部分标记为“A”；在第二个圆的非重叠部分中是标记为“B”的第三个圆。情况3与情况2类似，只是第三个圆不完全在第二个圆的非重叠部分内；第三个圆在第二个圆之外的部分标记为“B”

欧拉声称可以从所有这些图中读出命题“某些 C 不是 B”。然而，前两种情况如何引导用户读出这个命题，在视觉上还远远不够清楚，因为用户可能从情况 1 中读出“没有 C 是 B”，从情况 2 中读出“所有 B 都是 C”。

因此，存在陈述的表示不仅模糊了欧拉圆的视觉清晰度，而且还给该系统带来了严重的解释问题。欧拉本人似乎也认识到了这个潜在的问题，并引入了一种新的句法手段“*”（代表非空），试图修复这个缺陷（1768：Letter 105）。

然而，当该系统无法在单个图表中表示某些兼容（即一致）的信息时，会发现更严重的缺点。例如，欧拉系统阻止我们绘制代表以下语句对的单个图表：（i）“所有 A 都是 B”和“没有 A 是 B”（如果 A 是空集，则它们是一致的）。 (ii) “所有 A 都是 B”和“所有 B 都是 A”（当 A = B 时一致）。 (iii)“一些A是B”和“所有A都是B”。 （假设我们为前一个命题画了一个欧拉图，并尝试向这个现有的图添加一个新的兼容信息，即后者。）这个缺点与维恩对他自己的图解系统的动机密切相关（参见第 3.1 节）欧拉系统的其他缺点）。

2.2 维恩图

维恩对欧拉圆的批评总结为以下段落：

这个[欧拉图]以及所有类似方案的弱点在于，它们仅严格地说明了类之间的实际关系，而不是我们可能拥有或可能拥有的对这些关系的不完全了解。希望通过命题的方式来传达。 （维恩 1881：510）

由于其严格性，欧拉系统有时无法在单个图表中表示一致的信息，如上所示。除了这种表达限制之外，由于平面图形的拓扑限制，欧拉系统在非空集方面还受到其他类型的表达限制（参见第 3.1 节）。

维恩的新系统（1881）就是为了克服这些表达限制，以便可以表示部分信息。解决方案是他的“主图”想法。主图表示多个集合之间所有可能的集合论关系，而不对它们做出任何存在性承诺。例如，图2显示了A组和B组的主图。

两个重叠的圆圈，第一个标记为“A”，第二个标记为“B”

图 2：维恩初级图

根据维恩的系统，该图没有传达有关这两个集合之间关系的任何具体信息。这是欧拉图和维恩图之间的主要区别。

对于普遍陈述的表示，与欧拉图的视觉上清晰的空间包含关系不同，维恩的解决方案是“将它们[适当的区域]遮盖起来”（Venn 1881：122）。通过使用这种句法手段，我们获得了通用语句的图表，如图 3 所示。

两个维恩图。第一个标题为“所有 A 都是 B”，由两个重叠的圆圈组成，标记为“A”和“B”，A 与 B 不重叠的部分用阴影表示。第二个标题为“No A is B”，也由两个重叠的圆圈组成，标记为“A”和“B”，两个圆圈的重叠部分带有阴影。

图 3：维恩阴影

维恩对阴影的选择可能并不是绝对任意的，因为阴影可以被解释为集合空性的可视化。然而，应该指出的是，阴影是欧拉没有使用的新句法手段。此修订版为系统提供了灵活性，以便可以在单个图表中表示某些兼容的信息。下面，左图结合了“所有A都是B”和“没有A是B”这两条信息，直观地传达了“什么都不是A”的信息。右图表示“所有 A 都是 B”和“所有 B 都是 A”，清楚地表明 A 与 B 相同：

两个维恩图：第一个有两个重叠的圆圈，标记为“A”和“B”；圆圈 A 是阴影的。第二个也是两个重叠的圆圈，标记为“A”和“B”，两个圆圈除了重叠的地方外都有阴影

事实上，使用主图还可以避免下面第 3 节中讨论的其他一些表达性问题（与图对象的空间属性有关）。令人惊讶的是，维恩对存在陈述的表示保持沉默，这是欧拉图的另一个困难。我们只能想象维恩可能引入了另一种代表存在承诺的句法对象。这就是查尔斯·皮尔斯大约二十年后所做的事情。

2.3 皮尔士的推广

皮尔斯指出，维恩的系统无法表示以下类型的信息：存在陈述、析取信息、概率和关系。皮尔斯的目的是扩展维恩系统对于前两种命题（即存在命题和选言命题）的表达能力。本次扩展是通过以下三个设备完成的。 (i) 将代表空虚的维恩阴影替换为新符号“o”。 (ii) 引入符号“x”表示存在主义导入。 (iii) 对于析取信息，引入连接“o”和“x”符号的线性符号“-”。

例如，图 4 表示“所有 A 都是 B 或某些 A 是 B”这样的陈述，欧拉系统和维恩系统都无法在单个图表中表示。

两个重叠的圆圈标记为“A”和“B”；重叠内部是标签“x”，圆 A 的非重叠位内部是标签“o”；一条线将“x”连接到“o”

图 4：皮尔斯图

皮尔士用符号“o”代替维恩的空性阴影的原因似乎很明显：将阴影或阴影与“x”连接起来以表示析取信息并不容易。通过这种方式，皮尔士增加了系统的表达能力，但这种改变并非没有代价。

例如，下图表示命题“要么所有 A 都是 B，部分 A 是 B，或者没有 A 是 B，部分 B 不是 A”：

两个重叠的圆圈标记为“A”和“B”；首先，圆 A 的非重叠部分内部有一个“o”，通过线连接到重叠内部的“o”；其次，在圆A的非重叠部分中还有另一个“o”，通过线连接到圆“B”的非重叠部分中的“x”；两个圆的重叠部分中的第三个是由线连接的“x”和“o”；第四个重叠部分中的“x”通过线连接到圆 B 的非重叠部分中的“x”。

阅读该图不仅需要阅读圆圈（如欧拉图）或阴影（如维恩图）之间的视觉包含，还需要额外的约定来阅读符号“o”、“x”和线条的组合。皮尔士的新约定增加了单个图表的表达能力，但其约定的任意性和更混乱的表示（例如上图）牺牲了欧拉原始系统所享有的视觉清晰度。在这一点上，皮尔士本人承认，“对于意义而言，表达非常复杂”（Peirce 1933：4.365）。因此，当皮尔士的修订完成时，欧拉关于可视化的大部分原始想法都丢失了，除了使用几何对象（圆）来表示（可能是空的）集合之外。

皮尔士对图表研究的另一项重要贡献始于以下评论：

这里使用的“规则”是指我们所说的代数“规则”。也就是说，作为严格定义条件下的许可。 （皮尔斯 1933：4.361）

皮尔士可能是第一个讨论非句子表示系统中的转换规则的人。就像代数规则告诉我们哪些符号变换是允许的、哪些不允许一样，图表操作的规则也应该如此。皮尔斯的六项规则中有一些需要进一步澄清，结果证明是不完整的——这是皮尔斯本人预料到的问题。然而，更重要的是，皮尔士没有任何理论工具——语法和语义之间的明确区别——来说服读者每条规则都是正确的，或者确定是否需要更多规则。也就是说，他的重要直觉（图表可能存在转换规则）仍然有待证明。

2.4 图表作为形式系统

Shin（1994）从两个方向跟进了皮尔斯的工作。一是改进皮尔士版本的维恩图，二是证明这个修订系统的健全性和完整性。

Shin 的作品改变了皮尔斯对维恩图的修改，以实现表达能力的增强，而不会严重损失视觉清晰度。这一修订分两个阶段进行：（i）维恩-I：保留维恩的阴影（代表空性）、皮尔士的“x”（代表存在主义导入）和皮尔斯“x”之间的连接线（代表析取信息）。 (ii) Venn-II：该系统被证明在逻辑上与一元谓词逻辑等效，除了新引入了图之间的连接线以显示析取信息之外，该系统与 Venn-I 相同。

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