图表（二）

回到欧拉的一个例子，我们会清楚地看到这些不同版本之间的对比：

示例 3. 没有 A 是 B。有些 C 是 A。因此，有些 C 不是 B。

欧拉承认无法绘制单个欧拉图来表示前提，但必须绘制三种可能的情况。维恩的系统对存在主义陈述保持沉默。现在，Peirce 和 Shin 的系统在一个图表中表示这两个前提，如下所示：

两张图均由三个重叠的圆圈组成，标记为“A”、“B”和“C”。第一个图，标题为“Peirce”，在所有三个圆的重叠部分中都有一个“x”，该“x”与仅在圆 A 和 C 的重叠部分中的“x”相连；它在所有三个圆圈的重叠部分中也有一个“o”，并且在仅圆圈 A 和 B 的重叠部分中也有一个“o”。第二个图，标题为“Shin”，在所有三个圆圈的重叠部分中都有一个“x” ' 连接到仅圆 A 和 C 重叠处的 'x'； A 和 B 的重叠部分用阴影表示。

在 Shin 的图表中，与 Peirce 的“o”相反，Venn 的空性阴影约定比在 Peirce 的图表中更自然地引导读者得出“某些 C 不是 B”的推论。

然而，维恩-I 不能表达普遍陈述之间或普遍陈述与存在陈述之间的析取信息。 Venn-II 保留了 Venn-I 的表达能力，允许用线连接图表。上面的 Peirce 令人困惑的图相当于下面的 Venn-II 图：

由一条线连接的两个矩形，每个矩形包含两个重叠的圆圈；在第一个矩形中，两个圆的重叠部分包含“x”，并且第一个圆的非重叠部分带有阴影；在第二个矩形中，两个圆的重叠部分带有阴影，“x”位于第二个圆的非重叠部分

除了这个修订之外，Shin（1994）将这两个系统分别作为一个标准的形式表示系统，配备了自己的语法和语义。语法告诉我们哪些图表是可接受的，即哪些图表格式良好，以及每个系统中允许哪些操作。语义定义了图表之间的逻辑结果。使用这些工具，可以证明系统是健全且完整的，就像某些符号逻辑一样。

这种方法对表示系统的一些假设提出了根本性的挑战。自现代逻辑发展以来，语法、语义、推理、逻辑结果、有效性和完整性等重要概念仅应用于句子表示系统。然而，这些都不是这些传统符号逻辑所固有的。对于任何表示系统，无论是句子的还是图解的，我们都可以讨论两个层面，句法层面和语义层面。推理规则告诉我们如何将给定的单位（无论是符号的还是图表的）操纵为另一个单位。逻辑结果的定义也不受任何特定形式的表示系统的影响。同样的论点也适用于合理性和完整性证明。当一个系统被证明是健全的时，我们应该能够在证明中采用它。事实上，当前的许多研究都在探索图表在自动定理证明中的使用（参见 Barker-Plummer & Bailin 1997；以及 Jamnik 等人 1999）。

2.5 重温欧拉圆

有趣且重要的是，我们注意到从欧拉圆到 Shin 系统的逐渐变化有一个共同的主题：增加系统的表达能力和逻辑能力，使其健全、完整且在逻辑上等同于一元谓词逻辑。 。从欧拉图到维恩图的主要修订，引入了初级图，使我们能够表示有关集合之间关系的部分知识。从维恩图到皮尔士图的扩展是为了更有效地表示存在性信息和析取信息。

维恩和皮尔斯都采用了相同的解决方案来实现这些改进：引入新的句法对象，即维恩的阴影，皮尔斯的“x”、“o”和线条。然而，从消极的一面来看，这些修订后的系统会损失视觉清晰度，如上所示，这主要是因为引入了更多任意的约定。从 Peirce 图到 Shin 图的修改集中于恢复视觉清晰度，但不损失表现力。

Hammer 和 Shin 在这些修改中采取了不同的路径：恢复欧拉圆与集合之间的同态关系——圆之间的包含表示集合之间的子集关系，区域不重叠表示不相交关系——同时，采用默认情况下维恩的主图。另一方面，这个修改后的欧拉系统并不是一个自给自足的三段论推理工具，因为它不能表示存在主义陈述。有关此修订系统的更多详细信息，请参阅（Hammer & Shin 1998）。

这个案例研究为图解推理的进一步研究提出了一个有趣的问题。纵观欧拉图的不同发展，增加其表达力和增强其视觉清晰度似乎是相辅相成的。根据目的，我们需要优先考虑其中之一。 Hammer 和 Shin 的替代系统为其他高效的非句子表征系统的开发提供了一个简单的模型，这个话题在计算机科学和认知科学中受到越来越多的关注。

3. 图的空间属性的后果

虽然通常可以为图表提供与公式相同的逻辑状态（如上所述），但图表和传统的线性证明演算之间仍然存在重要差异（这可能会对系统的正确性产生影响）。关于图表需要注意的一个重要点（参见 Russell 1923）是图表中对象之间的空间关系可以用来表示其他域中对象之间的关系。然而，顺序语言（例如符号逻辑、自然语言）仅使用串联关系来表示对象之间的关系。在图的情况下，空间关系的特殊表示使用是直接和直观的，如上面欧拉图的发展所示，但也有其危险——正如我们将讨论的。空间约束是图表系统所特有的，预计将成为其优点和缺点的重要来源。关于人类视觉信息处理能力和定性空间推理技能的心理考虑，也对图表推理的有效性产生影响，但我们不会在这里对其进行调查。

图表的一个特殊显着特征是，由于它们使用平面作为表示媒介，因此它们遵循某些“经济”或“内在”约束。这个想法是，句子语言基于本质上是连续的声音信号，因此必须具有补偿复杂的语法才能表达某些关系，而图表是二维的，能够在没有声音干预的情况下显示某些关系。复杂的语法（Stenning & Lemon 2001）。图表利用了这种可能性——使用空间关系来表示其他关系。问题是；空间关系和对象能够如何很好地表示其他（可能更抽象）对象和关系？

图表的逻辑推理通常是因为它们描述了所有可能的情况模型，直到图的拓扑等效性（当然，这取决于使用的特定图形系统）。单个图通常是一类情况的抽象，一旦构建了合适的图，就可以简单地从表示形式中读取推论而无需进行任何进一步的操作。在某些示意系统（例如，欧拉圆圈）中，通过正确构造图并读取信息来进行推断。在这些情况下，在符号逻辑中使用推理规则的复杂性是正确绘制特定图表的问题。[5]例如，欧拉圆圈图冒险使用平面区域之间拓扑关系捕获集合之间的关系，以使其描述某些可能集合的理论语句可以是真实的方式。这有两个重要的后果：（1）如果不能绘制某个图表，则必须不可能（称为“自矛盾”），并且（2）如果必须绘制图表对象之间的一定关系，则应可以将关系推断为逻辑上有效。 （请参阅第2节中的众多示例。）这种现象通常被称为“自由骑行”（Barwise＆Shimojima 1995）。因此，这种图解推理的样式取决于图表的特定表示使用，即它们代表模型类。如果特定类别的模型无法用图解系统表示，则不会在推断系统中考虑这些情况，并且可能会提出错误的推论。这一事实使我们现在将探讨的示意系统的代表性充分，受其空间性质的限制，至关重要。

3.1图表表示和推理的限制

空间关系在平面中的代表性使用会以某些重要方式限制图形表示，因此用图表限制了图表的推理。特别是，有拓扑和几何形式（让我们将它们作为“空间”）的图形对象和关系限制为限制图形系统的表达能力。例如，在图理论中，众所周知，某些简单的结构无法在平面中绘制。例如，图k5是由5个节点组成的图，每个节点由弧线连接到另一个节点。该图是非平面的，这意味着没有至少两个弧形交叉就无法绘制它。这只是限制图形系统表达能力的可能图表的限制。现在，由于图解推理可能通过列举所有可能的情况模型而发生，因此这种代表性不足（一种不完整）会导致许多图表系统不正确，如果它们用于逻辑推理（例如，请参见Englebretsen 1992在Lemon＆＆＆＆＆＆ Pratt 1998）。

也许最简单的例子是由于柠檬和普拉特[6]（例如，参见1997）。考虑欧拉圆圈 - 平面的凸区域表示集合，区域的重叠表示相应集的非空交叉点。凸形拓扑的结果称为Helly定理国家（对于两个维度的情况），如果4个凸区域的每个三重三倍都有非空交集，那么所有四个区域都必须具有非空交叉路口。

要了解这一点的后果，请考虑以下问题：

示例4。使用Euler圈，表示以下前提：

a∩b∩c≠∅

b∩c∩d≠∅

c∩d∩a≠∅

请注意，就设定理论而言，只有这些前提造成的琐碎后果。然而，诸如图5之类的前提的欧拉图导致了不正确的结论：a bb∩c c∩d≠∅（由于图中心的四倍体重叠区）：

四个重叠的圆圈标记为“ A”，“ B”，“ C”和“ D”

图5：Euler的圈子表示，展示了Helly定理

换句话说，欧拉圆圈的用户被迫[7]表示集合之间的关系，这在逻辑上是不需要的。这意味着系统在逻辑上可能无法表示的情况，如果用户依靠系统进行推理，则用户会做出错误的推论。更一般而言，可以为许多不同类型的图形系统生成这种类型的结果，具体取决于它们在表示中使用的特定空间关系和对象，这是一个正在进行的研究程序。

例如，使用非凸区区域（例如“斑点”而不是圆圈）导致类似的问题，仅涉及非平面图代替Helly的定理。一个类似的结果涉及三段论Englebretsen 1992的线性图，其中线用于表示集合，点表示个人，点线相交表示集合成员，线路的交点代表集合交流。同样，平面限制限制了系统的表达能力，并导致不正确的推论。

Atsushi Shimojima的“约束假设”也许最能总结所有这些：

表示是世界上的对象，因此他们遵守某些结构性约束，这些结构约束。不同表示模式的推论潜力的差异主要归因于不同方式，在这种方式中，这些结构约束在表示形式的限制中匹配表示的代表目标（Shimojima 1996a，1999）。

3.2图的功效

如上所述，对图表的大部分兴趣是由于声称它们比传统的某些类型的任务更“有效”的说法“有效”。当然，例如，地图比对景观的口头描述更大的导航帮助。但是，尽管通过使用图可以获得心理上的优势，但它们（就像在欧拉圈子的情况下一样）通常是抽象对象和关系的表示。一旦一个纯粹的直观概念，就可以根据语言的标准形式属性来检查有关图解系统“疗效”的非心理主张（Lemon等，1999）。特别是，许多示意系统是自,，不正确且不完整的，并且与图表的解释复杂性是NP-HARD。相比之下，大多数能够表达不一致之处的句子逻辑是完整而正确的[8]。

另一方面，无法代表矛盾可以为我们提供有关图形表示本质的有趣见解。如果一种语言的核心目标是代表世界或事务状态，那么代表矛盾或重言术就会受到质疑。矛盾和重言术都不是世界的一部分。我们如何画图片或拍照，即“下雨而不下雨”的矛盾？析取信息的图片“要么下雨或不下雨”怎么样？现在，我们似乎更接近Wittgenstein的经典语言理论（Wittgenstein 1921）。

4。几何图中的示意系统

数学家已经广泛使用并继续使用图表。数学概念和证据的交流（在教科书，黑板上）并非统一。数字和图片很常见。但是，与普遍的逻辑概念本质上是句子，通常不认为它们在严格的数学推理中起着作用。他们的使用被限于增强对证明的理解。他们不认为它们会构成证据本身的任何部分。

通过对欧几里得方法的标准评估在元素中的标准评估可以很好地说明态度。在没有数学上的主题中，图表比文本中的基本几何形状更为突出。从某种意义上说，对主题的证明似乎是关于出现的三角形和圆形图的图表。元素的几何证明尤其如此。欧几里得的图不仅是说明性的。他的一些推论步骤取决于适当构造的图。在标准故事中，这些步骤表明了Euclid的证据中的差距。他们展示了欧几里得如何公理地进行几何形状的项目。

肯·曼德斯（Ken Manders）着手以他的开创性作品“欧几里得图”（2008 [1995]）爆炸了这个故事。他对欧几里得的示意证明方法的分析表明，欧几里得以受控的，系统的方式采用图表。因此，它质疑对元素严格的常见，负面评估。此外，Manders分析的细节表明，可以将文本的证据理解为遵守正式的图表逻辑。随后，通过旨在表征这种逻辑的形式图形系统的开发来证实这一点。其中的第一个是FG（米勒2007年），其次是欧盟（Mumma 2010）。

本节致力于阐明Manders的分析以及从中出现的正式系统。在对几个世纪以来如何看待欧几里得的图表的简短调查后，曼德斯在几何证明中的作用。随后随后，对系统FG和欧盟如何用形式术语呈现这张图片的描述并表征了欧几里得图的逻辑。

4.1关于公元前4世纪至20世纪欧几里得图的观点

这些元素的基本几何形状是从古希腊诞生到19世纪的数学基础。因此，关心数学本质的哲学家发现自己有义务对文本的示意图进行评论。一个核心问题，即使不是中心问题，是普遍问题。带有欧几里得证明的图表提供了一个单一的实例化，以证明证明是关于几何形状的类型。然而，在图中看到的属性被视为保留给定类型的所有配置。从特定到将军的跳跃是什么合理的？

作为插图，请考虑本元素第一本书的命题16的证明。

命题是：

在任何三角形中，如果产生了一个侧面，则外部角度大于内部和相反角度。

欧几里得的证明是：

具有BC段的三角形ABC延伸到点D和与段AC相交的线BF

让ABC为三角形，让BC的一侧生产到D；

我说角度ACD大于内部和相对角度BAC。

让AC在E [i，10]处分为一分为二，然后以直线直线连接并生产到F；

让EF等于[i，3]，让FC连接。

然后，由于AE等于EC，并且等于EF，因此两个侧AE，EB分别等于两侧CE，EF EF；角度AEB等于角度FEC [i，15]。

因此，碱基AB等于碱基FC，三角abe等于三角形CFE [i，4]；因此，角度BAE等于角度ECF（也是角度ACF）；

但是角度ACD大于角度ACF。

因此，角度ACD大于BAE。

证据似乎是指证明所给出的图表的各个部分。然而，证明并不是要建立图表中三角形的东西，而是关于所有三角形的东西。因此，该图以某种方式表示所有三角形。

亚里士多德在书A，《后验分析》第10章中对图表作为表示的作用：

地理表的基础在他得出的特定线上没有结论是他所描述的，但是[指]数字所示。 （翻译是由T. Heath撰写的，在Euclid 1956：I，第119页中发现）

亚里士多德在通过中没有面对地理表如何使用图表来说明其说明的问题的问题。几个世纪后，普罗普鲁斯（Proclus）在对元素的评论中做到了。 Proclus断言，从特定实例传递到普遍结论是合理的，因为几何图形

…使用图表中列出的对象不是这些特定的图形，而是像类似于其他类型的对象。它的大小并不是我面前的角度分配的大小，而是直线，仅此而已……假设给定的角度是正确的角度……如果我不使用它的正确性并仅考虑它的直发性特征，该命题将同样适用于具有直线侧的所有角度。 （关于欧几里得元素的第一本书的评论，《凌晨》 1970：207））））

在几何形状中的图表仍然是近代早期的问题。 17和18世纪的主要哲学人物在其上是高级立场。莱布尼兹（Leibniz）断言，预期现代观点，

…不是数字为几何图形提供了证明，尽管展览的风格可能会让您这样做。演示的力量独立于绘制的图形，这仅是为了促进我们意义的知识，并确定注意力；正是普遍的命题，即已经证明的定义，公理和定理，是推理的，尽管数字不在，但可以维持它。 （1704新论文：403）

在他的人类知识原则的介绍（1710，第16节）中，伯克利重申了13个世纪后普罗普鲁斯对普遍性问题的看法。尽管在通过有关三角形的演示进行演示时，总是有一个特定的三角形“在观察”中，但“最少提及”演示中特定三角的特定细节。因此，根据伯克利的说法，示威证明了关于三角形的一般主张。

在康德可以找到关于现代几何图的最发达，最复杂和最困难的说法。康德在地理表使用特定图表来推理几何概念时看到了深厚的认识论意义。以这种方式推理，地理表

考虑了Chercreto中的概念，尽管从一个者方面是非一个者，但仅是它表现出的先验概念，即构造的概念，并且从结构的一般条件下遵循的概念也必须通常也必须是构造概念的对象。 （1781年，对纯粹理性的批评，A716/b744。）

有关这些段落这些段落的对比的观点，揭示了康德几何哲学中的图表适合的位置，请参见Shabel 2003和Friedman 2012。

在19世纪，几何和数学整体进行了革命。概念比出现的元素（例如非欧盟几何形状，集合）中发现的概念要抽象和一般。关于欧几里得的示意方法的性质的问题不仅失去了紧迫性，而且该方法被理解为数学上的缺陷。后一种观点在莫里茨·帕施（Moritz Pasch）的开创性工作中发现了其最精确的表达，后者在帕施（Pasch）（1882）中提供了第一个现代的基本几何形状。在其中，Pasch展示了如何在没有图表甚至几何概念图实例化的情况下开发主题。在以下经常引用的段落中，指导作品的方法规范可以很好地表达：

实际上，如果几何形状是真正的演绎，那么在各个方面，推论的过程必须独立于几何概念的意义，就像它必须独立于数字一样。只能考虑到命题中使用的几何概念（分别定义）之间的关系。 （Pasch 1882：98;重点是原始的。这里的翻译来自Schlimm 2010）

此后的规范已经在数学和数学讨论中奠定了基础。 Manders在Manders 2008 [1995]中反对Manders在后者中的根深蒂固。在他发展的古代几何形状中，在证明中咨询图表的必要性并不表示演绎差距。相反，图和文本一起形成了严格而演绎的数学证明。

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